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Theorem bposlem9 27253

Description: Lemma for bpos 27254. Derive a contradiction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bposlem7.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))))
bposlem7.2	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))
bposlem9.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
bposlem9.4	⊢ (𝜑 → ;64 < 𝑁)
bposlem9.5	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))

**Assertion**
Ref	Expression
bposlem9	⊢ (𝜑 → 𝜓)

Distinct variable groups: 𝑛,𝑁 𝑛,𝐺 𝜑,𝑛 𝑁,𝑝 𝑥,𝑁 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑝) 𝜓(𝑥,𝑛,𝑝) 𝐹(𝑥,𝑛,𝑝) 𝐺(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem bposlem9 Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bposlem9.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ;64 < 𝑁)
2		bposlem7.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))))
3		bposlem7.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ⁺ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))
4		6nn0 12533	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
5		4nn 12335	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ
6	4, 5	decnncl 12737	. . . . 5 ⊢ ;64 ∈ ℕ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ;64 ∈ ℕ)
8		bposlem9.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
9		ere 16075	. . . . . . . 8 ⊢ e ∈ ℝ
10		8re 12348	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
11		egt2lt3 16192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
12	11	simpri 484	. . . . . . . . 9 ⊢ e < 3
13		3lt8 12448	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 < 8
14		3re 12332	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
15	9, 14, 10	lttri 11380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((e < 3 ∧ 3 < 8) → e < 8)
16	12, 13, 15	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ e < 8
17	9, 10, 16	ltleii 11377	. . . . . . 7 ⊢ e ≤ 8
18		0re 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		epos 16193	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < e
20	18, 9, 19	ltleii 11377	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ e
21		8pos 12364	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 8
22	18, 10, 21	ltleii 11377	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 8
23		le2sq 14140	. . . . . . . 8 ⊢ (((e ∈ ℝ ∧ 0 ≤ e) ∧ (8 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 8)) → (e ≤ 8 ↔ (e↑2) ≤ (8↑2)))
24	9, 20, 10, 22, 23	mp4an 691	. . . . . . 7 ⊢ (e ≤ 8 ↔ (e↑2) ≤ (8↑2))
25	17, 24	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ (e↑2) ≤ (8↑2)
26	10	recni 11268	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
27	26	sqvali 14185	. . . . . . 7 ⊢ (8↑2) = (8 · 8)
28		8t8e64 12838	. . . . . . 7 ⊢ (8 · 8) = ;64
29	27, 28	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ (8↑2) = ;64
30	25, 29	breqtri 5177	. . . . 5 ⊢ (e↑2) ≤ ;64
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ ;64)
32	9	resqcli 14191	. . . . . 6 ⊢ (e↑2) ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ∈ ℝ)
34	6	nnrei 12261	. . . . . 6 ⊢ ;64 ∈ ℝ
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ;64 ∈ ℝ)
36	8	nnred 12267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
37		ltle 11342	. . . . . . 7 ⊢ ((;64 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (;64 < 𝑁 → ;64 ≤ 𝑁))
38	34, 36, 37	sylancr 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (;64 < 𝑁 → ;64 ≤ 𝑁))
39	1, 38	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ;64 ≤ 𝑁)
40	33, 35, 36, 31, 39	letrd 11411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝑁)
41	2, 3, 7, 8, 31, 40	bposlem7 27251	. . 3 ⊢ (𝜑 → (;64 < 𝑁 → (𝐹‘𝑁) < (𝐹‘;64)))
42	1, 41	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) < (𝐹‘;64))
43	2, 3	bposlem8 27252	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘;64) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘;64) < (log‘2))
44	43	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘;64) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘;64) < (log‘2)))
45	44	simpld 493	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘;64) ∈ ℝ)
46		2fveq3 6907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐺‘(√‘𝑛)) = (𝐺‘(√‘𝑁)))
47	46	oveq2d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) = ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))))
48		fvoveq1 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐺‘(𝑛 / 2)) = (𝐺‘(𝑁 / 2)))
49	48	oveq2d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2))) = ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))
50	47, 49	oveq12d 7444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) = (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))))
51		oveq2 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
52	51	fveq2d 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑁)))
53	52	oveq2d 7442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛))) = ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))
54	50, 53	oveq12d 7444	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))))
55		ovex 7459	. . . . . 6 ⊢ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))) ∈ V
56	54, 2, 55	fvmpt 7010	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))))
57	8, 56	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))))
58		sqrt2re 16236	. . . . . . 7 ⊢ (√‘2) ∈ ℝ
59	8	nnrpd 13056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
60	59	rpsqrtcld 15400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
61		fveq2 6902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (√‘𝑁) → (log‘𝑥) = (log‘(√‘𝑁)))
62		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (√‘𝑁) → 𝑥 = (√‘𝑁))
63	61, 62	oveq12d 7444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (√‘𝑁) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁)))
64		ovex 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁)) ∈ V
65	63, 3, 64	fvmpt 7010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘𝑁) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(√‘𝑁)) = ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁)))
66	60, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝑁)) = ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁)))
67	60	relogcld 26585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log‘(√‘𝑁)) ∈ ℝ)
68	67, 60	rerpdivcld 13089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
69	66, 68	eqeltrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝑁)) ∈ ℝ)
70		remulcl 11233	. . . . . . 7 ⊢ (((√‘2) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(√‘𝑁)) ∈ ℝ) → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) ∈ ℝ)
71	58, 69, 70	sylancr 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) ∈ ℝ)
72		9re 12351	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℝ
73		4re 12336	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
74		4ne0 12360	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
75	72, 73, 74	redivcli 12021	. . . . . . 7 ⊢ (9 / 4) ∈ ℝ
76	59	rphalfcld 13070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ⁺)
77		fveq2 6902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑁 / 2) → (log‘𝑥) = (log‘(𝑁 / 2)))
78		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑁 / 2) → 𝑥 = (𝑁 / 2))
79	77, 78	oveq12d 7444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑁 / 2) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))
80		ovex 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) ∈ V
81	79, 3, 80	fvmpt 7010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℝ⁺ → (𝐺‘(𝑁 / 2)) = ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))
82	76, 81	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑁 / 2)) = ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))
83	76	relogcld 26585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
84	83, 76	rerpdivcld 13089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
85	82, 84	eqeltrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
86		remulcl 11233	. . . . . . 7 ⊢ (((9 / 4) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ) → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))) ∈ ℝ)
87	75, 85, 86	sylancr 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))) ∈ ℝ)
88	71, 87	readdcld 11283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) ∈ ℝ)
89		2rp 13021	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
90		relogcl 26537	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℝ⁺ → (log‘2) ∈ ℝ)
91	89, 90	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
92		rpmulcl 13039	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
93	89, 59, 92	sylancr 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺)
94	93	rpsqrtcld 15400	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ⁺)
95		rerpdivcl 13046	. . . . . 6 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ⁺) → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
96	91, 94, 95	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
97	88, 96	readdcld 11283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))) ∈ ℝ)
98	57, 97	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
99	91	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ)
100	44	simprd 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘;64) < (log‘2))
101		nnrp 13027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ⁺)
102	5, 101	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ⁺
103		relogcl 26537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 ∈ ℝ⁺ → (log‘4) ∈ ℝ)
104	102, 103	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘4) ∈ ℝ
105		remulcl 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (log‘4) ∈ ℝ) → (𝑁 · (log‘4)) ∈ ℝ)
106	36, 104, 105	sylancl 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (log‘4)) ∈ ℝ)
107	59	relogcld 26585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
108	106, 107	resubcld 11682	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
109		rpre 13024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
110		rpge0 13029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
111	109, 110	resqrtcld 15406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺ → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
112	93, 111	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
113		3nn 12331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
114		nndivre 12293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
115	112, 113, 114	sylancl 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
116		2re 12326	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
117		readdcl 11231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
118	115, 116, 117	sylancl 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
119	93	relogcld 26585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
120	118, 119	remulcld 11284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
121		remulcl 11233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (4 · 𝑁) ∈ ℝ)
122	73, 36, 121	sylancr 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝑁) ∈ ℝ)
123		nndivre 12293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((4 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
124	122, 113, 123	sylancl 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
125		5re 12339	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℝ
126		resubcl 11564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ)
127	124, 125, 126	sylancl 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ)
128		remulcl 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) ∈ ℝ)
129	127, 91, 128	sylancl 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) ∈ ℝ)
130	120, 129	readdcld 11283	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) ∈ ℝ)
131		remulcl 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) ∈ ℝ)
132	124, 91, 131	sylancl 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) ∈ ℝ)
133	132, 107	resubcld 11682	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
134	8	nnzd 12625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
135		df-5 12318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 = (4 + 1)
136	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
137		6nn 12341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 6 ∈ ℕ
138		4nn0 12531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
139		4lt10 12853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 < ;10
140	137, 138, 138, 139	declti 12755	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 < ;64
141	140	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 4 < ;64)
142	136, 35, 36, 141, 1	lttrd 11415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 4 < 𝑁)
143		4z 12636	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
144		zltp1le 12652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (4 < 𝑁 ↔ (4 + 1) ≤ 𝑁))
145	143, 134, 144	sylancr 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (4 < 𝑁 ↔ (4 + 1) ≤ 𝑁))
146	142, 145	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (4 + 1) ≤ 𝑁)
147	135, 146	eqbrtrid 5187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
148		5nn 12338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 5 ∈ ℕ
149	148	nnzi 12626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℤ
150	149	eluz1i 12870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁))
151	134, 147, 150	sylanbrc 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
152		bposlem9.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
153		breq2 5156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑁 < 𝑝 ↔ 𝑁 < 𝑞))
154		breq1 5155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑞 ≤ (2 · 𝑁)))
155	153, 154	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) ↔ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ (2 · 𝑁))))
156	155	cbvrexvw 3233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ (2 · 𝑁)))
157	152, 156	sylnib 327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑞 ∧ 𝑞 ≤ (2 · 𝑁)))
158		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
159		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
160		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
161	151, 157, 158, 159, 160	bposlem6 27250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) < (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
162		reexplog 26557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (4↑𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘4))))
163	102, 134, 162	sylancr 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (4↑𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘4))))
164	59	reeflogd 26586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘𝑁)) = 𝑁)
165	164	eqcomd 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (exp‘(log‘𝑁)))
166	163, 165	oveq12d 7444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) = ((exp‘(𝑁 · (log‘4))) / (exp‘(log‘𝑁))))
167	106	recnd 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (log‘4)) ∈ ℂ)
168	107	recnd 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
169		efsub 16086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 · (log‘4)) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℂ) → (exp‘((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁))) = ((exp‘(𝑁 · (log‘4))) / (exp‘(log‘𝑁))))
170	167, 168, 169	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁))) = ((exp‘(𝑁 · (log‘4))) / (exp‘(log‘𝑁))))
171	166, 170	eqtr4d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) = (exp‘((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁))))
172	93	rpcnd 13060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
173	93	rpne0d 13063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
174	118	recnd 11282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℂ)
175	172, 173, 174	cxpefd 26674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) = (exp‘((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁)))))
176		2cn 12327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
177		2ne0 12356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
178	127	recnd 11282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℂ)
179		cxpef 26627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℂ) → (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) = (exp‘((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))))
180	176, 177, 178, 179	mp3an12i 1461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) = (exp‘((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))))
181	175, 180	oveq12d 7444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))) = ((exp‘((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁)))) · (exp‘((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))))
182	120	recnd 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
183	129	recnd 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) ∈ ℂ)
184		efadd 16080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ ∧ ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) ∈ ℂ) → (exp‘(((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))) = ((exp‘((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁)))) · (exp‘((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))))
185	182, 183, 184	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))) = ((exp‘((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁)))) · (exp‘((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))))
186	181, 185	eqtr4d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑_𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑_𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))) = (exp‘(((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))))
187	161, 171, 186	3brtr3d 5183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (exp‘((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁))) < (exp‘(((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))))
188		eflt 16103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) ∈ ℝ) → (((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) < (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) ↔ (exp‘((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁))) < (exp‘(((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))))))
189	108, 130, 188	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) < (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) ↔ (exp‘((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁))) < (exp‘(((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))))))
190	187, 189	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) < (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))))
191	108, 130, 133, 190	ltsub1dd 11866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))) < ((((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))))
192	36	recnd 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
193		mulcom 11234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · 𝑁) = (𝑁 · 2))
194	176, 192, 193	sylancr 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 · 2))
195	194	oveq1d 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (log‘2)) = ((𝑁 · 2) · (log‘2)))
196	91	recni 11268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
197		mulass 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → ((𝑁 · 2) · (log‘2)) = (𝑁 · (2 · (log‘2))))
198	176, 196, 197	mp3an23 1449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 · 2) · (log‘2)) = (𝑁 · (2 · (log‘2))))
199	192, 198	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 2) · (log‘2)) = (𝑁 · (2 · (log‘2))))
200	196	2timesi 12390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · (log‘2)) = ((log‘2) + (log‘2))
201		relogmul 26554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 2 ∈ ℝ⁺) → (log‘(2 · 2)) = ((log‘2) + (log‘2)))
202	89, 89, 201	mp2an 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (log‘(2 · 2)) = ((log‘2) + (log‘2))
203		2t2e4 12416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 2) = 4
204	203	fveq2i 6905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (log‘(2 · 2)) = (log‘4)
205	200, 202, 204	3eqtr2i 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · (log‘2)) = (log‘4)
206	205	oveq2i 7437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 · (2 · (log‘2))) = (𝑁 · (log‘4))
207	199, 206	eqtrdi 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 2) · (log‘2)) = (𝑁 · (log‘4)))
208	195, 207	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (log‘2)) = (𝑁 · (log‘4)))
209	208	oveq1d 7441	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (log‘2)) − (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2))) = ((𝑁 · (log‘4)) − (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2))))
210	124	recnd 11282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℂ)
211		3rp 13022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ⁺
212		rpdivcl 13041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ⁺ ∧ 3 ∈ ℝ⁺) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ⁺)
213	93, 211, 212	sylancl 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ⁺)
214	213	rpcnd 13060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℂ)
215		4p2e6 12405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 + 2) = 6
216	215	oveq1i 7436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 + 2) · 𝑁) = (6 · 𝑁)
217		4cn 12337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℂ
218		adddir 11245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((4 + 2) · 𝑁) = ((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)))
219	217, 176, 192, 218	mp3an12i 1461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((4 + 2) · 𝑁) = ((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)))
220	216, 219	eqtr3id 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (6 · 𝑁) = ((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)))
221	220	oveq1d 7441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((6 · 𝑁) / 3) = (((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)) / 3))
222		6cn 12343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℂ
223		3cn 12333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℂ
224		3ne0 12358	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ≠ 0
225	223, 224	pm3.2i 469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
226		div23 11931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((6 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((6 · 𝑁) / 3) = ((6 / 3) · 𝑁))
227	222, 225, 226	mp3an13 1448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((6 · 𝑁) / 3) = ((6 / 3) · 𝑁))
228	192, 227	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((6 · 𝑁) / 3) = ((6 / 3) · 𝑁))
229		3t2e6 12418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 · 2) = 6
230	229	oveq1i 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 · 2) / 3) = (6 / 3)
231	176, 223, 224	divcan3i 12000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 · 2) / 3) = 2
232	230, 231	eqtr3i 2758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 / 3) = 2
233	232	oveq1i 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((6 / 3) · 𝑁) = (2 · 𝑁)
234	228, 233	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((6 · 𝑁) / 3) = (2 · 𝑁))
235	122	recnd 11282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (4 · 𝑁) ∈ ℂ)
236		remulcl 11233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
237	116, 36, 236	sylancr 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
238	237	recnd 11282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
239		divdir 11937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((4 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)) / 3) = (((4 · 𝑁) / 3) + ((2 · 𝑁) / 3)))
240	225, 239	mp3an3 1446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((4 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℂ) → (((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)) / 3) = (((4 · 𝑁) / 3) + ((2 · 𝑁) / 3)))
241	235, 238, 240	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)) / 3) = (((4 · 𝑁) / 3) + ((2 · 𝑁) / 3)))
242	221, 234, 241	3eqtr3d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) = (((4 · 𝑁) / 3) + ((2 · 𝑁) / 3)))
243	210, 214, 242	mvrladdd 11667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) − ((4 · 𝑁) / 3)) = ((2 · 𝑁) / 3))
244	243	oveq1d 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − ((4 · 𝑁) / 3)) · (log‘2)) = (((2 · 𝑁) / 3) · (log‘2)))
245	99	recnd 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log‘2) ∈ ℂ)
246	238, 210, 245	subdird 11711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) − ((4 · 𝑁) / 3)) · (log‘2)) = (((2 · 𝑁) · (log‘2)) − (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2))))
247	244, 246	eqtr3d 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) = (((2 · 𝑁) · (log‘2)) − (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2))))
248	132	recnd 11282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) ∈ ℂ)
249	167, 248, 168	nnncan2d 11646	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))) = ((𝑁 · (log‘4)) − (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2))))
250	209, 247, 249	3eqtr4d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) = (((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))))
251	115	recnd 11282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℂ)
252	176	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
253	119	recnd 11282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
254	251, 252, 253	adddird 11279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (2 · (log‘(2 · 𝑁)))))
255		relogmul 26554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → (log‘(2 · 𝑁)) = ((log‘2) + (log‘𝑁)))
256	89, 59, 255	sylancr 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (log‘(2 · 𝑁)) = ((log‘2) + (log‘𝑁)))
257	256	oveq2d 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘(2 · 𝑁))) = (2 · ((log‘2) + (log‘𝑁))))
258	252, 245, 168	adddid 11278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · ((log‘2) + (log‘𝑁))) = ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))))
259	257, 258	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘(2 · 𝑁))) = ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))))
260	259	oveq2d 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (2 · (log‘(2 · 𝑁)))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁)))))
261	254, 260	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁)))))
262		5cn 12340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℂ
263	262	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℂ)
264	210, 263, 245	subdird 11711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) = ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (5 · (log‘2))))
265	264	oveq1d 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))) = (((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (5 · (log‘2))) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))))
266	262, 196	mulcli 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 · (log‘2)) ∈ ℂ
267	266	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (5 · (log‘2)) ∈ ℂ)
268	248, 267, 168	nnncan1d 11645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (5 · (log‘2))) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))) = ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))))
269	265, 268	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))) = ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))))
270	261, 269	oveq12d 7444	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁)))) = (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁)))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2)))))
271	133	recnd 11282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
272	182, 183, 271	addsubassd 11631	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))) = (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁)))))
273	262, 223, 196	subdiri 11704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 − 3) · (log‘2)) = ((5 · (log‘2)) − (3 · (log‘2)))
274		3p2e5 12403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 + 2) = 5
275	274	oveq1i 7436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 + 2) − 3) = (5 − 3)
276		pncan2 11507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((3 + 2) − 3) = 2)
277	223, 176, 276	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 + 2) − 3) = 2
278	275, 277	eqtr3i 2758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 − 3) = 2
279	278	oveq1i 7436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 − 3) · (log‘2)) = (2 · (log‘2))
280	273, 279	eqtr3i 2758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · (log‘2)) − (3 · (log‘2))) = (2 · (log‘2))
281	280	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((5 · (log‘2)) − (3 · (log‘2))) = (2 · (log‘2)))
282		mulcl 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℂ) → (2 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
283	176, 168, 282	sylancr 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
284		df-3 12316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
285	284	oveq1i 7436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 · (log‘𝑁)) = ((2 + 1) · (log‘𝑁))
286		1cnd 11249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
287	252, 286, 168	adddird 11279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 + 1) · (log‘𝑁)) = ((2 · (log‘𝑁)) + (1 · (log‘𝑁))))
288	285, 287	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3 · (log‘𝑁)) = ((2 · (log‘𝑁)) + (1 · (log‘𝑁))))
289	168	mullidd 11272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 · (log‘𝑁)) = (log‘𝑁))
290	289	oveq2d 7442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘𝑁)) + (1 · (log‘𝑁))) = ((2 · (log‘𝑁)) + (log‘𝑁)))
291	288, 290	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (3 · (log‘𝑁)) = ((2 · (log‘𝑁)) + (log‘𝑁)))
292	291	oveq1d 7441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((3 · (log‘𝑁)) − (5 · (log‘2))) = (((2 · (log‘𝑁)) + (log‘𝑁)) − (5 · (log‘2))))
293	283, 168, 267, 292	assraddsubd 11668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((3 · (log‘𝑁)) − (5 · (log‘2))) = ((2 · (log‘𝑁)) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2)))))
294	281, 293	oveq12d 7444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((5 · (log‘2)) − (3 · (log‘2))) + ((3 · (log‘𝑁)) − (5 · (log‘2)))) = ((2 · (log‘2)) + ((2 · (log‘𝑁)) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))))))
295		relogdiv 26555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ⁺ ∧ 2 ∈ ℝ⁺) → (log‘(𝑁 / 2)) = ((log‘𝑁) − (log‘2)))
296	59, 89, 295	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑁 / 2)) = ((log‘𝑁) − (log‘2)))
297	296	oveq2d 7442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (3 · (log‘(𝑁 / 2))) = (3 · ((log‘𝑁) − (log‘2))))
298		subdi 11687	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → (3 · ((log‘𝑁) − (log‘2))) = ((3 · (log‘𝑁)) − (3 · (log‘2))))
299	223, 196, 298	mp3an13 1448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((log‘𝑁) ∈ ℂ → (3 · ((log‘𝑁) − (log‘2))) = ((3 · (log‘𝑁)) − (3 · (log‘2))))
300	168, 299	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (3 · ((log‘𝑁) − (log‘2))) = ((3 · (log‘𝑁)) − (3 · (log‘2))))
301	297, 300	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (3 · (log‘(𝑁 / 2))) = ((3 · (log‘𝑁)) − (3 · (log‘2))))
302		div23 11931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((2 · 𝑁) / 3) = ((2 / 3) · 𝑁))
303	176, 225, 302	mp3an13 1448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) / 3) = ((2 / 3) · 𝑁))
304	192, 303	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) = ((2 / 3) · 𝑁))
305	223, 176, 223, 176, 177, 177	divmuldivi 12014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 · 3) / (2 · 2))
306		3t3e9 12419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 · 3) = 9
307	306, 203	oveq12i 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 · 3) / (2 · 2)) = (9 / 4)
308	305, 307	eqtr2i 2757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2))
309	308	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
310	304, 309	oveq12d 7444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (9 / 4)) = (((2 / 3) · 𝑁) · ((3 / 2) · (3 / 2))))
311	176, 223, 224	divcli 11996	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
312	223, 176, 177	divcli 11996	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 / 2) ∈ ℂ
313		mul4 11422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((2 / 3) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (3 / 2) ∈ ℂ)) → (((2 / 3) · 𝑁) · ((3 / 2) · (3 / 2))) = (((2 / 3) · (3 / 2)) · (𝑁 · (3 / 2))))
314	312, 312, 313	mpanr12 703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((2 / 3) · 𝑁) · ((3 / 2) · (3 / 2))) = (((2 / 3) · (3 / 2)) · (𝑁 · (3 / 2))))
315	311, 192, 314	sylancr 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 / 3) · 𝑁) · ((3 / 2) · (3 / 2))) = (((2 / 3) · (3 / 2)) · (𝑁 · (3 / 2))))
316		divcan6 11961	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((2 / 3) · (3 / 2)) = 1)
317	176, 177, 223, 224, 316	mp4an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 / 3) · (3 / 2)) = 1
318	317	oveq1i 7436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 / 3) · (3 / 2)) · (𝑁 · (3 / 2))) = (1 · (𝑁 · (3 / 2)))
319		mulcl 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (3 / 2) ∈ ℂ) → (𝑁 · (3 / 2)) ∈ ℂ)
320	192, 312, 319	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (3 / 2)) ∈ ℂ)
321	320	mullidd 11272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝑁 · (3 / 2))) = (𝑁 · (3 / 2)))
322	318, 321	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((2 / 3) · (3 / 2)) · (𝑁 · (3 / 2))) = (𝑁 · (3 / 2)))
323		2cnne0 12462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
324		div12 11934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (𝑁 · (3 / 2)) = (3 · (𝑁 / 2)))
325	223, 323, 324	mp3an23 1449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · (3 / 2)) = (3 · (𝑁 / 2)))
326	192, 325	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (3 / 2)) = (3 · (𝑁 / 2)))
327	322, 326	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 / 3) · (3 / 2)) · (𝑁 · (3 / 2))) = (3 · (𝑁 / 2)))
328	310, 315, 327	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (9 / 4)) = (3 · (𝑁 / 2)))
329	328, 82	oveq12d 7444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) / 3) · (9 / 4)) · (𝐺‘(𝑁 / 2))) = ((3 · (𝑁 / 2)) · ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))))
330	75	recni 11268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 / 4) ∈ ℂ
331	330	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (9 / 4) ∈ ℂ)
332	85	recnd 11282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
333	214, 331, 332	mulassd 11277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) / 3) · (9 / 4)) · (𝐺‘(𝑁 / 2))) = (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))))
334	223	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
335	76	rpcnd 13060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
336	83	recnd 11282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
337	76	rpne0d 13063	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 2) ≠ 0)
338	336, 335, 337	divcld 12030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
339	334, 335, 338	mulassd 11277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝑁 / 2)) · ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))) = (3 · ((𝑁 / 2) · ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))))
340	336, 335, 337	divcan2d 12032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 / 2) · ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))) = (log‘(𝑁 / 2)))
341	340	oveq2d 7442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (3 · ((𝑁 / 2) · ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))) = (3 · (log‘(𝑁 / 2))))
342	339, 341	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((3 · (𝑁 / 2)) · ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))) = (3 · (log‘(𝑁 / 2))))
343	329, 333, 342	3eqtr3d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) = (3 · (log‘(𝑁 / 2))))
344	223, 196	mulcli 11261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · (log‘2)) ∈ ℂ
345	344	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (3 · (log‘2)) ∈ ℂ)
346		mulcl 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℂ) → (3 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
347	223, 168, 346	sylancr 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (3 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
348	267, 345, 347	npncan3d 11647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((5 · (log‘2)) − (3 · (log‘2))) + ((3 · (log‘𝑁)) − (5 · (log‘2)))) = ((3 · (log‘𝑁)) − (3 · (log‘2))))
349	301, 343, 348	3eqtr4d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) = (((5 · (log‘2)) − (3 · (log‘2))) + ((3 · (log‘𝑁)) − (5 · (log‘2)))))
350	116, 91	remulcli 11270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · (log‘2)) ∈ ℝ
351	350	recni 11268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · (log‘2)) ∈ ℂ
352	351	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘2)) ∈ ℂ)
353		subcl 11499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((log‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (5 · (log‘2)) ∈ ℂ) → ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))) ∈ ℂ)
354	168, 266, 353	sylancl 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))) ∈ ℂ)
355	352, 283, 354	addassd 11276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2)))) = ((2 · (log‘2)) + ((2 · (log‘𝑁)) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))))))
356	294, 349, 355	3eqtr4d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) = (((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2)))))
357	356	oveq2d 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))))))
358		mulcl 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) ∈ ℂ)
359	251, 196, 358	sylancl 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) ∈ ℂ)
360	251, 168	mulcld 11274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
361	87	recnd 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))) ∈ ℂ)
362	214, 361	mulcld 11274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) ∈ ℂ)
363	359, 360, 362	addassd 11276	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))))))
364	256	oveq2d 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · ((log‘2) + (log‘𝑁))))
365	251, 245, 168	adddid 11278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · ((log‘2) + (log‘𝑁))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁))))
366	364, 365	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁))))
367	366	oveq1d 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) = (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))))
368	57	oveq2d 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹‘𝑁)) = (((2 · 𝑁) / 3) · ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))))
369	88	recnd 11282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) ∈ ℂ)
370	96	recnd 11282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
371	214, 369, 370	adddid 11278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))) = ((((2 · 𝑁) / 3) · (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))))
372	368, 371	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹‘𝑁)) = ((((2 · 𝑁) / 3) · (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))))
373	71	recnd 11282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) ∈ ℂ)
374	214, 373, 361	adddid 11278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) = ((((2 · 𝑁) / 3) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))))
375	93	rpge0d 13062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
376		remsqsqrt 15245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)) → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
377	237, 375, 376	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
378	377	oveq1d 7441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) / 3) = ((2 · 𝑁) / 3))
379	112	recnd 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
380	224	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0)
381	379, 379, 334, 380	div23d 12067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) / 3) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (√‘(2 · 𝑁))))
382	378, 381	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (√‘(2 · 𝑁))))
383	382	oveq1d 7441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (√‘(2 · 𝑁))) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))))
384	251, 379, 373	mulassd 11277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (√‘(2 · 𝑁))) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · ((√‘(2 · 𝑁)) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))))))
385		0le2 12354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ≤ 2
386	116, 385	pm3.2i 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
387	59	rprege0d 13065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
388		sqrtmul 15248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁)) → (√‘(2 · 𝑁)) = ((√‘2) · (√‘𝑁)))
389	386, 387, 388	sylancr 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) = ((√‘2) · (√‘𝑁)))
390	389	oveq1d 7441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (((√‘2) · (√‘𝑁)) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))))
391	58	recni 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (√‘2) ∈ ℂ
392	391	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (√‘2) ∈ ℂ)
393	60	rpcnd 13060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
394	69	recnd 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝑁)) ∈ ℂ)
395	392, 393, 392, 394	mul4d 11466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((√‘2) · (√‘𝑁)) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (((√‘2) · (√‘2)) · ((√‘𝑁) · (𝐺‘(√‘𝑁)))))
396		remsqsqrt 15245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
397	116, 385, 396	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((√‘2) · (√‘2)) = 2
398	397	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
399	66	oveq2d 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑁) · (𝐺‘(√‘𝑁))) = ((√‘𝑁) · ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁))))
400	67	recnd 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (log‘(√‘𝑁)) ∈ ℂ)
401	60	rpne0d 13063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑁) ≠ 0)
402	400, 393, 401	divcan2d 12032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑁) · ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁))) = (log‘(√‘𝑁)))
403	399, 402	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑁) · (𝐺‘(√‘𝑁))) = (log‘(√‘𝑁)))
404	398, 403	oveq12d 7444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((√‘2) · (√‘2)) · ((√‘𝑁) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (2 · (log‘(√‘𝑁))))
405	400	2timesd 12495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 · (log‘(√‘𝑁))) = ((log‘(√‘𝑁)) + (log‘(√‘𝑁))))
406	60, 60	relogmuld 26587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (log‘((√‘𝑁) · (√‘𝑁))) = ((log‘(√‘𝑁)) + (log‘(√‘𝑁))))
407		remsqsqrt 15245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → ((√‘𝑁) · (√‘𝑁)) = 𝑁)
408	387, 407	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑁) · (√‘𝑁)) = 𝑁)
409	408	fveq2d 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (log‘((√‘𝑁) · (√‘𝑁))) = (log‘𝑁))
410	406, 409	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((log‘(√‘𝑁)) + (log‘(√‘𝑁))) = (log‘𝑁))
411	404, 405, 410	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((√‘2) · (√‘2)) · ((√‘𝑁) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (log‘𝑁))
412	390, 395, 411	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (log‘𝑁))
413	412	oveq2d 7442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · ((√‘(2 · 𝑁)) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)))
414	383, 384, 413	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)))
415	414	oveq1d 7441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) / 3) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))))
416	374, 415	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))))
417	382	oveq1d 7441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (√‘(2 · 𝑁))) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))))
418	251, 379, 370	mulassd 11277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (√‘(2 · 𝑁))) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · ((√‘(2 · 𝑁)) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))))
419	94	rpne0d 13063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ≠ 0)
420	245, 379, 419	divcan2d 12032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))) = (log‘2))
421	420	oveq2d 7442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · ((√‘(2 · 𝑁)) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)))
422	417, 418, 421	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)))
423	416, 422	oveq12d 7444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁) / 3) · (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))) = (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) + (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2))))
424	360, 362	addcld 11273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) ∈ ℂ)
425	424, 359	addcomd 11456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) + (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))))))
426	372, 423, 425	3eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹‘𝑁)) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))))))
427	363, 367, 426	3eqtr4rd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹‘𝑁)) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))))
428	251, 253	mulcld 11274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
429		addcl 11230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · (log‘2)) ∈ ℂ ∧ (2 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ) → ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))) ∈ ℂ)
430	351, 283, 429	sylancr 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))) ∈ ℂ)
431	428, 430, 354	addassd 11276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁)))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2)))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))))))
432	357, 427, 431	3eqtr4d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹‘𝑁)) = (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁)))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2)))))
433	270, 272, 432	3eqtr4rd 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹‘𝑁)) = ((((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))))
434	191, 250, 433	3brtr4d 5184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) < (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹‘𝑁)))
435	99, 98, 213	ltmul2d 13100	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((log‘2) < (𝐹‘𝑁) ↔ (((2 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) < (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹‘𝑁))))
436	434, 435	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘2) < (𝐹‘𝑁))
437	45, 99, 98, 100, 436	lttrd 11415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘;64) < (𝐹‘𝑁))
438	45, 98, 437	ltnsymd 11403	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝑁) < (𝐹‘;64))
439	42, 438	pm2.21dd 194	1 ⊢ (𝜑 → 𝜓)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2937 ∃wrex 3067 ifcif 4532 class class class wbr 5152 ↦ cmpt 5235 ‘cfv 6553 (class class class)co 7426 ℂcc 11146 ℝcr 11147 0cc0 11148 1c1 11149 + caddc 11151 · cmul 11153 < clt 11288 ≤ cle 11289 − cmin 11484 / cdiv 11911 ℕcn 12252 2c2 12307 3c3 12308 4c4 12309 5c5 12310 6c6 12311 8c8 12313 9c9 12314 ℤcz 12598 cdc 12717 ℤ_≥cuz 12862 ℝ⁺crp 13016 ⌊cfl 13797 ↑cexp 14068 Ccbc 14303 √csqrt 15222 expce 16047 eceu 16048 ℙcprime 16651 pCnt cpc 16814 logclog 26516 ↑_𝑐ccxp 26517

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7748 ax-inf2 9674 ax-cnex 11204 ax-resscn 11205 ax-1cn 11206 ax-icn 11207 ax-addcl 11208 ax-addrcl 11209 ax-mulcl 11210 ax-mulrcl 11211 ax-mulcom 11212 ax-addass 11213 ax-mulass 11214 ax-distr 11215 ax-i2m1 11216 ax-1ne0 11217 ax-1rid 11218 ax-rnegex 11219 ax-rrecex 11220 ax-cnre 11221 ax-pre-lttri 11222 ax-pre-lttrn 11223 ax-pre-ltadd 11224 ax-pre-mulgt0 11225 ax-pre-sup 11226 ax-addf 11227

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-tp 4637 df-op 4639 df-uni 4913 df-int 4954 df-iun 5002 df-iin 5003 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-isom 6562 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-of 7692 df-om 7879 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-supp 8174 df-frecs 8295 df-wrecs 8326 df-recs 8400 df-rdg 8439 df-1o 8495 df-2o 8496 df-oadd 8499 df-er 8733 df-map 8855 df-pm 8856 df-ixp 8925 df-en 8973 df-dom 8974 df-sdom 8975 df-fin 8976 df-fsupp 9396 df-fi 9444 df-sup 9475 df-inf 9476 df-oi 9543 df-dju 9934 df-card 9972 df-pnf 11290 df-mnf 11291 df-xr 11292 df-ltxr 11293 df-le 11294 df-sub 11486 df-neg 11487 df-div 11912 df-nn 12253 df-2 12315 df-3 12316 df-4 12317 df-5 12318 df-6 12319 df-7 12320 df-8 12321 df-9 12322 df-n0 12513 df-xnn0 12585 df-z 12599 df-dec 12718 df-uz 12863 df-q 12973 df-rp 13017 df-xneg 13134 df-xadd 13135 df-xmul 13136 df-ioo 13370 df-ioc 13371 df-ico 13372 df-icc 13373 df-fz 13527 df-fzo 13670 df-fl 13799 df-mod 13877 df-seq 14009 df-exp 14069 df-fac 14275 df-bc 14304 df-hash 14332 df-shft 15056 df-cj 15088 df-re 15089 df-im 15090 df-sqrt 15224 df-abs 15225 df-limsup 15457 df-clim 15474 df-rlim 15475 df-sum 15675 df-ef 16053 df-e 16054 df-sin 16055 df-cos 16056 df-pi 16058 df-dvds 16241 df-gcd 16479 df-prm 16652 df-pc 16815 df-struct 17125 df-sets 17142 df-slot 17160 df-ndx 17172 df-base 17190 df-ress 17219 df-plusg 17255 df-mulr 17256 df-starv 17257 df-sca 17258 df-vsca 17259 df-ip 17260 df-tset 17261 df-ple 17262 df-ds 17264 df-unif 17265 df-hom 17266 df-cco 17267 df-rest 17413 df-topn 17414 df-0g 17432 df-gsum 17433 df-topgen 17434 df-pt 17435 df-prds 17438 df-xrs 17493 df-qtop 17498 df-imas 17499 df-xps 17501 df-mre 17575 df-mrc 17576 df-acs 17578 df-mgm 18609 df-sgrp 18688 df-mnd 18704 df-submnd 18750 df-mulg 19038 df-cntz 19282 df-cmn 19751 df-psmet 21285 df-xmet 21286 df-met 21287 df-bl 21288 df-mopn 21289 df-fbas 21290 df-fg 21291 df-cnfld 21294 df-top 22824 df-topon 22841 df-topsp 22863 df-bases 22877 df-cld 22951 df-ntr 22952 df-cls 22953 df-nei 23030 df-lp 23068 df-perf 23069 df-cn 23159 df-cnp 23160 df-haus 23247 df-tx 23494 df-hmeo 23687 df-fil 23778 df-fm 23870 df-flim 23871 df-flf 23872 df-xms 24254 df-ms 24255 df-tms 24256 df-cncf 24826 df-limc 25823 df-dv 25824 df-log 26518 df-cxp 26519 df-cht 27057 df-ppi 27060

This theorem is referenced by: bpos 27254

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