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Theorem bposlem9 27350
Description: Lemma for bpos 27351. Derive a contradiction. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem7.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))))
bposlem7.2 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))
bposlem9.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
bposlem9.4 (𝜑64 < 𝑁)
bposlem9.5 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
bposlem9 (𝜑𝜓)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑛,𝐺   𝜑,𝑛   𝑁,𝑝   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑝)   𝜓(𝑥,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑥,𝑛,𝑝)   𝐺(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem bposlem9
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bposlem9.4 . . 3 (𝜑64 < 𝑁)
2 bposlem7.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))))
3 bposlem7.2 . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥))
4 6nn0 12544 . . . . . 6 6 ∈ ℕ0
5 4nn 12346 . . . . . 6 4 ∈ ℕ
64, 5decnncl 12750 . . . . 5 64 ∈ ℕ
76a1i 11 . . . 4 (𝜑64 ∈ ℕ)
8 bposlem9.3 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 ere 16121 . . . . . . . 8 e ∈ ℝ
10 8re 12359 . . . . . . . 8 8 ∈ ℝ
11 egt2lt3 16238 . . . . . . . . . 10 (2 < e ∧ e < 3)
1211simpri 485 . . . . . . . . 9 e < 3
13 3lt8 12459 . . . . . . . . 9 3 < 8
14 3re 12343 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
159, 14, 10lttri 11384 . . . . . . . . 9 ((e < 3 ∧ 3 < 8) → e < 8)
1612, 13, 15mp2an 692 . . . . . . . 8 e < 8
179, 10, 16ltleii 11381 . . . . . . 7 e ≤ 8
18 0re 11260 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
19 epos 16239 . . . . . . . . 9 0 < e
2018, 9, 19ltleii 11381 . . . . . . . 8 0 ≤ e
21 8pos 12375 . . . . . . . . 9 0 < 8
2218, 10, 21ltleii 11381 . . . . . . . 8 0 ≤ 8
23 le2sq 14170 . . . . . . . 8 (((e ∈ ℝ ∧ 0 ≤ e) ∧ (8 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 8)) → (e ≤ 8 ↔ (e↑2) ≤ (8↑2)))
249, 20, 10, 22, 23mp4an 693 . . . . . . 7 (e ≤ 8 ↔ (e↑2) ≤ (8↑2))
2517, 24mpbi 230 . . . . . 6 (e↑2) ≤ (8↑2)
2610recni 11272 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
2726sqvali 14215 . . . . . . 7 (8↑2) = (8 · 8)
28 8t8e64 12851 . . . . . . 7 (8 · 8) = 64
2927, 28eqtri 2762 . . . . . 6 (8↑2) = 64
3025, 29breqtri 5172 . . . . 5 (e↑2) ≤ 64
3130a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (e↑2) ≤ 64)
329resqcli 14221 . . . . . 6 (e↑2) ∈ ℝ
3332a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (e↑2) ∈ ℝ)
346nnrei 12272 . . . . . 6 64 ∈ ℝ
3534a1i 11 . . . . 5 (𝜑64 ∈ ℝ)
368nnred 12278 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
37 ltle 11346 . . . . . . 7 ((64 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (64 < 𝑁64 ≤ 𝑁))
3834, 36, 37sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (64 < 𝑁64 ≤ 𝑁))
391, 38mpd 15 . . . . 5 (𝜑64 ≤ 𝑁)
4033, 35, 36, 31, 39letrd 11415 . . . 4 (𝜑 → (e↑2) ≤ 𝑁)
412, 3, 7, 8, 31, 40bposlem7 27348 . . 3 (𝜑 → (64 < 𝑁 → (𝐹𝑁) < (𝐹64)))
421, 41mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑁) < (𝐹64))
432, 3bposlem8 27349 . . . . 5 ((𝐹64) ∈ ℝ ∧ (𝐹64) < (log‘2))
4443a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹64) ∈ ℝ ∧ (𝐹64) < (log‘2)))
4544simpld 494 . . 3 (𝜑 → (𝐹64) ∈ ℝ)
46 2fveq3 6911 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → (𝐺‘(√‘𝑛)) = (𝐺‘(√‘𝑁)))
4746oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) = ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))))
48 fvoveq1 7453 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → (𝐺‘(𝑛 / 2)) = (𝐺‘(𝑁 / 2)))
4948oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2))) = ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))
5047, 49oveq12d 7448 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) = (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))))
51 oveq2 7438 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑁))
5251fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑁)))
5352oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛))) = ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))
5450, 53oveq12d 7448 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑛))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑛 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑛)))) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))))
55 ovex 7463 . . . . . 6 ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))) ∈ V
5654, 2, 55fvmpt 7015 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))))
578, 56syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑁) = ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))))
58 sqrt2re 16282 . . . . . . 7 (√‘2) ∈ ℝ
598nnrpd 13072 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
6059rpsqrtcld 15446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℝ+)
61 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (√‘𝑁) → (log‘𝑥) = (log‘(√‘𝑁)))
62 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (√‘𝑁) → 𝑥 = (√‘𝑁))
6361, 62oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (√‘𝑁) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁)))
64 ovex 7463 . . . . . . . . . 10 ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁)) ∈ V
6563, 3, 64fvmpt 7015 . . . . . . . . 9 ((√‘𝑁) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(√‘𝑁)) = ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁)))
6660, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝑁)) = ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁)))
6760relogcld 26679 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(√‘𝑁)) ∈ ℝ)
6867, 60rerpdivcld 13105 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
6966, 68eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝑁)) ∈ ℝ)
70 remulcl 11237 . . . . . . 7 (((√‘2) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(√‘𝑁)) ∈ ℝ) → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) ∈ ℝ)
7158, 69, 70sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) ∈ ℝ)
72 9re 12362 . . . . . . . 8 9 ∈ ℝ
73 4re 12347 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
74 4ne0 12371 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
7572, 73, 74redivcli 12031 . . . . . . 7 (9 / 4) ∈ ℝ
7659rphalfcld 13086 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ+)
77 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑁 / 2) → (log‘𝑥) = (log‘(𝑁 / 2)))
78 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑁 / 2) → 𝑥 = (𝑁 / 2))
7977, 78oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑁 / 2) → ((log‘𝑥) / 𝑥) = ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))
80 ovex 7463 . . . . . . . . . 10 ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) ∈ V
8179, 3, 80fvmpt 7015 . . . . . . . . 9 ((𝑁 / 2) ∈ ℝ+ → (𝐺‘(𝑁 / 2)) = ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))
8276, 81syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺‘(𝑁 / 2)) = ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))
8376relogcld 26679 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
8483, 76rerpdivcld 13105 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
8582, 84eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
86 remulcl 11237 . . . . . . 7 (((9 / 4) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ) → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))) ∈ ℝ)
8775, 85, 86sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))) ∈ ℝ)
8871, 87readdcld 11287 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) ∈ ℝ)
89 2rp 13036 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
90 relogcl 26631 . . . . . . 7 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
9189, 90ax-mp 5 . . . . . 6 (log‘2) ∈ ℝ
92 rpmulcl 13055 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
9389, 59, 92sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
9493rpsqrtcld 15446 . . . . . 6 (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
95 rerpdivcl 13062 . . . . . 6 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+) → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
9691, 94, 95sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
9788, 96readdcld 11287 . . . 4 (𝜑 → ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))) ∈ ℝ)
9857, 97eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
9991a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℝ)
10044simprd 495 . . . 4 (𝜑 → (𝐹64) < (log‘2))
101 nnrp 13043 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
1025, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
103 relogcl 26631 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℝ+ → (log‘4) ∈ ℝ)
104102, 103ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (log‘4) ∈ ℝ
105 remulcl 11237 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (log‘4) ∈ ℝ) → (𝑁 · (log‘4)) ∈ ℝ)
10636, 104, 105sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · (log‘4)) ∈ ℝ)
10759relogcld 26679 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
108106, 107resubcld 11688 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
109 rpre 13040 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑁) ∈ ℝ+ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
110 rpge0 13045 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · 𝑁) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (2 · 𝑁))
111109, 110resqrtcld 15452 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑁) ∈ ℝ+ → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
11293, 111syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
113 3nn 12342 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
114 nndivre 12304 . . . . . . . . . . 11 (((√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
115112, 113, 114sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ)
116 2re 12337 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
117 readdcl 11235 . . . . . . . . . 10 ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
118115, 116, 117sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℝ)
11993relogcld 26679 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
120118, 119remulcld 11288 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
121 remulcl 11237 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (4 · 𝑁) ∈ ℝ)
12273, 36, 121sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (4 · 𝑁) ∈ ℝ)
123 nndivre 12304 . . . . . . . . . . 11 (((4 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
124122, 113, 123sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
125 5re 12350 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
126 resubcl 11570 . . . . . . . . . 10 ((((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ)
127124, 125, 126sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ)
128 remulcl 11237 . . . . . . . . 9 (((((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) ∈ ℝ)
129127, 91, 128sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) ∈ ℝ)
130120, 129readdcld 11287 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) ∈ ℝ)
131 remulcl 11237 . . . . . . . . 9 ((((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) ∈ ℝ)
132124, 91, 131sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) ∈ ℝ)
133132, 107resubcld 11688 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
1348nnzd 12637 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
135 df-5 12329 . . . . . . . . . . . 12 5 = (4 + 1)
13673a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
137 6nn 12352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 ∈ ℕ
138 4nn0 12542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℕ0
139 4lt10 12866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 < 10
140137, 138, 138, 139declti 12768 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 < 64
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 4 < 64)
142136, 35, 36, 141, 1lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 4 < 𝑁)
143 4z 12648 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
144 zltp1le 12664 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (4 < 𝑁 ↔ (4 + 1) ≤ 𝑁))
145143, 134, 144sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (4 < 𝑁 ↔ (4 + 1) ≤ 𝑁))
146142, 145mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (4 + 1) ≤ 𝑁)
147135, 146eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
148 5nn 12349 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ ℕ
149148nnzi 12638 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℤ
150149eluz1i 12883 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑁))
151134, 147, 150sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
152 bposlem9.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
153 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑞 → (𝑁 < 𝑝𝑁 < 𝑞))
154 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑞 ≤ (2 · 𝑁)))
155153, 154anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) ↔ (𝑁 < 𝑞𝑞 ≤ (2 · 𝑁))))
156155cbvrexvw 3235 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑞𝑞 ≤ (2 · 𝑁)))
157152, 156sylnib 328 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑞𝑞 ≤ (2 · 𝑁)))
158 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
159 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
160 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (⌊‘(√‘(2 · 𝑁))) = (⌊‘(√‘(2 · 𝑁)))
161151, 157, 158, 159, 160bposlem6 27347 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) < (((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))))
162 reexplog 26651 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (4↑𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘4))))
163102, 134, 162sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (4↑𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘4))))
16459reeflogd 26680 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (exp‘(log‘𝑁)) = 𝑁)
165164eqcomd 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 = (exp‘(log‘𝑁)))
166163, 165oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) = ((exp‘(𝑁 · (log‘4))) / (exp‘(log‘𝑁))))
167106recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 · (log‘4)) ∈ ℂ)
168107recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
169 efsub 16132 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 · (log‘4)) ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℂ) → (exp‘((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁))) = ((exp‘(𝑁 · (log‘4))) / (exp‘(log‘𝑁))))
170167, 168, 169syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁))) = ((exp‘(𝑁 · (log‘4))) / (exp‘(log‘𝑁))))
171166, 170eqtr4d 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((4↑𝑁) / 𝑁) = (exp‘((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁))))
17293rpcnd 13076 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
17393rpne0d 13079 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
174118recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) ∈ ℂ)
175172, 173, 174cxpefd 26768 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) = (exp‘((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁)))))
176 2cn 12338 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
177 2ne0 12367 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
178127recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℂ)
179 cxpef 26721 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (((4 · 𝑁) / 3) − 5) ∈ ℂ) → (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) = (exp‘((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))))
180176, 177, 178, 179mp3an12i 1464 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5)) = (exp‘((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))))
181175, 180oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))) = ((exp‘((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁)))) · (exp‘((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))))
182120recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
183129recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) ∈ ℂ)
184 efadd 16126 . . . . . . . . . . 11 ((((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ ∧ ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) ∈ ℂ) → (exp‘(((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))) = ((exp‘((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁)))) · (exp‘((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))))
185182, 183, 184syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))) = ((exp‘((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁)))) · (exp‘((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))))
186181, 185eqtr4d 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝑐(((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2)) · (2↑𝑐(((4 · 𝑁) / 3) − 5))) = (exp‘(((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))))
187161, 171, 1863brtr3d 5178 . . . . . . . 8 (𝜑 → (exp‘((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁))) < (exp‘(((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)))))
188 eflt 16149 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) ∈ ℝ) → (((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) < (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) ↔ (exp‘((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁))) < (exp‘(((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))))))
189108, 130, 188syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) < (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) ↔ (exp‘((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁))) < (exp‘(((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))))))
190187, 189mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) < (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))))
191108, 130, 133, 190ltsub1dd 11872 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))) < ((((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))))
19236recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
193 mulcom 11238 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · 𝑁) = (𝑁 · 2))
194176, 192, 193sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 · 2))
195194oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (log‘2)) = ((𝑁 · 2) · (log‘2)))
19691recni 11272 . . . . . . . . . . . 12 (log‘2) ∈ ℂ
197 mulass 11240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → ((𝑁 · 2) · (log‘2)) = (𝑁 · (2 · (log‘2))))
198176, 196, 197mp3an23 1452 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 · 2) · (log‘2)) = (𝑁 · (2 · (log‘2))))
199192, 198syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 · 2) · (log‘2)) = (𝑁 · (2 · (log‘2))))
2001962timesi 12401 . . . . . . . . . . . 12 (2 · (log‘2)) = ((log‘2) + (log‘2))
201 relogmul 26648 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (log‘(2 · 2)) = ((log‘2) + (log‘2)))
20289, 89, 201mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (log‘(2 · 2)) = ((log‘2) + (log‘2))
203 2t2e4 12427 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 2) = 4
204203fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . 12 (log‘(2 · 2)) = (log‘4)
205200, 202, 2043eqtr2i 2768 . . . . . . . . . . 11 (2 · (log‘2)) = (log‘4)
206205oveq2i 7441 . . . . . . . . . 10 (𝑁 · (2 · (log‘2))) = (𝑁 · (log‘4))
207199, 206eqtrdi 2790 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 · 2) · (log‘2)) = (𝑁 · (log‘4)))
208195, 207eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (log‘2)) = (𝑁 · (log‘4)))
209208oveq1d 7445 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (log‘2)) − (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2))) = ((𝑁 · (log‘4)) − (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2))))
210124recnd 11286 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((4 · 𝑁) / 3) ∈ ℂ)
211 3rp 13037 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ+
212 rpdivcl 13057 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ+)
21393, 211, 212sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ+)
214213rpcnd 13076 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℂ)
215 4p2e6 12416 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 + 2) = 6
216215oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 + 2) · 𝑁) = (6 · 𝑁)
217 4cn 12348 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℂ
218 adddir 11249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((4 + 2) · 𝑁) = ((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)))
219217, 176, 192, 218mp3an12i 1464 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((4 + 2) · 𝑁) = ((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)))
220216, 219eqtr3id 2788 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (6 · 𝑁) = ((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)))
221220oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((6 · 𝑁) / 3) = (((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)) / 3))
222 6cn 12354 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℂ
223 3cn 12344 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℂ
224 3ne0 12369 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ≠ 0
225223, 224pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
226 div23 11938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((6 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((6 · 𝑁) / 3) = ((6 / 3) · 𝑁))
227222, 225, 226mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → ((6 · 𝑁) / 3) = ((6 / 3) · 𝑁))
228192, 227syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((6 · 𝑁) / 3) = ((6 / 3) · 𝑁))
229 3t2e6 12429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 2) = 6
230229oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 · 2) / 3) = (6 / 3)
231176, 223, 224divcan3i 12010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 · 2) / 3) = 2
232230, 231eqtr3i 2764 . . . . . . . . . . . . 13 (6 / 3) = 2
233232oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . 12 ((6 / 3) · 𝑁) = (2 · 𝑁)
234228, 233eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((6 · 𝑁) / 3) = (2 · 𝑁))
235122recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (4 · 𝑁) ∈ ℂ)
236 remulcl 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
237116, 36, 236sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
238237recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
239 divdir 11944 . . . . . . . . . . . . 13 (((4 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)) / 3) = (((4 · 𝑁) / 3) + ((2 · 𝑁) / 3)))
240225, 239mp3an3 1449 . . . . . . . . . . . 12 (((4 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℂ) → (((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)) / 3) = (((4 · 𝑁) / 3) + ((2 · 𝑁) / 3)))
241235, 238, 240syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((4 · 𝑁) + (2 · 𝑁)) / 3) = (((4 · 𝑁) / 3) + ((2 · 𝑁) / 3)))
242221, 234, 2413eqtr3d 2782 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (((4 · 𝑁) / 3) + ((2 · 𝑁) / 3)))
243210, 214, 242mvrladdd 11673 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁) − ((4 · 𝑁) / 3)) = ((2 · 𝑁) / 3))
244243oveq1d 7445 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁) − ((4 · 𝑁) / 3)) · (log‘2)) = (((2 · 𝑁) / 3) · (log‘2)))
24599recnd 11286 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘2) ∈ ℂ)
246238, 210, 245subdird 11717 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁) − ((4 · 𝑁) / 3)) · (log‘2)) = (((2 · 𝑁) · (log‘2)) − (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2))))
247244, 246eqtr3d 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) = (((2 · 𝑁) · (log‘2)) − (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2))))
248132recnd 11286 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) ∈ ℂ)
249167, 248, 168nnncan2d 11652 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))) = ((𝑁 · (log‘4)) − (((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2))))
250209, 247, 2493eqtr4d 2784 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) = (((𝑁 · (log‘4)) − (log‘𝑁)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))))
251115recnd 11286 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℂ)
252176a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
253119recnd 11286 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
254251, 252, 253adddird 11283 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (2 · (log‘(2 · 𝑁)))))
255 relogmul 26648 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (log‘(2 · 𝑁)) = ((log‘2) + (log‘𝑁)))
25689, 59, 255sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (log‘(2 · 𝑁)) = ((log‘2) + (log‘𝑁)))
257256oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (log‘(2 · 𝑁))) = (2 · ((log‘2) + (log‘𝑁))))
258252, 245, 168adddid 11282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · ((log‘2) + (log‘𝑁))) = ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))))
259257, 258eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (log‘(2 · 𝑁))) = ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))))
260259oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (2 · (log‘(2 · 𝑁)))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁)))))
261254, 260eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁)))))
262 5cn 12351 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℂ
263262a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 5 ∈ ℂ)
264210, 263, 245subdird 11717 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) = ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (5 · (log‘2))))
265264oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))) = (((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (5 · (log‘2))) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))))
266262, 196mulcli 11265 . . . . . . . . . . 11 (5 · (log‘2)) ∈ ℂ
267266a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (5 · (log‘2)) ∈ ℂ)
268248, 267, 168nnncan1d 11651 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (5 · (log‘2))) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))) = ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))))
269265, 268eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))) = ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))))
270261, 269oveq12d 7448 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁)))) = (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁)))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2)))))
271133recnd 11286 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
272182, 183, 271addsubassd 11637 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))) = (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2)) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁)))))
273262, 223, 196subdiri 11710 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 − 3) · (log‘2)) = ((5 · (log‘2)) − (3 · (log‘2)))
274 3p2e5 12414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 + 2) = 5
275274oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 + 2) − 3) = (5 − 3)
276 pncan2 11512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((3 + 2) − 3) = 2)
277223, 176, 276mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 + 2) − 3) = 2
278275, 277eqtr3i 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 − 3) = 2
279278oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 − 3) · (log‘2)) = (2 · (log‘2))
280273, 279eqtr3i 2764 . . . . . . . . . . . 12 ((5 · (log‘2)) − (3 · (log‘2))) = (2 · (log‘2))
281280a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((5 · (log‘2)) − (3 · (log‘2))) = (2 · (log‘2)))
282 mulcl 11236 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℂ) → (2 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
283176, 168, 282sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
284 df-3 12327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
285284oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · (log‘𝑁)) = ((2 + 1) · (log‘𝑁))
286 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
287252, 286, 168adddird 11283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 + 1) · (log‘𝑁)) = ((2 · (log‘𝑁)) + (1 · (log‘𝑁))))
288285, 287eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3 · (log‘𝑁)) = ((2 · (log‘𝑁)) + (1 · (log‘𝑁))))
289168mullidd 11276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 · (log‘𝑁)) = (log‘𝑁))
290289oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (log‘𝑁)) + (1 · (log‘𝑁))) = ((2 · (log‘𝑁)) + (log‘𝑁)))
291288, 290eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (3 · (log‘𝑁)) = ((2 · (log‘𝑁)) + (log‘𝑁)))
292291oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((3 · (log‘𝑁)) − (5 · (log‘2))) = (((2 · (log‘𝑁)) + (log‘𝑁)) − (5 · (log‘2))))
293283, 168, 267, 292assraddsubd 11674 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((3 · (log‘𝑁)) − (5 · (log‘2))) = ((2 · (log‘𝑁)) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2)))))
294281, 293oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((5 · (log‘2)) − (3 · (log‘2))) + ((3 · (log‘𝑁)) − (5 · (log‘2)))) = ((2 · (log‘2)) + ((2 · (log‘𝑁)) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))))))
295 relogdiv 26649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (log‘(𝑁 / 2)) = ((log‘𝑁) − (log‘2)))
29659, 89, 295sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (log‘(𝑁 / 2)) = ((log‘𝑁) − (log‘2)))
297296oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (3 · (log‘(𝑁 / 2))) = (3 · ((log‘𝑁) − (log‘2))))
298 subdi 11693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → (3 · ((log‘𝑁) − (log‘2))) = ((3 · (log‘𝑁)) − (3 · (log‘2))))
299223, 196, 298mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘𝑁) ∈ ℂ → (3 · ((log‘𝑁) − (log‘2))) = ((3 · (log‘𝑁)) − (3 · (log‘2))))
300168, 299syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (3 · ((log‘𝑁) − (log‘2))) = ((3 · (log‘𝑁)) − (3 · (log‘2))))
301297, 300eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (3 · (log‘(𝑁 / 2))) = ((3 · (log‘𝑁)) − (3 · (log‘2))))
302 div23 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((2 · 𝑁) / 3) = ((2 / 3) · 𝑁))
303176, 225, 302mp3an13 1451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) / 3) = ((2 / 3) · 𝑁))
304192, 303syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) = ((2 / 3) · 𝑁))
305223, 176, 223, 176, 177, 177divmuldivi 12024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 / 2) · (3 / 2)) = ((3 · 3) / (2 · 2))
306 3t3e9 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 · 3) = 9
307306, 203oveq12i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 · 3) / (2 · 2)) = (9 / 4)
308305, 307eqtr2i 2763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2))
309308a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (9 / 4) = ((3 / 2) · (3 / 2)))
310304, 309oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (9 / 4)) = (((2 / 3) · 𝑁) · ((3 / 2) · (3 / 2))))
311176, 223, 224divcli 12006 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 / 3) ∈ ℂ
312223, 176, 177divcli 12006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 / 2) ∈ ℂ
313 mul4 11426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((2 / 3) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ ((3 / 2) ∈ ℂ ∧ (3 / 2) ∈ ℂ)) → (((2 / 3) · 𝑁) · ((3 / 2) · (3 / 2))) = (((2 / 3) · (3 / 2)) · (𝑁 · (3 / 2))))
314312, 312, 313mpanr12 705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((2 / 3) · 𝑁) · ((3 / 2) · (3 / 2))) = (((2 / 3) · (3 / 2)) · (𝑁 · (3 / 2))))
315311, 192, 314sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 / 3) · 𝑁) · ((3 / 2) · (3 / 2))) = (((2 / 3) · (3 / 2)) · (𝑁 · (3 / 2))))
316 divcan6 11971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((2 / 3) · (3 / 2)) = 1)
317176, 177, 223, 224, 316mp4an 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 / 3) · (3 / 2)) = 1
318317oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 / 3) · (3 / 2)) · (𝑁 · (3 / 2))) = (1 · (𝑁 · (3 / 2)))
319 mulcl 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (3 / 2) ∈ ℂ) → (𝑁 · (3 / 2)) ∈ ℂ)
320192, 312, 319sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 · (3 / 2)) ∈ ℂ)
321320mullidd 11276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 · (𝑁 · (3 / 2))) = (𝑁 · (3 / 2)))
322318, 321eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 / 3) · (3 / 2)) · (𝑁 · (3 / 2))) = (𝑁 · (3 / 2)))
323 2cnne0 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
324 div12 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (𝑁 · (3 / 2)) = (3 · (𝑁 / 2)))
325223, 323, 324mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 · (3 / 2)) = (3 · (𝑁 / 2)))
326192, 325syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 · (3 / 2)) = (3 · (𝑁 / 2)))
327322, 326eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 / 3) · (3 / 2)) · (𝑁 · (3 / 2))) = (3 · (𝑁 / 2)))
328310, 315, 3273eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (9 / 4)) = (3 · (𝑁 / 2)))
329328, 82oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) / 3) · (9 / 4)) · (𝐺‘(𝑁 / 2))) = ((3 · (𝑁 / 2)) · ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))))
33075recni 11272 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 / 4) ∈ ℂ
331330a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (9 / 4) ∈ ℂ)
33285recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺‘(𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
333214, 331, 332mulassd 11281 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) / 3) · (9 / 4)) · (𝐺‘(𝑁 / 2))) = (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))))
334223a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
33576rpcnd 13076 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
33683recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (log‘(𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
33776rpne0d 13079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 / 2) ≠ 0)
338336, 335, 337divcld 12040 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) ∈ ℂ)
339334, 335, 338mulassd 11281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((3 · (𝑁 / 2)) · ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))) = (3 · ((𝑁 / 2) · ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))))
340336, 335, 337divcan2d 12042 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 / 2) · ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))) = (log‘(𝑁 / 2)))
341340oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (3 · ((𝑁 / 2) · ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))) = (3 · (log‘(𝑁 / 2))))
342339, 341eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((3 · (𝑁 / 2)) · ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))) = (3 · (log‘(𝑁 / 2))))
343329, 333, 3423eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) = (3 · (log‘(𝑁 / 2))))
344223, 196mulcli 11265 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · (log‘2)) ∈ ℂ
345344a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (3 · (log‘2)) ∈ ℂ)
346 mulcl 11236 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℂ) → (3 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
347223, 168, 346sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (3 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
348267, 345, 347npncan3d 11653 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((5 · (log‘2)) − (3 · (log‘2))) + ((3 · (log‘𝑁)) − (5 · (log‘2)))) = ((3 · (log‘𝑁)) − (3 · (log‘2))))
349301, 343, 3483eqtr4d 2784 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) = (((5 · (log‘2)) − (3 · (log‘2))) + ((3 · (log‘𝑁)) − (5 · (log‘2)))))
350116, 91remulcli 11274 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (log‘2)) ∈ ℝ
351350recni 11272 . . . . . . . . . . . 12 (2 · (log‘2)) ∈ ℂ
352351a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (log‘2)) ∈ ℂ)
353 subcl 11504 . . . . . . . . . . . 12 (((log‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (5 · (log‘2)) ∈ ℂ) → ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))) ∈ ℂ)
354168, 266, 353sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))) ∈ ℂ)
355352, 283, 354addassd 11280 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2)))) = ((2 · (log‘2)) + ((2 · (log‘𝑁)) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))))))
356294, 349, 3553eqtr4d 2784 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) = (((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2)))))
357356oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))))))
358 mulcl 11236 . . . . . . . . . . 11 ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) ∈ ℂ)
359251, 196, 358sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) ∈ ℂ)
360251, 168mulcld 11278 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) ∈ ℂ)
36187recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))) ∈ ℂ)
362214, 361mulcld 11278 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) ∈ ℂ)
363359, 360, 362addassd 11280 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))))))
364256oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · ((log‘2) + (log‘𝑁))))
365251, 245, 168adddid 11282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · ((log‘2) + (log‘𝑁))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁))))
366364, 365eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁))))
367366oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) = (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))))
36857oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹𝑁)) = (((2 · 𝑁) / 3) · ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))))
36988recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) ∈ ℂ)
37096recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
371214, 369, 370adddid 11282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))) + ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))) = ((((2 · 𝑁) / 3) · (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))))
372368, 371eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹𝑁)) = ((((2 · 𝑁) / 3) · (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))))
37371recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) ∈ ℂ)
374214, 373, 361adddid 11282 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) = ((((2 · 𝑁) / 3) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))))
37593rpge0d 13078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (2 · 𝑁))
376 remsqsqrt 15291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝑁)) → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
377237, 375, 376syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
378377oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) / 3) = ((2 · 𝑁) / 3))
379112recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
380224a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 3 ≠ 0)
381379, 379, 334, 380div23d 12077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) · (√‘(2 · 𝑁))) / 3) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (√‘(2 · 𝑁))))
382378, 381eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (√‘(2 · 𝑁))))
383382oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (√‘(2 · 𝑁))) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))))
384251, 379, 373mulassd 11281 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (√‘(2 · 𝑁))) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · ((√‘(2 · 𝑁)) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))))))
385 0le2 12365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ≤ 2
386116, 385pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
38759rprege0d 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁))
388 sqrtmul 15294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁)) → (√‘(2 · 𝑁)) = ((√‘2) · (√‘𝑁)))
389386, 387, 388sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) = ((√‘2) · (√‘𝑁)))
390389oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (((√‘2) · (√‘𝑁)) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))))
39158recni 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (√‘2) ∈ ℂ
392391a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘2) ∈ ℂ)
39360rpcnd 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (√‘𝑁) ∈ ℂ)
39469recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺‘(√‘𝑁)) ∈ ℂ)
395392, 393, 392, 394mul4d 11470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((√‘2) · (√‘𝑁)) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (((√‘2) · (√‘2)) · ((√‘𝑁) · (𝐺‘(√‘𝑁)))))
396 remsqsqrt 15291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
397116, 385, 396mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((√‘2) · (√‘2)) = 2
398397a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
39966oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((√‘𝑁) · (𝐺‘(√‘𝑁))) = ((√‘𝑁) · ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁))))
40067recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (log‘(√‘𝑁)) ∈ ℂ)
40160rpne0d 13079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (√‘𝑁) ≠ 0)
402400, 393, 401divcan2d 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((√‘𝑁) · ((log‘(√‘𝑁)) / (√‘𝑁))) = (log‘(√‘𝑁)))
403399, 402eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((√‘𝑁) · (𝐺‘(√‘𝑁))) = (log‘(√‘𝑁)))
404398, 403oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((√‘2) · (√‘2)) · ((√‘𝑁) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (2 · (log‘(√‘𝑁))))
4054002timesd 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (log‘(√‘𝑁))) = ((log‘(√‘𝑁)) + (log‘(√‘𝑁))))
40660, 60relogmuld 26681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘((√‘𝑁) · (√‘𝑁))) = ((log‘(√‘𝑁)) + (log‘(√‘𝑁))))
407 remsqsqrt 15291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → ((√‘𝑁) · (√‘𝑁)) = 𝑁)
408387, 407syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((√‘𝑁) · (√‘𝑁)) = 𝑁)
409408fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (log‘((√‘𝑁) · (√‘𝑁))) = (log‘𝑁))
410406, 409eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((log‘(√‘𝑁)) + (log‘(√‘𝑁))) = (log‘𝑁))
411404, 405, 4103eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((√‘2) · (√‘2)) · ((√‘𝑁) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (log‘𝑁))
412390, 395, 4113eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (log‘𝑁))
413412oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · ((√‘(2 · 𝑁)) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)))
414383, 384, 4133eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)))
415414oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) / 3) · ((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁)))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))))
416374, 415eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))))
417382oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (√‘(2 · 𝑁))) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))))
418251, 379, 370mulassd 11281 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (√‘(2 · 𝑁))) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · ((√‘(2 · 𝑁)) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))))
41994rpne0d 13079 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘(2 · 𝑁)) ≠ 0)
420245, 379, 419divcan2d 12042 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))) = (log‘2))
421420oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · ((√‘(2 · 𝑁)) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)))
422417, 418, 4213eqtrd 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁)))) = (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)))
423416, 422oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) / 3) · (((√‘2) · (𝐺‘(√‘𝑁))) + ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((log‘2) / (√‘(2 · 𝑁))))) = (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) + (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2))))
424360, 362addcld 11277 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) ∈ ℂ)
425424, 359addcomd 11460 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))) + (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))))))
426372, 423, 4253eqtrd 2778 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹𝑁)) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘2)) + ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘𝑁)) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2)))))))
427363, 367, 4263eqtr4rd 2785 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹𝑁)) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((2 · 𝑁) / 3) · ((9 / 4) · (𝐺‘(𝑁 / 2))))))
428251, 253mulcld 11278 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) ∈ ℂ)
429 addcl 11234 . . . . . . . . . 10 (((2 · (log‘2)) ∈ ℂ ∧ (2 · (log‘𝑁)) ∈ ℂ) → ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))) ∈ ℂ)
430351, 283, 429sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))) ∈ ℂ)
431428, 430, 354addassd 11280 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁)))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2)))) = ((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + (((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2))))))
432357, 427, 4313eqtr4d 2784 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹𝑁)) = (((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((2 · (log‘2)) + (2 · (log‘𝑁)))) + ((log‘𝑁) − (5 · (log‘2)))))
433270, 272, 4323eqtr4rd 2785 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹𝑁)) = ((((((√‘(2 · 𝑁)) / 3) + 2) · (log‘(2 · 𝑁))) + ((((4 · 𝑁) / 3) − 5) · (log‘2))) − ((((4 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) − (log‘𝑁))))
434191, 250, 4333brtr4d 5179 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) < (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹𝑁)))
43599, 98, 213ltmul2d 13116 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘2) < (𝐹𝑁) ↔ (((2 · 𝑁) / 3) · (log‘2)) < (((2 · 𝑁) / 3) · (𝐹𝑁))))
436434, 435mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → (log‘2) < (𝐹𝑁))
43745, 99, 98, 100, 436lttrd 11419 . . 3 (𝜑 → (𝐹64) < (𝐹𝑁))
43845, 98, 437ltnsymd 11407 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑁) < (𝐹64))
43942, 438pm2.21dd 195 1 (𝜑𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  ifcif 4530   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  4c4 12320  5c5 12321  6c6 12322  8c8 12324  9c9 12325  cz 12610  cdc 12730  cuz 12875  +crp 13031  cfl 13826  cexp 14098  Ccbc 14337  csqrt 15268  expce 16093  eceu 16094  cprime 16704   pCnt cpc 16869  logclog 26610  𝑐ccxp 26611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-e 16100  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-pc 16870  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-cxp 26613  df-cht 27154  df-ppi 27157
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