Theorem onssnel2i 6481

Description: An ordering law for ordinal numbers. (Contributed by NM, 13-Jun-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
on.1	⊢ 𝐴 ∈ On

Assertion

Ref	Expression
onssnel2i	⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem onssnel2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ On
2	1	onirri 6477	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
3		ssel 3902	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐴))
4	2, 3	mtoi 202	1 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  Oncon0 6362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-ord 6365  df-on 6366

This theorem is used by: (None)