Theorem onirri 6477

Description: An ordinal number is not a member of itself. Theorem 7M(c) of [Enderton] p. 192. (Contributed by NM, 11-Jun-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
on.1	⊢ 𝐴 ∈ On

Assertion

Ref	Expression
onirri	⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴

Proof of Theorem onirri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ On
2	1	onordi 6476	. 2 ⊢ Ord 𝐴
3		ordirr 6380	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2144  Ord word 6361  Oncon0 6362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-ord 6365  df-on 6366

This theorem is used by:  onssnel2i  6481  onuninsuci  7851  nlim2  8501  ord1eln01  8507  ord2eln012  8508  oelim2  8607  omopthlem2  8672  harndom  9559  ssttrcl  9719  wfelirr  9837  carduni  10065  pm54.43  10085  alephle  10170  alephfp  10190  alephval3  10192  pwxpndom2  10753  oldirr  28281  lrrecpo  28332  onsucsuccmpi  37323  onint1  37329  finxpreclem5  38411  wepwsolem  44142  setc1onsubc  50833  parswapprop  50870