Theorem onirri 6435

Description: An ordinal number is not a member of itself. Theorem 7M(c) of [Enderton] p. 192. (Contributed by NM, 11-Jun-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
on.1	⊢ 𝐴 ∈ On

Assertion

Ref	Expression
onirri	⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴

Proof of Theorem onirri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		on.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ On
2	1	onordi 6433	. 2 ⊢ Ord 𝐴
3		ordirr 6340	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2106  Ord word 6321  Oncon0 6322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5228  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-ord 6325  df-on 6326

This theorem is referenced by:  onssnel2i  6439  onuninsuci  7781  nlim2  8441  ord1eln01  8447  ord2eln012  8448  oelim2  8547  omopthlem2  8611  enpr2dOLD  9001  harndom  9507  ssttrcl  9660  wfelirr  9770  carduni  9926  pm54.43  9946  alephle  10033  alephfp  10053  pwxpndom2  10610  oldirr  27262  lrrecpo  27296  onsucsuccmpi  34991  onint1  34997  finxpreclem5  35939  wepwsolem  41427