Theorem onssneli 6370

Description: An ordering law for ordinal numbers. (Contributed by NM, 13-Jun-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
on.1	⊢ 𝐴 ∈ On

Assertion

Ref	Expression
onssneli	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem onssneli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3914	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐵))
2		on.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ On
3	2	oneli 6368	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ On)
4		eloni 6270	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
5		ordirr 6278	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐵)
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐵)
7	1, 6	nsyli 157	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
8	7	pm2.01d 189	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  Ord word 6259  Oncon0 6260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2154  ax-ext 2709  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pr 5351

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3432  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-ord 6263  df-on 6264

This theorem is referenced by:  cofcutr  34078  onsucconni  34612