Theorem pnfged 13045

Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
pnfged.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
pnfged	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ +∞)

Proof of Theorem pnfged

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfged.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		pnfge 13044	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  +∞cpnf 11163  ℝ^*cxr 11165   ≤ cle 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-cnv 5632  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172

This theorem is referenced by:  xrlimcnp  26934  lbslelsp  33754  xlimpnfvlem2  46081  xlimliminflimsup  46106  pimgtpnf2f  46949  pimiooltgt  46954