Theorem pnfged 42689

Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
pnfged.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
pnfged	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ +∞)

Proof of Theorem pnfged

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfged.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		pnfge 12722	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  +∞cpnf 10864  ℝ^*cxr 10866   ≤ cle 10868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2071  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-xp 5557  df-cnv 5559  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873

This theorem is referenced by:  xlimpnfvlem2  43053  xlimliminflimsup  43078