Theorem pnfged 13300

Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
pnfged.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
pnfged	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ +∞)

Proof of Theorem pnfged

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfged.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		pnfge 13299	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ +∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   ≤ cle 11383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-xp 5664  df-cnv 5666  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388

This theorem is used by:  xrlimcnp  27353  lbslelsp  34341  omssubadd  35043  xlimpnfvlem2  47120  xlimliminflimsup  47145  fourierdlem48  47437  fourierdlem113  47502  pimgtpnf2f  47988  pimiooltgt  47993