Theorem pnfged 13182

Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
pnfged.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
pnfged	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ +∞)

Proof of Theorem pnfged

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfged.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		pnfge 13181	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ +∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   ≤ cle 11268

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-cnv 5663  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273

This theorem is used by:  xrlimcnp  27205  lbslelsp  34108  xlimpnfvlem2  46665  xlimliminflimsup  46690  fourierdlem48  46982  fourierdlem113  47047  pimgtpnf2f  47533  pimiooltgt  47538