Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimpnfvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimpnfvlem2 43053
Description: Lemma for xlimpnfv 43054: the "if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfvlem2.k 𝑘𝜑
xlimpnfvlem2.j 𝑗𝜑
xlimpnfvlem2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfvlem2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimpnfvlem2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimpnfvlem2.g (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
xlimpnfvlem2 (𝜑𝐹~~>*+∞)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem xlimpnfvlem2
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letopon 22102 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
21a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
32elfvexd 6751 . . . . 5 (𝜑 → ℝ* ∈ V)
4 cnex 10810 . . . . . 6 ℂ ∈ V
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ∈ V)
6 xlimpnfvlem2.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
7 xlimpnfvlem2.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
87uzsscn2 42693 . . . . . 6 𝑍 ⊆ ℂ
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ⊆ ℂ)
10 elpm2r 8526 . . . . 5 (((ℝ* ∈ V ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍⟶ℝ*𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
113, 5, 6, 9, 10syl22anc 839 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
12 pnfxr 10887 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
14 pnfnei 22117 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ 𝑢) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢)
1514adantll 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) ∧ +∞ ∈ 𝑢) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢)
16 xlimpnfvlem2.j . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝜑
17 nfv 1922 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 𝑥 ∈ ℝ
1816, 17nfan 1907 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
19 nfv 1922 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢
2018, 19nfan 1907 . . . . . . . . . . 11 𝑗((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢)
21 simprr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
22 xlimpnfvlem2.k . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝜑
23 nfv 1922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘 𝑥 ∈ ℝ
2422, 23nfan 1907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
25 nfv 1922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢
2624, 25nfan 1907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢)
27 nfv 1922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘 𝑗𝑍
2826, 27nfan 1907 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍)
297uztrn2 12457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
30293adant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
316fdmd 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
32313ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → dom 𝐹 = 𝑍)
3330, 32eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
3433ad5ant134 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
3534adantl4r 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
36 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢)
3736adantl4r 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢)
38 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ)
39 rexr 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → +∞ ∈ ℝ*)
42 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝜑)
4329ad4ant23 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝑘𝑍)
446ffvelrnda 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
4542, 43, 44syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
46 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → 𝑥 < (𝐹𝑘))
4763ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4847, 30ffvelrnd 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
4948pnfged 42689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ≤ +∞)
5049ad5ant134 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ≤ +∞)
5140, 41, 45, 46, 50eliocd 42720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(,]+∞))
5251adantl3r 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑥(,]+∞))
5337, 52sseldd 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)
5435, 53jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑥 < (𝐹𝑘)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
5554ex 416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑥 < (𝐹𝑘) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
5628, 55ralimda 3407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
5756adantrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
5821, 57mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ (𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
59583impb 1117 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) ∧ 𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
60 xlimpnfvlem2.g . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
6160r19.21bi 3130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
6261adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < (𝐹𝑘))
6320, 59, 62reximdd 42374 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
64 xlimpnfvlem2.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
657rexuz3 14912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
6766ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
6863, 67mpbid 235 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
6968rexlimdva2 3206 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
7069ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) ∧ +∞ ∈ 𝑢) → (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
7115, 70mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) ∧ +∞ ∈ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
7271ex 416 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
7372ralrimiva 3105 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
7411, 13, 733jca 1130 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
75 nfcv 2904 . . . 4 𝑘𝐹
7675, 2lmbr3 42963 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(+∞ ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
7774, 76mpbird 260 . 2 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞)
78 df-xlim 43035 . . . 4 ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
7978breqi 5059 . . 3 (𝐹~~>*+∞ ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞)
8079a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))+∞))
8177, 80mpbird 260 1 (𝜑𝐹~~>*+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wnf 1791  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3408  wss 3866   class class class wbr 5053  dom cdm 5551  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  pm cpm 8509  cc 10727  cr 10728  +∞cpnf 10864  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868  cz 12176  cuz 12438  (,]cioc 12936  ordTopcordt 17004  TopOnctopon 21807  𝑡clm 22123  ~~>*clsxlim 43034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-1o 8202  df-er 8391  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fi 9027  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-z 12177  df-uz 12439  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-topgen 16948  df-ordt 17006  df-ps 18072  df-tsr 18073  df-top 21791  df-topon 21808  df-bases 21843  df-lm 22126  df-xlim 43035
This theorem is referenced by:  xlimpnfv  43054
  Copyright terms: Public domain W3C validator