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Theorem xlimpnfvlem2 44164
Description: Lemma for xlimpnfv 44165: the "if" part of the biconditional. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfvlem2.k β„²π‘˜πœ‘
xlimpnfvlem2.j β„²π‘—πœ‘
xlimpnfvlem2.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
xlimpnfvlem2.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimpnfvlem2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
xlimpnfvlem2.g (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
xlimpnfvlem2 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*+∞)
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,π‘˜   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗,π‘˜)   𝑀(π‘₯,π‘˜)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem xlimpnfvlem2
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letopon 22572 . . . . . . 7 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
21a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*))
32elfvexd 6882 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ* ∈ V)
4 cnex 11137 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
54a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
6 xlimpnfvlem2.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
7 xlimpnfvlem2.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
87uzsscn2 43799 . . . . . 6 𝑍 βŠ† β„‚
98a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 βŠ† β„‚)
10 elpm2r 8786 . . . . 5 (((ℝ* ∈ V ∧ β„‚ ∈ V) ∧ (𝐹:π‘βŸΆβ„* ∧ 𝑍 βŠ† β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚))
113, 5, 6, 9, 10syl22anc 838 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚))
12 pnfxr 11214 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
1312a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
14 pnfnei 22587 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ +∞ ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒)
1514adantll 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) ∧ +∞ ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒)
16 xlimpnfvlem2.j . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘—πœ‘
17 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗 π‘₯ ∈ ℝ
1816, 17nfan 1903 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)
19 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗(π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒
2018, 19nfan 1903 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒)
21 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜))
22 xlimpnfvlem2.k . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘˜πœ‘
23 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘˜ π‘₯ ∈ ℝ
2422, 23nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)
25 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘˜(π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒
2624, 25nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒)
27 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ 𝑍
2826, 27nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜(((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
297uztrn2 12787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
30293adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
316fdmd 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
32313ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
3330, 32eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
3433ad5ant134 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
3534adantl4r 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
36 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒)
3736adantl4r 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒)
38 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
39 rexr 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
4112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
42 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ πœ‘)
4329ad4ant23 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
446ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
4542, 43, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
46 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜))
4763ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
4847, 30ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
4948pnfged 43795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ +∞)
5049ad5ant134 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ +∞)
5140, 41, 45, 46, 50eliocd 43831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(,]+∞))
5251adantl3r 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘₯(,]+∞))
5337, 52sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)
5435, 53jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
5554ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
5628, 55ralimdaa 3242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
5756adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
5821, 57mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
59583impb 1116 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
60 xlimpnfvlem2.g . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜))
6160r19.21bi 3233 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜))
6261adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < (πΉβ€˜π‘˜))
6320, 59, 62reximdd 43450 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
64 xlimpnfvlem2.m . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
657rexuz3 15239 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
6766ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
6863, 67mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
6968rexlimdva2 3151 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
7069ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) ∧ +∞ ∈ 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
7115, 70mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) ∧ +∞ ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
7271ex 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (+∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
7372ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(+∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
7411, 13, 733jca 1129 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(+∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒))))
75 nfcv 2904 . . . 4 β„²π‘˜πΉ
7675, 2lmbr3 44074 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))+∞ ↔ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm β„‚) ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )(+∞ ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))))
7774, 76mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))+∞)
78 df-xlim 44146 . . . 4 ~~>* = (β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))
7978breqi 5112 . . 3 (𝐹~~>*+∞ ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))+∞)
8079a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*+∞ ↔ 𝐹(β‡π‘‘β€˜(ordTopβ€˜ ≀ ))+∞))
8177, 80mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ 𝐹~~>*+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑pm cpm 8769  β„‚cc 11054  β„cr 11055  +∞cpnf 11191  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  (,]cioc 13271  ordTopcordt 17386  TopOnctopon 22275  β‡π‘‘clm 22593  ~~>*clsxlim 44145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-1o 8413  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9352  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-z 12505  df-uz 12769  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-topgen 17330  df-ordt 17388  df-ps 18460  df-tsr 18461  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-lm 22596  df-xlim 44146
This theorem is referenced by:  xlimpnfv  44165
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