Theorem pnfge 13110

Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
pnfge	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)

Proof of Theorem pnfge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnlt 13108	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)
2		pnfxr 11268	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		xrlenlt 11279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
4	2, 3	mpan2 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
5	1, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  +∞cpnf 11245  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248   ≤ cle 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254

This theorem is referenced by:  xnn0n0n1ge2b  13111  0lepnf  13112  nltpnft  13143  xrre2  13149  xnn0lem1lt  13223  xleadd1a  13232  xlt2add  13239  xsubge0  13240  xlesubadd  13242  xlemul1a  13267  elicore  13376  elico2  13388  iccmax  13400  elxrge0  13434  nfile  14319  hashdom  14339  hashdomi  14340  hashge1  14349  hashss  14369  hashge2el2difr  14442  pcdvdsb  16802  pc2dvds  16812  pcaddlem  16821  xrsdsreclblem  20991  leordtvallem1  22714  lecldbas  22723  isxmet2d  23833  blssec  23941  nmoix  24246  nmoleub  24248  xrtgioo  24322  xrge0tsms  24350  metdstri  24367  nmoleub2lem  24630  ovolf  24999  ovollb2  25006  ovoliun  25022  ovolre  25042  voliunlem3  25069  volsup  25073  icombl  25081  ioombl  25082  ismbfd  25156  itg2seq  25260  dvfsumrlim  25548  dvfsumrlim2  25549  radcnvcl  25929  xrlimcnp  26473  logfacbnd3  26726  log2sumbnd  27047  tgldimor  27784  xrdifh  32022  xrge0tsmsd  32240  unitssxrge0  32911  tpr2rico  32923  lmxrge0  32963  esumle  33087  esumlef  33091  esumpinfval  33102  esumpinfsum  33106  esumcvgsum  33117  ddemeas  33265  sxbrsigalem2  33316  omssubadd  33330  carsgclctunlem3  33350  signsply0  33593  ismblfin  36577  xrgepnfd  44089  supxrgelem  44095  supxrge  44096  infrpge  44109  xrlexaddrp  44110  infleinflem1  44128  infleinf  44130  infxrpnf  44204  pnfged  44232  ge0xrre  44292  iblsplit  44730  ismbl3  44750  ovolsplit  44752  sge0cl  45145  sge0less  45156  sge0pr  45158  sge0le  45171  sge0split  45173  carageniuncl  45287  ovnsubaddlem1  45334  hspmbl  45393  pimiooltgt  45474  pgrpgt2nabl  47090