Theorem pnfge 13081

Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
pnfge	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)

Proof of Theorem pnfge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnlt 13079	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)
2		pnfxr 11199	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		xrlenlt 11210	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
4	2, 3	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
5	1, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  +∞cpnf 11176  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185

This theorem is referenced by:  pnfged  13082  xnn0n0n1ge2b  13083  0lepnf  13084  nltpnft  13116  xrre2  13122  xnn0lem1lt  13196  xleadd1a  13205  xlt2add  13212  xsubge0  13213  xlesubadd  13215  xlemul1a  13240  elicore  13351  elico2  13363  iccmax  13376  elxrge0  13410  nfile  14321  hashdom  14341  hashdomi  14342  hashge1  14351  hashss  14371  hashge2el2difr  14443  pcdvdsb  16840  pc2dvds  16850  pcaddlem  16859  xrsdsreclblem  21393  leordtvallem1  23175  lecldbas  23184  isxmet2d  24292  blssec  24400  nmoix  24694  nmoleub  24696  xrtgioo  24772  xrge0tsms  24800  metdstri  24817  nmoleub2lem  25081  ovolf  25449  ovollb2  25456  ovoliun  25472  ovolre  25492  voliunlem3  25519  volsup  25523  icombl  25531  ioombl  25532  ismbfd  25606  itg2seq  25709  dvfsumrlim  25998  dvfsumrlim2  25999  radcnvcl  26382  logfacbnd3  27186  log2sumbnd  27507  tgldimor  28570  xrdifh  32853  xrge0tsmsd  33134  unitssxrge0  34044  tpr2rico  34056  lmxrge0  34096  esumle  34202  esumlef  34206  esumpinfval  34217  esumpinfsum  34221  esumcvgsum  34232  ddemeas  34380  sxbrsigalem2  34430  omssubadd  34444  carsgclctunlem3  34464  signsply0  34695  ismblfin  37982  xrgepnfd  45761  supxrgelem  45767  supxrge  45768  infrpge  45781  xrlexaddrp  45782  infleinflem1  45799  infleinf  45801  infxrpnf  45874  ge0xrre  45961  iblsplit  46394  ismbl3  46414  ovolsplit  46416  sge0cl  46809  sge0less  46820  sge0pr  46822  sge0le  46835  sge0split  46837  carageniuncl  46951  ovnsubaddlem1  46998  hspmbl  47057  pgrpgt2nabl  48842