MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfge 12517
Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
pnfge (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)

Proof of Theorem pnfge
StepHypRef Expression
1 pnfnlt 12515 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)
2 pnfxr 10688 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
3 xrlenlt 10699 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
42, 3mpan2 690 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
51, 4mpbird 260 1 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wcel 2112   class class class wbr 5033  +∞cpnf 10665  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-xp 5529  df-cnv 5531  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674
This theorem is referenced by:  xnn0n0n1ge2b  12518  0lepnf  12519  nltpnft  12549  xrre2  12555  xnn0lem1lt  12629  xleadd1a  12638  xlt2add  12645  xsubge0  12646  xlesubadd  12648  xlemul1a  12673  elicore  12781  elico2  12793  iccmax  12805  elxrge0  12839  nfile  13720  hashdom  13740  hashdomi  13741  hashge1  13750  hashss  13770  hashge2el2difr  13839  pcdvdsb  16198  pc2dvds  16208  pcaddlem  16217  xrsdsreclblem  20140  leordtvallem1  21818  lecldbas  21827  isxmet2d  22937  blssec  23045  nmoix  23338  nmoleub  23340  xrtgioo  23414  xrge0tsms  23442  metdstri  23459  nmoleub2lem  23722  ovolf  24089  ovollb2  24096  ovoliun  24112  ovolre  24132  voliunlem3  24159  volsup  24163  icombl  24171  ioombl  24172  ismbfd  24246  itg2seq  24349  dvfsumrlim  24637  dvfsumrlim2  24638  radcnvcl  25015  xrlimcnp  25557  logfacbnd3  25810  log2sumbnd  26131  tgldimor  26299  xrdifh  30532  xrge0tsmsd  30745  unitssxrge0  31251  tpr2rico  31263  lmxrge0  31303  esumle  31425  esumlef  31429  esumpinfval  31440  esumpinfsum  31444  esumcvgsum  31455  ddemeas  31603  sxbrsigalem2  31652  omssubadd  31666  carsgclctunlem3  31686  signsply0  31929  ismblfin  35091  xrgepnfd  41950  supxrgelem  41956  supxrge  41957  infrpge  41970  xrlexaddrp  41971  infleinflem1  41989  infleinf  41991  infxrpnf  42071  pnfged  42100  ge0xrre  42155  iblsplit  42595  ismbl3  42615  ovolsplit  42617  sge0cl  43007  sge0less  43018  sge0pr  43020  sge0le  43033  sge0split  43035  carageniuncl  43149  ovnsubaddlem1  43196  hspmbl  43255  pimiooltgt  43333  pgrpgt2nabl  44755
  Copyright terms: Public domain W3C validator