Theorem pnfge 12687

Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
pnfge	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)

Proof of Theorem pnfge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnlt 12685	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)
2		pnfxr 10852	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		xrlenlt 10863	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
4	2, 3	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
5	1, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  +∞cpnf 10829  ℝ^*cxr 10831   < clt 10832   ≤ cle 10833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2073  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-xp 5542  df-cnv 5544  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838

This theorem is referenced by:  xnn0n0n1ge2b  12688  0lepnf  12689  nltpnft  12719  xrre2  12725  xnn0lem1lt  12799  xleadd1a  12808  xlt2add  12815  xsubge0  12816  xlesubadd  12818  xlemul1a  12843  elicore  12952  elico2  12964  iccmax  12976  elxrge0  13010  nfile  13891  hashdom  13911  hashdomi  13912  hashge1  13921  hashss  13941  hashge2el2difr  14012  pcdvdsb  16385  pc2dvds  16395  pcaddlem  16404  xrsdsreclblem  20363  leordtvallem1  22061  lecldbas  22070  isxmet2d  23179  blssec  23287  nmoix  23581  nmoleub  23583  xrtgioo  23657  xrge0tsms  23685  metdstri  23702  nmoleub2lem  23965  ovolf  24333  ovollb2  24340  ovoliun  24356  ovolre  24376  voliunlem3  24403  volsup  24407  icombl  24415  ioombl  24416  ismbfd  24490  itg2seq  24594  dvfsumrlim  24882  dvfsumrlim2  24883  radcnvcl  25263  xrlimcnp  25805  logfacbnd3  26058  log2sumbnd  26379  tgldimor  26547  xrdifh  30775  xrge0tsmsd  30990  unitssxrge0  31518  tpr2rico  31530  lmxrge0  31570  esumle  31692  esumlef  31696  esumpinfval  31707  esumpinfsum  31711  esumcvgsum  31722  ddemeas  31870  sxbrsigalem2  31919  omssubadd  31933  carsgclctunlem3  31953  signsply0  32196  ismblfin  35504  xrgepnfd  42484  supxrgelem  42490  supxrge  42491  infrpge  42504  xrlexaddrp  42505  infleinflem1  42523  infleinf  42525  infxrpnf  42601  pnfged  42630  ge0xrre  42685  iblsplit  43125  ismbl3  43145  ovolsplit  43147  sge0cl  43537  sge0less  43548  sge0pr  43550  sge0le  43563  sge0split  43565  carageniuncl  43679  ovnsubaddlem1  43726  hspmbl  43785  pimiooltgt  43863  pgrpgt2nabl  45318