Theorem pnfge 13029

Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
pnfge	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)

Proof of Theorem pnfge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnlt 13027	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)
2		pnfxr 11166	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		xrlenlt 11177	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
4	2, 3	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
5	1, 4	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  +∞cpnf 11143  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-cnv 5622  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152

This theorem is referenced by:  pnfged  13030  xnn0n0n1ge2b  13031  0lepnf  13032  nltpnft  13063  xrre2  13069  xnn0lem1lt  13143  xleadd1a  13152  xlt2add  13159  xsubge0  13160  xlesubadd  13162  xlemul1a  13187  elicore  13298  elico2  13310  iccmax  13323  elxrge0  13357  nfile  14266  hashdom  14286  hashdomi  14287  hashge1  14296  hashss  14316  hashge2el2difr  14388  pcdvdsb  16781  pc2dvds  16791  pcaddlem  16800  xrsdsreclblem  21349  leordtvallem1  23125  lecldbas  23134  isxmet2d  24242  blssec  24350  nmoix  24644  nmoleub  24646  xrtgioo  24722  xrge0tsms  24750  metdstri  24767  nmoleub2lem  25041  ovolf  25410  ovollb2  25417  ovoliun  25433  ovolre  25453  voliunlem3  25480  volsup  25484  icombl  25492  ioombl  25493  ismbfd  25567  itg2seq  25670  dvfsumrlim  25965  dvfsumrlim2  25966  radcnvcl  26353  xrlimcnp  26905  logfacbnd3  27161  log2sumbnd  27482  tgldimor  28480  xrdifh  32763  xrge0tsmsd  33042  unitssxrge0  33913  tpr2rico  33925  lmxrge0  33965  esumle  34071  esumlef  34075  esumpinfval  34086  esumpinfsum  34090  esumcvgsum  34101  ddemeas  34249  sxbrsigalem2  34299  omssubadd  34313  carsgclctunlem3  34333  signsply0  34564  ismblfin  37711  xrgepnfd  45440  supxrgelem  45446  supxrge  45447  infrpge  45460  xrlexaddrp  45461  infleinflem1  45478  infleinf  45480  infxrpnf  45554  ge0xrre  45641  iblsplit  46074  ismbl3  46094  ovolsplit  46096  sge0cl  46489  sge0less  46500  sge0pr  46502  sge0le  46515  sge0split  46517  carageniuncl  46631  ovnsubaddlem1  46678  hspmbl  46737  pimiooltgt  46818  pgrpgt2nabl  48476