Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  min2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem min2d 42973
Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the second. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
min2d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
min2d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
min2d (𝜑 → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem min2d
StepHypRef Expression
1 min2d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 min2d.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 min2 12913 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  ifcif 4461   class class class wbr 5075  cr 10859  cle 10999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5486  df-po 5500  df-so 5501  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-er 8487  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004
This theorem is referenced by:  limclner  43152  climxrre  43251
  Copyright terms: Public domain W3C validator