Theorem refrelcoss 38509

Description: The class of cosets by 𝑅 is reflexive. (Contributed by Peter Mazsa, 4-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
refrelcoss	⊢ RefRel ≀ 𝑅

Proof of Theorem refrelcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refrelcoss2 38450	. 2 ⊢ (( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)) ⊆ ≀ 𝑅 ∧ Rel ≀ 𝑅)
2		dfrefrel2 38501	. 2 ⊢ ( RefRel ≀ 𝑅 ↔ (( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)) ⊆ ≀ 𝑅 ∧ Rel ≀ 𝑅))
3	1, 2	mpbir 231	1 ⊢ RefRel ≀ 𝑅

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∩ cin 3915   ⊆ wss 3916   I cid 5534   × cxp 5638  dom cdm 5640  ran crn 5641  Rel wrel 5645   ≀ ccoss 38164   RefRel wrefrel 38170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5110  df-opab 5172  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-coss 38397  df-refrel 38498

This theorem is referenced by:  eqvrelcoss  38603