Theorem refrelcoss 37856

Description: The class of cosets by 𝑅 is reflexive. (Contributed by Peter Mazsa, 4-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
refrelcoss	⊢ RefRel ≀ 𝑅

Proof of Theorem refrelcoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		refrelcoss2 37797	. 2 ⊢ (( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)) ⊆ ≀ 𝑅 ∧ Rel ≀ 𝑅)
2		dfrefrel2 37848	. 2 ⊢ ( RefRel ≀ 𝑅 ↔ (( I ∩ (dom ≀ 𝑅 × ran ≀ 𝑅)) ⊆ ≀ 𝑅 ∧ Rel ≀ 𝑅))
3	1, 2	mpbir 230	1 ⊢ RefRel ≀ 𝑅

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948   I cid 5573   × cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677  Rel wrel 5681   ≀ ccoss 37506   RefRel wrefrel 37512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-coss 37744  df-refrel 37845

This theorem is referenced by:  eqvrelcoss  37950