Theorem sltsss1 27759

Description: The first argument of surreal set is a set of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sltsss1	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆ No )

Proof of Theorem sltsss1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brslts 27756	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2		simpr1 1196	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → 𝐴 ⊆ No )
3	1, 2	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   No csur 27605   <s clts 27606   <<s cslts 27751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5638  df-slts 27752

This theorem is referenced by:  ssslts1  27767  ssslts2  27768  conway  27773  cutsval  27774  sltstr  27781  sltsun1  27782  sltsun2  27783  dmcuts  27785  etaslts  27787  lesrec  27793  ltsrec  27795  sltsdisj  27797  eqcuts3  27798  cofslts  27912  coinitslts  27913  cofcut1  27914  cofcutr  27918  cutlt  27926  cutmin  27929  addsuniflem  27995  negsunif  28049  sltmuls1  28141  sltmuls2  28142  mulsuniflem  28143  mulsunif2lem  28163  precsexlem11  28211  renegscl  28492