| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | ssltex1 27832 | . . 3
⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ∈ V) | 
| 2 | 1 | adantr 480 | . 2
⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → 𝐴 ∈ V) | 
| 3 |  | ssltex2 27833 | . . . 4
⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ∈ V) | 
| 4 | 3 | adantr 480 | . . 3
⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → 𝐵 ∈ V) | 
| 5 |  | ssltex2 27833 | . . . 4
⊢ (𝐴 <<s 𝐶 → 𝐶 ∈ V) | 
| 6 | 5 | adantl 481 | . . 3
⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → 𝐶 ∈ V) | 
| 7 | 4, 6 | unexd 7775 | . 2
⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ V) | 
| 8 |  | ssltss1 27834 | . . 3
⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆  No
) | 
| 9 | 8 | adantr 480 | . 2
⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → 𝐴 ⊆  No
) | 
| 10 |  | ssltss2 27835 | . . . 4
⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ⊆  No
) | 
| 11 | 10 | adantr 480 | . . 3
⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → 𝐵 ⊆  No
) | 
| 12 |  | ssltss2 27835 | . . . 4
⊢ (𝐴 <<s 𝐶 → 𝐶 ⊆  No
) | 
| 13 | 12 | adantl 481 | . . 3
⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → 𝐶 ⊆  No
) | 
| 14 | 11, 13 | unssd 4191 | . 2
⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → (𝐵 ∪ 𝐶) ⊆  No
) | 
| 15 |  | elun 4152 | . . . 4
⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∨ 𝑦 ∈ 𝐶)) | 
| 16 |  | ssltsepc 27839 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑦) | 
| 17 | 16 | 3exp 1119 | . . . . . . 7
⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 <s 𝑦))) | 
| 18 | 17 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 <s 𝑦))) | 
| 19 | 18 | com3r 87 | . . . . 5
⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 <s 𝑦))) | 
| 20 |  | ssltsepc 27839 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 <<s 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑥 <s 𝑦) | 
| 21 | 20 | 3exp 1119 | . . . . . . 7
⊢ (𝐴 <<s 𝐶 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑥 <s 𝑦))) | 
| 22 | 21 | adantl 481 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑥 <s 𝑦))) | 
| 23 | 22 | com3r 87 | . . . . 5
⊢ (𝑦 ∈ 𝐶 → ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 <s 𝑦))) | 
| 24 | 19, 23 | jaoi 857 | . . . 4
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∨ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 <s 𝑦))) | 
| 25 | 15, 24 | sylbi 217 | . . 3
⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶) → ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 <s 𝑦))) | 
| 26 | 25 | 3imp231 1112 | . 2
⊢ (((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∪ 𝐶)) → 𝑥 <s 𝑦) | 
| 27 | 2, 7, 9, 14, 26 | ssltd 27837 | 1
⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐴 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s (𝐵 ∪ 𝐶)) |