Theorem ssltex1 27706

Description: The first argument of surreal set less-than exists. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ssltex1	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem ssltex1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsslt 27705	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2		simpll 766	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  Vcvv 3469   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5142   No csur 27560   <s cslt 27561   <<s csslt 27700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-br 5143  df-opab 5205  df-xp 5678  df-sslt 27701

This theorem is referenced by:  sssslt1  27715  sssslt2  27716  conway  27719  scutval  27720  sslttr  27727  ssltun1  27728  ssltun2  27729  etasslt  27733  etasslt2  27734  scutbdaybnd2lim  27737  slerec  27739  madecut  27796  coinitsslt  27826  cofcut1  27827  cofcutr  27831  cutlt  27839  addsuniflem  27905  negsunif  27954  ssltmul1  28034  ssltmul2  28035  precsexlem11  28102