Theorem ssltex1 27169

Description: The first argument of surreal set less-than exists. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ssltex1	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem ssltex1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsslt 27168	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2		simpll 765	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  Vcvv 3446   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110   No csur 27025   <s cslt 27026   <<s csslt 27163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5644  df-sslt 27164

This theorem is referenced by:  sssslt1  27177  sssslt2  27178  conway  27181  scutval  27182  sslttr  27189  ssltun1  27190  ssltun2  27191  etasslt  27195  etasslt2  27196  scutbdaybnd2lim  27199  slerec  27201  madecut  27255  coinitsslt  27281  cofcut1  27282  cofcutr  27286  addsunif  27353  negsunif  27393