Theorem ssltex1 27288

Description: The first argument of surreal set less-than exists. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ssltex1	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem ssltex1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsslt 27287	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2		simpll 766	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  Vcvv 3475   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149   No csur 27143   <s cslt 27144   <<s csslt 27282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-sslt 27283

This theorem is referenced by:  sssslt1  27296  sssslt2  27297  conway  27300  scutval  27301  sslttr  27308  ssltun1  27309  ssltun2  27310  etasslt  27314  etasslt2  27315  scutbdaybnd2lim  27318  slerec  27320  madecut  27377  coinitsslt  27406  cofcut1  27407  cofcutr  27411  cutlt  27419  addsuniflem  27484  negsunif  27529  ssltmul1  27602  ssltmul2  27603  precsexlem11  27663