Theorem ssltss2 27852

Description: The second argument of surreal set is a set of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ssltss2	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ⊆ No )

Proof of Theorem ssltss2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsslt 27848	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2		simpr2 1195	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → 𝐵 ⊆ No )
3	1, 2	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ⊆ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   No csur 27702   <s cslt 27703   <<s csslt 27843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-sslt 27844

This theorem is referenced by:  sssslt1  27858  sssslt2  27859  conway  27862  sslttr  27870  ssltun1  27871  ssltun2  27872  etasslt  27876  slerec  27882  sltrec  27883  cofsslt  27970  coinitsslt  27971  cofcut1  27972  cofcutr  27976  cutlt  27984  cutmax  27986  addsuniflem  28052  negsunif  28105  ssltmul1  28191  ssltmul2  28192  mulsuniflem  28193  mulsunif2lem  28213  precsexlem11  28259  renegscl  28448