Theorem ssltss2 27729

Description: The second argument of surreal set is a set of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ssltss2	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ⊆ No )

Proof of Theorem ssltss2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsslt 27725	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2		simpr2 1196	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → 𝐵 ⊆ No )
3	1, 2	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ⊆ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089   No csur 27578   <s cslt 27579   <<s csslt 27720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-sslt 27721

This theorem is referenced by:  sssslt1  27736  sssslt2  27737  conway  27740  sslttr  27748  ssltun1  27749  ssltun2  27750  etasslt  27754  slerec  27760  sltrec  27762  eqscut3  27765  cofsslt  27862  coinitsslt  27863  cofcut1  27864  cofcutr  27868  cutlt  27876  cutmax  27878  addsuniflem  27944  negsunif  27997  ssltmul1  28086  ssltmul2  28087  mulsuniflem  28088  mulsunif2lem  28108  precsexlem11  28155  renegscl  28400