MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssltss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltss2 27742
Description: The second argument of surreal set is a set of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
ssltss2 (𝐴 <<s 𝐵𝐵 No )

Proof of Theorem ssltss2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brsslt 27738 . 2 (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 No 𝐵 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2 simpr2 1192 . 2 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 No 𝐵 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → 𝐵 No )
31, 2sylbi 216 1 (𝐴 <<s 𝐵𝐵 No )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084  wcel 2098  wral 3058  Vcvv 3473  wss 3949   class class class wbr 5152   No csur 27593   <s cslt 27594   <<s csslt 27733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-br 5153  df-opab 5215  df-xp 5688  df-sslt 27734
This theorem is referenced by:  sssslt1  27748  sssslt2  27749  conway  27752  sslttr  27760  ssltun1  27761  ssltun2  27762  etasslt  27766  slerec  27772  sltrec  27773  cofsslt  27858  coinitsslt  27859  cofcut1  27860  cofcutr  27864  cutlt  27872  addsuniflem  27938  negsunif  27987  ssltmul1  28067  ssltmul2  28068  mulsuniflem  28069  mulsunif2lem  28089  precsexlem11  28135  renegscl  28246
  Copyright terms: Public domain W3C validator