Theorem ssltd 27734

Description: Deduce surreal set less-than. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ssltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
ssltd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
ssltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
ssltd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
ssltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ssltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2	1	elexd 3461	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
3		ssltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	3	elexd 3461	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
5		ssltd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
6		ssltd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
7		ssltd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)
8	7	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 <s 𝑦)
9	8	ralrimivva 3176	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
10	5, 6, 9	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦))
11		brsslt 27728	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
12	2, 4, 10, 11	syl21anbrc 1345	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095   No csur 27581   <s cslt 27582   <<s csslt 27723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-br 5096  df-opab 5158  df-xp 5627  df-sslt 27724

This theorem is referenced by:  nulsslt  27741  nulssgt  27742  sslttr  27751  ssltun1  27752  ssltun2  27753  eqscut3  27768  ssltleft  27818  ssltright  27819  cofsslt  27865  coinitsslt  27866  cofcutr  27871  addsproplem2  27916  addsuniflem  27947  negsproplem2  27974  negsid  27986  negsunif  28000  mulsproplem9  28066  ssltmul1  28089  ssltmul2  28090  precsexlem10  28157  precsexlem11  28158  onscutlt  28204  n0sfincut  28285  recut  28401  0reno  28402