Theorem ssltd 27723

Description: Deduce surreal set less-than. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ssltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
ssltd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
ssltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
ssltd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
ssltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ssltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2	1	elexd 3492	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
3		ssltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	3	elexd 3492	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
5		ssltd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
6		ssltd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
7		ssltd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)
8	7	3expb 1118	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 <s 𝑦)
9	8	ralrimivva 3197	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
10	5, 6, 9	3jca 1126	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦))
11		brsslt 27717	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
12	2, 4, 10, 11	syl21anbrc 1342	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  Vcvv 3471   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5148   No csur 27572   <s cslt 27573   <<s csslt 27712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5684  df-sslt 27713

This theorem is referenced by:  ssltsn  27724  nulsslt  27729  nulssgt  27730  sslttr  27739  ssltun1  27740  ssltun2  27741  ssltleft  27796  ssltright  27797  cofsslt  27837  coinitsslt  27838  cofcutr  27843  addsproplem2  27886  addsuniflem  27917  negsproplem2  27940  negsid  27952  negsunif  27966  mulsproplem9  28023  ssltmul1  28046  ssltmul2  28047  precsexlem10  28113  precsexlem11  28114  recut  28223  0reno  28224