Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssltd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltd 33986
Description: Deduce surreal set less than. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ssltd.1 (𝜑𝐴𝑉)
ssltd.2 (𝜑𝐵𝑊)
ssltd.3 (𝜑𝐴 No )
ssltd.4 (𝜑𝐵 No )
ssltd.5 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)
Assertion
Ref Expression
ssltd (𝜑𝐴 <<s 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ssltd
StepHypRef Expression
1 ssltd.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
21elexd 3452 . 2 (𝜑𝐴 ∈ V)
3 ssltd.2 . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
43elexd 3452 . 2 (𝜑𝐵 ∈ V)
5 ssltd.3 . . 3 (𝜑𝐴 No )
6 ssltd.4 . . 3 (𝜑𝐵 No )
7 ssltd.5 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)
873expb 1119 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → 𝑥 <s 𝑦)
98ralrimivva 3123 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
105, 6, 93jca 1127 . 2 (𝜑 → (𝐴 No 𝐵 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦))
11 brsslt 33980 . 2 (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 No 𝐵 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
122, 4, 10, 11syl21anbrc 1343 1 (𝜑𝐴 <<s 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3432  wss 3887   class class class wbr 5074   No csur 33843   <s cslt 33844   <<s csslt 33975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-sslt 33976
This theorem is referenced by:  nulsslt  33991  nulssgt  33992  sslttr  34001  ssltun1  34002  ssltun2  34003  ssltleft  34054  ssltright  34055  cofsslt  34088  coinitsslt  34089  cofcutr  34092
  Copyright terms: Public domain W3C validator