MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssltd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltd 27273
Description: Deduce surreal set less-than. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ssltd.1 (𝜑𝐴𝑉)
ssltd.2 (𝜑𝐵𝑊)
ssltd.3 (𝜑𝐴 No )
ssltd.4 (𝜑𝐵 No )
ssltd.5 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)
Assertion
Ref Expression
ssltd (𝜑𝐴 <<s 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ssltd
StepHypRef Expression
1 ssltd.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
21elexd 3495 . 2 (𝜑𝐴 ∈ V)
3 ssltd.2 . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
43elexd 3495 . 2 (𝜑𝐵 ∈ V)
5 ssltd.3 . . 3 (𝜑𝐴 No )
6 ssltd.4 . . 3 (𝜑𝐵 No )
7 ssltd.5 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)
873expb 1121 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → 𝑥 <s 𝑦)
98ralrimivva 3201 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
105, 6, 93jca 1129 . 2 (𝜑 → (𝐴 No 𝐵 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦))
11 brsslt 27267 . 2 (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 No 𝐵 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
122, 4, 10, 11syl21anbrc 1345 1 (𝜑𝐴 <<s 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088  wcel 2107  wral 3062  Vcvv 3475  wss 3947   class class class wbr 5147   No csur 27123   <s cslt 27124   <<s csslt 27262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-sslt 27263
This theorem is referenced by:  nulsslt  27278  nulssgt  27279  sslttr  27288  ssltun1  27289  ssltun2  27290  ssltleft  27345  ssltright  27346  cofsslt  27385  coinitsslt  27386  cofcutr  27391  addsproplem2  27434  addsuniflem  27464  negsproplem2  27483  negsid  27495  negsunif  27509  mulsproplem9  27560  ssltmul1  27582  ssltmul2  27583  precsexlem10  27642  precsexlem11  27643
  Copyright terms: Public domain W3C validator