Theorem ssltd 33913

Description: Deduce surreal set less than. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ssltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
ssltd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
ssltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
ssltd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
ssltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ssltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2	1	elexd 3442	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
3		ssltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	3	elexd 3442	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
5		ssltd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
6		ssltd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
7		ssltd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)
8	7	3expb 1118	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 <s 𝑦)
9	8	ralrimivva 3114	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
10	5, 6, 9	3jca 1126	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦))
11		brsslt 33907	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
12	2, 4, 10, 11	syl21anbrc 1342	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   No csur 33770   <s cslt 33771   <<s csslt 33902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-sslt 33903

This theorem is referenced by:  nulsslt  33918  nulssgt  33919  sslttr  33928  ssltun1  33929  ssltun2  33930  ssltleft  33981  ssltright  33982  cofsslt  34015  coinitsslt  34016  cofcutr  34019