Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssltd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltd 33641
Description: Deduce surreal set less than. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ssltd.1 (𝜑𝐴𝑉)
ssltd.2 (𝜑𝐵𝑊)
ssltd.3 (𝜑𝐴 No )
ssltd.4 (𝜑𝐵 No )
ssltd.5 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)
Assertion
Ref Expression
ssltd (𝜑𝐴 <<s 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ssltd
StepHypRef Expression
1 ssltd.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
21elexd 3420 . 2 (𝜑𝐴 ∈ V)
3 ssltd.2 . . 3 (𝜑𝐵𝑊)
43elexd 3420 . 2 (𝜑𝐵 ∈ V)
5 ssltd.3 . . 3 (𝜑𝐴 No )
6 ssltd.4 . . 3 (𝜑𝐵 No )
7 ssltd.5 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴𝑦𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)
873expb 1121 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) → 𝑥 <s 𝑦)
98ralrimivva 3104 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)
105, 6, 93jca 1129 . 2 (𝜑 → (𝐴 No 𝐵 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦))
11 brsslt 33635 . 2 (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 No 𝐵 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
122, 4, 10, 11syl21anbrc 1345 1 (𝜑𝐴 <<s 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088  wcel 2114  wral 3054  Vcvv 3400  wss 3853   class class class wbr 5040   No csur 33498   <s cslt 33499   <<s csslt 33630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-sb 2075  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-ral 3059  df-rex 3060  df-v 3402  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-br 5041  df-opab 5103  df-xp 5541  df-sslt 33631
This theorem is referenced by:  nulsslt  33646  nulssgt  33647  sslttr  33656  ssltun1  33657  ssltun2  33658  ssltleft  33709  ssltright  33710  cofsslt  33743  coinitsslt  33744  cofcutr  33747
  Copyright terms: Public domain W3C validator