Theorem ssltd 27282

Description: Deduce surreal set less-than. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ssltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
ssltd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
ssltd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
ssltd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
ssltd	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ssltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2	1	elexd 3494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
3		ssltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	3	elexd 3494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
5		ssltd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
6		ssltd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
7		ssltd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)
8	7	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 <s 𝑦)
9	8	ralrimivva 3200	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
10	5, 6, 9	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦))
11		brsslt 27276	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
12	2, 4, 10, 11	syl21anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  Vcvv 3474   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   No csur 27132   <s cslt 27133   <<s csslt 27271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-sslt 27272

This theorem is referenced by:  nulsslt  27287  nulssgt  27288  sslttr  27297  ssltun1  27298  ssltun2  27299  ssltleft  27354  ssltright  27355  cofsslt  27394  coinitsslt  27395  cofcutr  27400  addsproplem2  27443  addsuniflem  27473  negsproplem2  27492  negsid  27504  negsunif  27518  mulsproplem9  27569  ssltmul1  27591  ssltmul2  27592  precsexlem10  27651  precsexlem11  27652