Theorem ssltss1 27676

Description: The first argument of surreal set is a set of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ssltss1	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆ No )

Proof of Theorem ssltss1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsslt 27673	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2		simpr1 1195	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → 𝐴 ⊆ No )
3	1, 2	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102   No csur 27527   <s cslt 27528   <<s csslt 27668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5637  df-sslt 27669

This theorem is referenced by:  sssslt1  27683  sssslt2  27684  conway  27687  scutval  27688  sslttr  27695  ssltun1  27696  ssltun2  27697  dmscut  27699  etasslt  27701  slerec  27707  sltrec  27708  ssltdisj  27709  cofsslt  27802  coinitsslt  27803  cofcut1  27804  cofcutr  27808  cutlt  27816  cutmin  27819  addsuniflem  27884  negsunif  27937  ssltmul1  28026  ssltmul2  28027  mulsuniflem  28028  mulsunif2lem  28048  precsexlem11  28095  renegscl  28325