MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssltss1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssltss1 27514
Description: The first argument of surreal set is a set of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
ssltss1 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 No )

Proof of Theorem ssltss1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brsslt 27511 . 2 (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 No 𝐵 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2 simpr1 1194 . 2 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 No 𝐵 No ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → 𝐴 No )
31, 2sylbi 216 1 (𝐴 <<s 𝐵𝐴 No )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  wral 3061  Vcvv 3474  wss 3948   class class class wbr 5148   No csur 27367   <s cslt 27368   <<s csslt 27506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5682  df-sslt 27507
This theorem is referenced by:  sssslt1  27521  sssslt2  27522  conway  27525  scutval  27526  sslttr  27533  ssltun1  27534  ssltun2  27535  dmscut  27537  etasslt  27539  slerec  27545  sltrec  27546  ssltdisj  27547  cofsslt  27631  coinitsslt  27632  cofcut1  27633  cofcutr  27637  cutlt  27645  addsuniflem  27711  negsunif  27756  ssltmul1  27829  ssltmul2  27830  mulsuniflem  27831  precsexlem11  27890
  Copyright terms: Public domain W3C validator