Theorem ssltss1 27723

Description: The first argument of surreal set is a set of surreals. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ssltss1	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆ No )

Proof of Theorem ssltss1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsslt 27720	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2		simpr1 1195	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → 𝐴 ⊆ No )
3	1, 2	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5086   No csur 27573   <s cslt 27574   <<s csslt 27715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5617  df-sslt 27716

This theorem is referenced by:  sssslt1  27731  sssslt2  27732  conway  27735  scutval  27736  sslttr  27743  ssltun1  27744  ssltun2  27745  dmscut  27747  etasslt  27749  slerec  27755  sltrec  27757  ssltdisj  27759  eqscut3  27760  cofsslt  27857  coinitsslt  27858  cofcut1  27859  cofcutr  27863  cutlt  27871  cutmin  27874  addsuniflem  27939  negsunif  27992  ssltmul1  28081  ssltmul2  28082  mulsuniflem  28083  mulsunif2lem  28103  precsexlem11  28150  renegscl  28395