| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | ssltex1 27832 | . . . 4
⊢ (𝐴 <<s 𝐶 → 𝐴 ∈ V) | 
| 2 | 1 | adantr 480 | . . 3
⊢ ((𝐴 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 ∈ V) | 
| 3 |  | ssltex1 27832 | . . . 4
⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐵 ∈ V) | 
| 4 | 3 | adantl 481 | . . 3
⊢ ((𝐴 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐵 ∈ V) | 
| 5 | 2, 4 | unexd 7775 | . 2
⊢ ((𝐴 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) | 
| 6 |  | ssltex2 27833 | . . 3
⊢ (𝐴 <<s 𝐶 → 𝐶 ∈ V) | 
| 7 | 6 | adantr 480 | . 2
⊢ ((𝐴 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐶 ∈ V) | 
| 8 |  | ssltss1 27834 | . . . 4
⊢ (𝐴 <<s 𝐶 → 𝐴 ⊆  No
) | 
| 9 | 8 | adantr 480 | . . 3
⊢ ((𝐴 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 ⊆  No
) | 
| 10 |  | ssltss1 27834 | . . . 4
⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐵 ⊆  No
) | 
| 11 | 10 | adantl 481 | . . 3
⊢ ((𝐴 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐵 ⊆  No
) | 
| 12 | 9, 11 | unssd 4191 | . 2
⊢ ((𝐴 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆  No
) | 
| 13 |  | ssltss2 27835 | . . 3
⊢ (𝐴 <<s 𝐶 → 𝐶 ⊆  No
) | 
| 14 | 13 | adantr 480 | . 2
⊢ ((𝐴 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐶 ⊆  No
) | 
| 15 |  | elun 4152 | . . . 4
⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵)) | 
| 16 |  | ssltsepc 27839 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 <<s 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑥 <s 𝑦) | 
| 17 | 16 | 3exp 1119 | . . . . . . 7
⊢ (𝐴 <<s 𝐶 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑥 <s 𝑦))) | 
| 18 | 17 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑥 <s 𝑦))) | 
| 19 | 18 | com12 32 | . . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐴 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑥 <s 𝑦))) | 
| 20 |  | ssltsepc 27839 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 <<s 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑥 <s 𝑦) | 
| 21 | 20 | 3exp 1119 | . . . . . . 7
⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑥 <s 𝑦))) | 
| 22 | 21 | adantl 481 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑥 <s 𝑦))) | 
| 23 | 22 | com12 32 | . . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → ((𝐴 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑥 <s 𝑦))) | 
| 24 | 19, 23 | jaoi 857 | . . . 4
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐴 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑥 <s 𝑦))) | 
| 25 | 15, 24 | sylbi 217 | . . 3
⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → ((𝐴 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑥 <s 𝑦))) | 
| 26 | 25 | 3imp21 1113 | . 2
⊢ (((𝐴 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑥 <s 𝑦) | 
| 27 | 5, 7, 12, 14, 26 | ssltd 27837 | 1
⊢ ((𝐴 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → (𝐴 ∪ 𝐵) <<s 𝐶) |