Theorem ssltex2 27670

Description: The second argument of surreal set less-than exists. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ssltex2	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem ssltex2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsslt 27668	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2		simplr 766	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → 𝐵 ∈ V)
3	1, 2	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141   No csur 27523   <s cslt 27524   <<s csslt 27663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-br 5142  df-opab 5204  df-xp 5675  df-sslt 27664

This theorem is referenced by:  sssslt1  27678  sssslt2  27679  conway  27682  scutval  27683  sslttr  27690  ssltun1  27691  ssltun2  27692  etasslt  27696  etasslt2  27697  scutbdaybnd2lim  27700  slerec  27702  madecut  27759  cofsslt  27788  cofcut1  27790  cofcutr  27794  cutlt  27802  addsuniflem  27868  negsunif  27917  ssltmul1  27997  ssltmul2  27998  precsexlem11  28065