Theorem ssltex2 27728

Description: The second argument of surreal set less-than exists. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ssltex2	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem ssltex2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsslt 27726	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2		simplr 768	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → 𝐵 ∈ V)
3	1, 2	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5093   No csur 27579   <s cslt 27580   <<s csslt 27721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-br 5094  df-opab 5156  df-xp 5625  df-sslt 27722

This theorem is referenced by:  sssslt1  27737  sssslt2  27738  conway  27741  scutval  27742  sslttr  27749  ssltun1  27750  ssltun2  27751  etasslt  27755  etasslt2  27756  scutbdaybnd2lim  27759  slerec  27761  eqscut3  27766  madecut  27829  cofsslt  27863  cofcut1  27865  cofcutr  27869  cutlt  27877  addsuniflem  27945  negsunif  27998  ssltmul1  28087  ssltmul2  28088  precsexlem11  28156