Theorem ssltex2 27756

Description: The second argument of surreal set less-than exists. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ssltex2	⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ∈ V)

Proof of Theorem ssltex2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brsslt 27754	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
2		simplr 768	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)) → 𝐵 ∈ V)
3	1, 2	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124   No csur 27608   <s cslt 27609   <<s csslt 27749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-br 5125  df-opab 5187  df-xp 5665  df-sslt 27750

This theorem is referenced by:  sssslt1  27764  sssslt2  27765  conway  27768  scutval  27769  sslttr  27776  ssltun1  27777  ssltun2  27778  etasslt  27782  etasslt2  27783  scutbdaybnd2lim  27786  slerec  27788  madecut  27851  cofsslt  27883  cofcut1  27885  cofcutr  27889  cutlt  27897  addsuniflem  27965  negsunif  28018  ssltmul1  28107  ssltmul2  28108  precsexlem11  28176