MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpeq0 6182
Description: At least one member of an empty Cartesian product is empty. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xpeq0 ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))

Proof of Theorem xpeq0
StepHypRef Expression
1 xpnz 6181 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
21necon2bbii 2990 . 2 ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
3 ianor 983 . 2 (¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐵 ≠ ∅))
4 nne 2942 . . 3 𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
5 nne 2942 . . 3 𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝐵 = ∅)
64, 5orbi12i 914 . 2 ((¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
72, 3, 63bitri 297 1 ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wne 2938  c0 4339   × cxp 5687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697
This theorem is referenced by:  xpcan  6198  xpcan2  6199  frxp  8150  rankxplim3  9919  xpcbas  18234  metn0  24386  hashxpe  32817  filnetlem4  36364
  Copyright terms: Public domain W3C validator