Theorem xpeq0 6159

Description: At least one member of an empty Cartesian product is empty. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xpeq0	⊢ ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))

Proof of Theorem xpeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpnz 6158	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
2	1	necon2bbii 3011	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
3		ianor 997	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐵 ≠ ∅))
4		nne 2964	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
5		nne 2964	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝐵 = ∅)
6	4, 5	orbi12i 928	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
7	2, 3, 6	3bitri 300	1 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ≠ wne 2960  ∅c0 4286   × cxp 5661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-opab 5176  df-xp 5669

This theorem is used by:  xpcan  6176  xpcan2  6177  frxp  8128  rankxplim3  9860  xpcbas  18256  metn0  24568  hashxpe  33222  filnetlem4  36949  homf0  49844  fucofvalne  50160