Theorem xpeq0 6102

Description: At least one member of an empty Cartesian product is empty. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xpeq0	⊢ ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))

Proof of Theorem xpeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpnz 6101	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
2	1	necon2bbii 2979	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
3		ianor 983	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐵 ≠ ∅))
4		nne 2932	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
5		nne 2932	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝐵 = ∅)
6	4, 5	orbi12i 914	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
7	2, 3, 6	3bitri 297	1 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ≠ wne 2928  ∅c0 4278   × cxp 5609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619

This theorem is referenced by:  xpcan  6118  xpcan2  6119  frxp  8051  rankxplim3  9769  xpcbas  18079  metn0  24270  hashxpe  32781  filnetlem4  36415  homf0  49041  fucofvalne  49357