MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpeq0 6037
Description: At least one member of an empty Cartesian product is empty. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xpeq0 ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))

Proof of Theorem xpeq0
StepHypRef Expression
1 xpnz 6036 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
21necon2bbii 2993 . 2 ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
3 ianor 982 . 2 (¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐵 ≠ ∅))
4 nne 2945 . . 3 𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
5 nne 2945 . . 3 𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝐵 = ∅)
64, 5orbi12i 915 . 2 ((¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
72, 3, 63bitri 300 1 ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 209  wa 399  wo 847   = wceq 1543  wne 2941  c0 4251   × cxp 5563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pr 5336
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2942  df-ral 3067  df-rex 3068  df-rab 3071  df-v 3422  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-nul 4252  df-if 4454  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-br 5068  df-opab 5130  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573
This theorem is referenced by:  xpcan  6053  xpcan2  6054  frxp  7913  rankxplim3  9521  xpcbas  17709  metn0  23282  hashxpe  30871  filnetlem4  34333
  Copyright terms: Public domain W3C validator