Theorem xpeq0 6126

Description: At least one member of an empty Cartesian product is empty. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xpeq0	⊢ ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))

Proof of Theorem xpeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpnz 6125	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
2	1	necon2bbii 2984	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
3		ianor 984	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐵 ≠ ∅))
4		nne 2937	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
5		nne 2937	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝐵 = ∅)
6	4, 5	orbi12i 915	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
7	2, 3, 6	3bitri 297	1 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ≠ wne 2933  ∅c0 4287   × cxp 5630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-opab 5163  df-xp 5638

This theorem is referenced by:  xpcan  6142  xpcan2  6143  frxp  8078  rankxplim3  9805  xpcbas  18113  metn0  24316  hashxpe  32898  filnetlem4  36597  homf0  49368  fucofvalne  49684