MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpeq0 6179
Description: At least one member of an empty Cartesian product is empty. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xpeq0 ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))

Proof of Theorem xpeq0
StepHypRef Expression
1 xpnz 6178 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
21necon2bbii 2991 . 2 ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
3 ianor 983 . 2 (¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐵 ≠ ∅))
4 nne 2943 . . 3 𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
5 nne 2943 . . 3 𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝐵 = ∅)
64, 5orbi12i 914 . 2 ((¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
72, 3, 63bitri 297 1 ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1539  wne 2939  c0 4332   × cxp 5682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5143  df-opab 5205  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692
This theorem is referenced by:  xpcan  6195  xpcan2  6196  frxp  8152  rankxplim3  9922  xpcbas  18224  metn0  24371  hashxpe  32812  filnetlem4  36383  fucofvalne  49043
  Copyright terms: Public domain W3C validator