Theorem xpeq0 5984

Description: At least one member of an empty Cartesian product is empty. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xpeq0	⊢ ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))

Proof of Theorem xpeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpnz 5983	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
2	1	necon2bbii 3038	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
3		ianor 979	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐵 ≠ ∅))
4		nne 2991	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
5		nne 2991	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝐵 = ∅)
6	4, 5	orbi12i 912	. 2 ⊢ ((¬ 𝐴 ≠ ∅ ∨ ¬ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
7	2, 3, 6	3bitri 300	1 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ≠ wne 2987  ∅c0 4243   × cxp 5517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527

This theorem is referenced by:  xpcan  6000  xpcan2  6001  frxp  7803  rankxplim3  9294  xpcbas  17420  metn0  22967  hashxpe  30555  filnetlem4  33842