MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpnz 5736
Description: The Cartesian product of nonempty classes is nonempty. (Variation of a theorem contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Contributed by NM, 30-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
xpnz ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)

Proof of Theorem xpnz
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4095 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
2 n0 4095 . . . . 5 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐵)
31, 2anbi12i 620 . . . 4 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦𝐵))
4 eeanv 2346 . . . 4 (∃𝑥𝑦(𝑥𝐴𝑦𝐵) ↔ (∃𝑥 𝑥𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦𝐵))
53, 4bitr4i 269 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥𝑦(𝑥𝐴𝑦𝐵))
6 opex 5088 . . . . . 6 𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
7 eleq1 2832 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵)))
8 opelxp 5313 . . . . . . 7 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑦𝐵))
97, 8syl6bb 278 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑦𝐵)))
106, 9spcev 3452 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵))
11 n0 4095 . . . . 5 ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵))
1210, 11sylibr 225 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
1312exlimivv 2027 . . 3 (∃𝑥𝑦(𝑥𝐴𝑦𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
145, 13sylbi 208 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
15 xpeq1 5291 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
16 0xp 5369 . . . . 5 (∅ × 𝐵) = ∅
1715, 16syl6eq 2815 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
1817necon3i 2969 . . 3 ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
19 xpeq2 5298 . . . . 5 (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
20 xp0 5735 . . . . 5 (𝐴 × ∅) = ∅
2119, 20syl6eq 2815 . . . 4 (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
2221necon3i 2969 . . 3 ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → 𝐵 ≠ ∅)
2318, 22jca 507 . 2 ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
2414, 23impbii 200 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  c0 4079  cop 4340   × cxp 5275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pr 5062
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-br 4810  df-opab 4872  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285
This theorem is referenced by:  xpeq0  5737  ssxpb  5751  xp11  5752  unixpid  5856  xpexr2  7305  frxp  7489  xpfir  8389  axcc2lem  9511  axdc4lem  9530  mamufacex  20471  txindis  21717  bj-xpnzex  33305  bj-1upln0  33356  bj-2upln1upl  33371  dibn0  37041
  Copyright terms: Public domain W3C validator