Theorem xpnz 6117

Description: The Cartesian product of nonempty classes is nonempty. (Variation of a theorem contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Contributed by NM, 30-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xpnz	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)

Proof of Theorem xpnz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4294	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		n0 4294	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
3	1, 2	anbi12i 629	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
4		exdistrv 1957	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
5	3, 4	bitr4i 278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
6		opex 5411	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
7		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵)))
8		opelxp 5660	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
9	7, 8	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
10	6, 9	spcev 3549	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵))
11		n0 4294	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵))
12	10, 11	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
13	12	exlimivv 1934	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
14	5, 13	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
15		xpeq1 5638	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
16		0xp 5723	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐵) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
18	17	necon3i 2965	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
19		xpeq2 5645	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
20		xp0 5724	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
21	19, 20	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
22	21	necon3i 2965	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → 𝐵 ≠ ∅)
23	18, 22	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
24	14, 23	impbii 209	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4274  ⟨cop 4574   × cxp 5622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-opab 5149  df-xp 5630

This theorem is referenced by:  xpeq0  6118  ssxpb  6132  xp11  6133  unixpid  6242  xpexr2  7863  frxp  8069  xpfir  9171  axcc2lem  10349  axdc4lem  10368  pzriprnglem4  21474  mamufacex  22371  txindis  23609  2ndimaxp  32734  bj-xpnzex  37282  bj-1upln0  37332  bj-2upln1upl  37347  dibn0  41613  aks6d1c2lem4  42580  aks6d1c2  42583  aks6d1c6lem3  42625  imasubc  49638