Theorem xpnz 6156

Description: The Cartesian product of nonempty classes is nonempty. (Variation of a theorem contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Contributed by NM, 30-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xpnz	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)

Proof of Theorem xpnz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4307	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		n0 4307	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
3	1, 2	anbi12i 639	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
4		exdistrv 1985	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
5	3, 4	bitr4i 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
6		opex 5445	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
7		eleq1 2851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵)))
8		opelxp 5697	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
9	7, 8	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
10	6, 9	spcev 3565	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵))
11		n0 4307	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵))
12	10, 11	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
13	12	exlimivv 1962	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
14	5, 13	sylbi 220	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
15		xpeq1 5675	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
16		0xp 5760	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐵) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
18	17	necon3i 2990	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
19		xpeq2 5682	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
20		xp0 5761	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
21	19, 20	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
22	21	necon3i 2990	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → 𝐵 ≠ ∅)
23	18, 22	jca 520	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
24	14, 23	impbii 212	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4286  ⟨cop 4595   × cxp 5659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-opab 5174  df-xp 5667

This theorem is referenced by:  xpeq0  6157  ssxpb  6172  xp11  6173  unixpid  6285  xpexr2  7912  frxp  8118  xpfir  9224  axcc2lem  10415  axdc4lem  10434  pzriprnglem4  21634  mamufacex  22553  txindis  23791  2ndimaxp  32991  bj-xpnzex  37595  bj-1upln0  37645  bj-2upln1upl  37660  dibn0  41927  aks6d1c2lem4  42894  aks6d1c2  42897  aks6d1c6lem3  42939  imasubc  49929