Theorem xpnz 6135

Description: The Cartesian product of nonempty classes is nonempty. (Variation of a theorem contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Contributed by NM, 30-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xpnz	⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)

Proof of Theorem xpnz

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4319	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		n0 4319	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
3	1, 2	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
4		exdistrv 1955	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵))
5	3, 4	bitr4i 278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
6		opex 5427	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
7		eleq1 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵)))
8		opelxp 5677	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
9	7, 8	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
10	6, 9	spcev 3575	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵))
11		n0 4319	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴 × 𝐵))
12	10, 11	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
13	12	exlimivv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
14	5, 13	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
15		xpeq1 5655	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
16		0xp 5740	. . . . 5 ⊢ (∅ × 𝐵) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
18	17	necon3i 2958	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
19		xpeq2 5662	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
20		xp0 6134	. . . . 5 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
21	19, 20	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
22	21	necon3i 2958	. . 3 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → 𝐵 ≠ ∅)
23	18, 22	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
24	14, 23	impbii 209	1 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∅c0 4299  ⟨cop 4598   × cxp 5639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649

This theorem is referenced by:  xpeq0  6136  ssxpb  6150  xp11  6151  unixpid  6260  xpexr2  7898  frxp  8108  xpfir  9218  axcc2lem  10396  axdc4lem  10415  pzriprnglem4  21401  mamufacex  22290  txindis  23528  2ndimaxp  32577  bj-xpnzex  36954  bj-1upln0  37004  bj-2upln1upl  37019  dibn0  41154  aks6d1c2lem4  42122  aks6d1c2  42125  aks6d1c6lem3  42167  imasubc  49144