MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metn0 24210
Description: A metric space is nonempty iff its base set is nonempty. (Contributed by NM, 4-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metn0 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β‰  βˆ… ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))

Proof of Theorem metn0
StepHypRef Expression
1 metf 24180 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
2 frel 6713 . . . . 5 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ β†’ Rel 𝐷)
3 reldm0 5918 . . . . 5 (Rel 𝐷 β†’ (𝐷 = βˆ… ↔ dom 𝐷 = βˆ…))
41, 2, 33syl 18 . . . 4 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 = βˆ… ↔ dom 𝐷 = βˆ…))
51fdmd 6719 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
65eqeq1d 2726 . . . 4 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (dom 𝐷 = βˆ… ↔ (𝑋 Γ— 𝑋) = βˆ…))
74, 6bitrd 279 . . 3 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 = βˆ… ↔ (𝑋 Γ— 𝑋) = βˆ…))
8 xpeq0 6150 . . . 4 ((𝑋 Γ— 𝑋) = βˆ… ↔ (𝑋 = βˆ… ∨ 𝑋 = βˆ…))
9 oridm 901 . . . 4 ((𝑋 = βˆ… ∨ 𝑋 = βˆ…) ↔ 𝑋 = βˆ…)
108, 9bitri 275 . . 3 ((𝑋 Γ— 𝑋) = βˆ… ↔ 𝑋 = βˆ…)
117, 10bitrdi 287 . 2 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 = βˆ… ↔ 𝑋 = βˆ…))
1211necon3bid 2977 1 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β‰  βˆ… ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ…c0 4315   Γ— cxp 5665  dom cdm 5667  Rel wrel 5672  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  β„cr 11106  Metcmet 21220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-map 8819  df-met 21228
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator