Theorem metn0 24325

Description: A metric space is nonempty iff its base set is nonempty. (Contributed by NM, 4-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metn0	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ ∅))

Proof of Theorem metn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24295	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		frel 6673	. . . . 5 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → Rel 𝐷)
3		reldm0 5883	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐷 → (𝐷 = ∅ ↔ dom 𝐷 = ∅))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 = ∅ ↔ dom 𝐷 = ∅))
5	1	fdmd 6678	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
6	5	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (dom 𝐷 = ∅ ↔ (𝑋 × 𝑋) = ∅))
7	4, 6	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 = ∅ ↔ (𝑋 × 𝑋) = ∅))
8		xpeq0 6124	. . . 4 ⊢ ((𝑋 × 𝑋) = ∅ ↔ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑋 = ∅))
9		oridm 905	. . . 4 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑋 = ∅) ↔ 𝑋 = ∅)
10	8, 9	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝑋 × 𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = ∅)
11	7, 10	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 = ∅ ↔ 𝑋 = ∅))
12	11	necon3bid 2976	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∅c0 4273   × cxp 5629  dom cdm 5631  Rel wrel 5636  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  ℝcr 11037  Metcmet 21338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-map 8775  df-met 21346

This theorem is referenced by: (None)