Theorem metn0 24474

Description: A metric space is nonempty iff its base set is nonempty. (Contributed by NM, 4-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metn0	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ ∅))

Proof of Theorem metn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 24444	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		frel 6701	. . . . 5 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → Rel 𝐷)
3		reldm0 5908	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐷 → (𝐷 = ∅ ↔ dom 𝐷 = ∅))
4	1, 2, 3	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 = ∅ ↔ dom 𝐷 = ∅))
5	1	fdmd 6706	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
6	5	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (dom 𝐷 = ∅ ↔ (𝑋 × 𝑋) = ∅))
7	4, 6	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 = ∅ ↔ (𝑋 × 𝑋) = ∅))
8		xpeq0 6148	. . . 4 ⊢ ((𝑋 × 𝑋) = ∅ ↔ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑋 = ∅))
9		oridm 917	. . . 4 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑋 = ∅) ↔ 𝑋 = ∅)
10	8, 9	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝑋 × 𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = ∅)
11	7, 10	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 = ∅ ↔ 𝑋 = ∅))
12	11	necon3bid 3004	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∅c0 4288   × cxp 5649  dom cdm 5651  Rel wrel 5656  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  ℝcr 11087  Metcmet 21465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-map 8814  df-met 21473

This theorem is referenced by: (None)