MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metn0 24265
Description: A metric space is nonempty iff its base set is nonempty. (Contributed by NM, 4-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metn0 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β‰  βˆ… ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))

Proof of Theorem metn0
StepHypRef Expression
1 metf 24235 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„)
2 frel 6727 . . . . 5 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„ β†’ Rel 𝐷)
3 reldm0 5930 . . . . 5 (Rel 𝐷 β†’ (𝐷 = βˆ… ↔ dom 𝐷 = βˆ…))
41, 2, 33syl 18 . . . 4 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 = βˆ… ↔ dom 𝐷 = βˆ…))
51fdmd 6733 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
65eqeq1d 2730 . . . 4 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (dom 𝐷 = βˆ… ↔ (𝑋 Γ— 𝑋) = βˆ…))
74, 6bitrd 279 . . 3 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 = βˆ… ↔ (𝑋 Γ— 𝑋) = βˆ…))
8 xpeq0 6164 . . . 4 ((𝑋 Γ— 𝑋) = βˆ… ↔ (𝑋 = βˆ… ∨ 𝑋 = βˆ…))
9 oridm 903 . . . 4 ((𝑋 = βˆ… ∨ 𝑋 = βˆ…) ↔ 𝑋 = βˆ…)
108, 9bitri 275 . . 3 ((𝑋 Γ— 𝑋) = βˆ… ↔ 𝑋 = βˆ…)
117, 10bitrdi 287 . 2 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 = βˆ… ↔ 𝑋 = βˆ…))
1211necon3bid 2982 1 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β‰  βˆ… ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ…c0 4323   Γ— cxp 5676  dom cdm 5678  Rel wrel 5683  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  β„cr 11137  Metcmet 21264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8846  df-met 21272
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator