Theorem metn0 23494

Description: A metric space is nonempty iff its base set is nonempty. (Contributed by NM, 4-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
metn0	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ ∅))

Proof of Theorem metn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 23464	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		frel 6601	. . . . 5 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → Rel 𝐷)
3		reldm0 5834	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐷 → (𝐷 = ∅ ↔ dom 𝐷 = ∅))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 = ∅ ↔ dom 𝐷 = ∅))
5	1	fdmd 6607	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
6	5	eqeq1d 2741	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (dom 𝐷 = ∅ ↔ (𝑋 × 𝑋) = ∅))
7	4, 6	bitrd 278	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 = ∅ ↔ (𝑋 × 𝑋) = ∅))
8		xpeq0 6060	. . . 4 ⊢ ((𝑋 × 𝑋) = ∅ ↔ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑋 = ∅))
9		oridm 901	. . . 4 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑋 = ∅) ↔ 𝑋 = ∅)
10	8, 9	bitri 274	. . 3 ⊢ ((𝑋 × 𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = ∅)
11	7, 10	bitrdi 286	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 = ∅ ↔ 𝑋 = ∅))
12	11	necon3bid 2989	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 843   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  ∅c0 4261   × cxp 5586  dom cdm 5588  Rel wrel 5593  ⟶wf 6426  ‘cfv 6430  ℝcr 10854  Metcmet 20564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-map 8591  df-met 20572

This theorem is referenced by: (None)