hashxpe - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem hashxpe 30847

Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. This is a version of hashxp 14001 valid for infinite sets, which uses extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
hashxpe	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))

**Proof of Theorem hashxpe**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
2		hashxp 14001	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
4		nn0ssre 12094	. . . . . . 7 ⊢ ℕ₀ ⊆ ℝ
5		hashcl 13923	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ₀)
6	4, 5	sseldi 3899	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
7		hashcl 13923	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
8	4, 7	sseldi 3899	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
9	6, 8	anim12i 616	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
10	1, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
11		rexmul 12861	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
13	3, 12	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
14		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
15	14	xpeq2d 5581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
16		xp0 6021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
18	17	fveq2d 6721	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = (♯‘∅))
19		hash0 13934	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘∅) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = 0)
21		simpl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑉)
22		hashinf 13901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
23	21, 22	sylan 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
24	23	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐴) = +∞)
25	14	fveq2d 6721	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐵) = (♯‘∅))
26	25, 19	eqtrdi 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐵) = 0)
27	24, 26	oveq12d 7231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = (+∞ ·_e 0))
28		pnfxr 10887	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
29		xmul01 12857	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ ℝ^* → (+∞ ·_e 0) = 0)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ ·_e 0) = 0
31	27, 30	eqtrdi 2794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = 0)
32	20, 31	eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
33		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
34	33	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ 𝑊)
35		hashxrcl 13924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ^*)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ^*)
37		hashgt0 13955	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐵))
38	34, 37	sylancom 591	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐵))
39		xmulpnf2 12865	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℝ^* ∧ 0 < (♯‘𝐵)) → (+∞ ·_e (♯‘𝐵)) = +∞)
40	36, 38, 39	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (+∞ ·_e (♯‘𝐵)) = +∞)
41	23	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) = +∞)
42	41	oveq1d 7228	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = (+∞ ·_e (♯‘𝐵)))
43	21	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝑉)
44	43, 34	xpexd 7536	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
45		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
46		0fin 8849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ Fin
47		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
48	46, 47	mpbiri 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
49	48	necon3bi 2967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≠ ∅)
50	45, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
51		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
52		ioran 984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) ↔ (¬ 𝐴 = ∅ ∧ ¬ 𝐵 = ∅))
53		xpeq0 6023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
54	53	necon3abii 2987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
55		df-ne 2941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
56		df-ne 2941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐵 = ∅)
57	55, 56	anbi12i 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (¬ 𝐴 = ∅ ∧ ¬ 𝐵 = ∅))
58	52, 54, 57	3bitr4i 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
59	58	biimpri 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
60	50, 51, 59	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
61	45	intnanrd 493	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
62		pm4.61 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ↔ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
63		xpfir 8897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
64	63	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin → ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
65	64	con3i 157	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
66	62, 65	sylbir 238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
67	60, 61, 66	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
68		hashinf 13901	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
69	44, 67, 68	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
70	40, 42, 69	3eqtr4rd 2788	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
71		exmidne 2950	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 ≠ ∅)
72	71	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 ≠ ∅))
73	32, 70, 72	mpjaodan 959	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
74	73	adantlr 715	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
75		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
76	75	xpeq1d 5580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
77		0xp 5646	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ × 𝐵) = ∅
78	76, 77	eqtrdi 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
79	78	fveq2d 6721	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = (♯‘∅))
80	79, 19	eqtrdi 2794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = 0)
81	75	fveq2d 6721	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = (♯‘∅))
82	81, 19	eqtrdi 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = 0)
83		hashinf 13901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
84	33, 83	sylan 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
85	84	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐵) = +∞)
86	82, 85	oveq12d 7231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = (0 ·_e +∞))
87		xmul02 12858	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ ℝ^* → (0 ·_e +∞) = 0)
88	28, 87	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 ·_e +∞) = 0
89	86, 88	eqtrdi 2794	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = 0)
90	80, 89	eqtr4d 2780	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
91		hashxrcl 13924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ^*)
92	91	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ^*)
93		hashgt0 13955	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐴))
94	93	ad4ant14 752	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐴))
95		xmulpnf1 12864	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ^* ∧ 0 < (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝐴) ·_e +∞) = +∞)
96	92, 94, 95	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e +∞) = +∞)
97	84	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) = +∞)
98	97	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e +∞))
99	21	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝑉)
100	33	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ 𝑊)
101	99, 100	xpexd 7536	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
102		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
103		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
104		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
105	46, 104	mpbiri 261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = ∅ → 𝐵 ∈ Fin)
106	105	necon3bi 2967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ≠ ∅)
107	103, 106	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
108	102, 107, 59	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
109	103	intnand 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
110	108, 109, 66	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
111	101, 110, 68	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
112	96, 98, 111	3eqtr4rd 2788	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
113		exmidne 2950	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅)
114	113	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅))
115	90, 112, 114	mpjaodan 959	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
116	115	adantlr 715	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
117		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
118		ianor 982	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
119	117, 118	sylib 221	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
120	74, 116, 119	mpjaodan 959	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
121		exmidd 896	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∨ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
122	13, 120, 121	mpjaodan 959	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 399 ∨ wo 847 = wceq 1543 ∈ wcel 2110 ≠ wne 2940 Vcvv 3408 ∅c0 4237 class class class wbr 5053 × cxp 5549 ‘cfv 6380 (class class class)co 7213 Fincfn 8626 ℝcr 10728 0cc0 10729 · cmul 10734 +∞cpnf 10864 ℝ^*cxr 10866 < clt 10867 ℕ₀cn0 12090 ·_e cxmu 12703 ♯chash 13896

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1803 ax-4 1817 ax-5 1918 ax-6 1976 ax-7 2016 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2708 ax-sep 5192 ax-nul 5199 ax-pow 5258 ax-pr 5322 ax-un 7523 ax-cnex 10785 ax-resscn 10786 ax-1cn 10787 ax-icn 10788 ax-addcl 10789 ax-addrcl 10790 ax-mulcl 10791 ax-mulrcl 10792 ax-mulcom 10793 ax-addass 10794 ax-mulass 10795 ax-distr 10796 ax-i2m1 10797 ax-1ne0 10798 ax-1rid 10799 ax-rnegex 10800 ax-rrecex 10801 ax-cnre 10802 ax-pre-lttri 10803 ax-pre-lttrn 10804 ax-pre-ltadd 10805 ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 848 df-3or 1090 df-3an 1091 df-tru 1546 df-fal 1556 df-ex 1788 df-nf 1792 df-sb 2071 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3066 df-rex 3067 df-reu 3068 df-rab 3070 df-v 3410 df-sbc 3695 df-csb 3812 df-dif 3869 df-un 3871 df-in 3873 df-ss 3883 df-pss 3885 df-nul 4238 df-if 4440 df-pw 4515 df-sn 4542 df-pr 4544 df-tp 4546 df-op 4548 df-uni 4820 df-int 4860 df-iun 4906 df-br 5054 df-opab 5116 df-mpt 5136 df-tr 5162 df-id 5455 df-eprel 5460 df-po 5468 df-so 5469 df-fr 5509 df-we 5511 df-xp 5557 df-rel 5558 df-cnv 5559 df-co 5560 df-dm 5561 df-rn 5562 df-res 5563 df-ima 5564 df-pred 6160 df-ord 6216 df-on 6217 df-lim 6218 df-suc 6219 df-iota 6338 df-fun 6382 df-fn 6383 df-f 6384 df-f1 6385 df-fo 6386 df-f1o 6387 df-fv 6388 df-riota 7170 df-ov 7216 df-oprab 7217 df-mpo 7218 df-om 7645 df-1st 7761 df-2nd 7762 df-wrecs 8047 df-recs 8108 df-rdg 8146 df-1o 8202 df-oadd 8206 df-er 8391 df-en 8627 df-dom 8628 df-sdom 8629 df-fin 8630 df-dju 9517 df-card 9555 df-pnf 10869 df-mnf 10870 df-xr 10871 df-ltxr 10872 df-le 10873 df-sub 11064 df-neg 11065 df-nn 11831 df-n0 12091 df-xnn0 12163 df-z 12177 df-uz 12439 df-xmul 12706 df-fz 13096 df-hash 13897

This theorem is referenced by: fedgmul 31426

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