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Theorem hashxpe 31709
Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. This is a version of hashxp 14334 valid for infinite sets, which uses extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
hashxpe ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashxpe
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
2 hashxp 14334 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
31, 2syl 17 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
4 nn0ssre 12417 . . . . . . 7 0 ⊆ ℝ
5 hashcl 14256 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
64, 5sselid 3942 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
7 hashcl 14256 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
84, 7sselid 3942 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
96, 8anim12i 613 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
101, 9syl 17 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
11 rexmul 13190 . . . 4 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
1210, 11syl 17 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
133, 12eqtr4d 2779 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
14 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
1514xpeq2d 5663 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
16 xp0 6110 . . . . . . . . 9 (𝐴 × ∅) = ∅
1715, 16eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
1817fveq2d 6846 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = (♯‘∅))
19 hash0 14267 . . . . . . 7 (♯‘∅) = 0
2018, 19eqtrdi 2792 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = 0)
21 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴𝑉)
22 hashinf 14235 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
2321, 22sylan 580 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
2423adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐴) = +∞)
2514fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐵) = (♯‘∅))
2625, 19eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐵) = 0)
2724, 26oveq12d 7375 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = (+∞ ·e 0))
28 pnfxr 11209 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
29 xmul01 13186 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ ℝ* → (+∞ ·e 0) = 0)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 (+∞ ·e 0) = 0
3127, 30eqtrdi 2792 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = 0)
3220, 31eqtr4d 2779 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
33 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐵𝑊)
3433ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵𝑊)
35 hashxrcl 14257 . . . . . . . 8 (𝐵𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
37 hashgt0 14288 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐵))
3834, 37sylancom 588 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐵))
39 xmulpnf2 13194 . . . . . . 7 (((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 < (♯‘𝐵)) → (+∞ ·e (♯‘𝐵)) = +∞)
4036, 38, 39syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (+∞ ·e (♯‘𝐵)) = +∞)
4123adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) = +∞)
4241oveq1d 7372 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = (+∞ ·e (♯‘𝐵)))
4321ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴𝑉)
4443, 34xpexd 7685 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
45 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
46 0fin 9115 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ Fin
47 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
4846, 47mpbiri 257 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
4948necon3bi 2970 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≠ ∅)
5045, 49syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
51 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
52 ioran 982 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) ↔ (¬ 𝐴 = ∅ ∧ ¬ 𝐵 = ∅))
53 xpeq0 6112 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
5453necon3abii 2990 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
55 df-ne 2944 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
56 df-ne 2944 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐵 = ∅)
5755, 56anbi12i 627 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (¬ 𝐴 = ∅ ∧ ¬ 𝐵 = ∅))
5852, 54, 573bitr4i 302 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
5958biimpri 227 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
6050, 51, 59syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
6145intnanrd 490 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
62 pm4.61 405 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ↔ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
63 xpfir 9210 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
6463ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin → ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
6564con3i 154 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
6662, 65sylbir 234 . . . . . . . 8 (((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
6760, 61, 66syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
68 hashinf 14235 . . . . . . 7 (((𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
6944, 67, 68syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
7040, 42, 693eqtr4rd 2787 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
71 exmidne 2953 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 ≠ ∅)
7271a1i 11 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 ≠ ∅))
7332, 70, 72mpjaodan 957 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
7473adantlr 713 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
75 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
7675xpeq1d 5662 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
77 0xp 5730 . . . . . . . . 9 (∅ × 𝐵) = ∅
7876, 77eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
7978fveq2d 6846 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = (♯‘∅))
8079, 19eqtrdi 2792 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = 0)
8175fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = (♯‘∅))
8281, 19eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = 0)
83 hashinf 14235 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
8433, 83sylan 580 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
8584adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐵) = +∞)
8682, 85oveq12d 7375 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = (0 ·e +∞))
87 xmul02 13187 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ ℝ* → (0 ·e +∞) = 0)
8828, 87ax-mp 5 . . . . . . 7 (0 ·e +∞) = 0
8986, 88eqtrdi 2792 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = 0)
9080, 89eqtr4d 2779 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
91 hashxrcl 14257 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
9291ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
93 hashgt0 14288 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐴))
9493ad4ant14 750 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐴))
95 xmulpnf1 13193 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 < (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝐴) ·e +∞) = +∞)
9692, 94, 95syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·e +∞) = +∞)
9784adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) = +∞)
9897oveq2d 7373 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e +∞))
9921ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑉)
10033ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵𝑊)
10199, 100xpexd 7685 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
102 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
103 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
104 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = ∅ → (𝐵 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
10546, 104mpbiri 257 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = ∅ → 𝐵 ∈ Fin)
106105necon3bi 2970 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ≠ ∅)
107103, 106syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
108102, 107, 59syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
109103intnand 489 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
110108, 109, 66syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
111101, 110, 68syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
11296, 98, 1113eqtr4rd 2787 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
113 exmidne 2953 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅)
114113a1i 11 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅))
11590, 112, 114mpjaodan 957 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
116115adantlr 713 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
117 simpr 485 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
118 ianor 980 . . . 4 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
119117, 118sylib 217 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
12074, 116, 119mpjaodan 957 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
121 exmidd 894 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∨ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
12213, 120, 121mpjaodan 957 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  c0 4282   class class class wbr 5105   × cxp 5631  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cr 11050  0cc0 11051   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  0cn0 12413   ·e cxmu 13032  chash 14230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-xmul 13035  df-fz 13425  df-hash 14231
This theorem is referenced by:  fedgmul  32326
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