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Theorem hashxpe 30565
 Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. This is a version of hashxp 13794 valid for infinite sets, which uses extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
hashxpe ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashxpe
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
2 hashxp 13794 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
31, 2syl 17 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
4 nn0ssre 11892 . . . . . . 7 0 ⊆ ℝ
5 hashcl 13716 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
64, 5sseldi 3913 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
7 hashcl 13716 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
84, 7sseldi 3913 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
96, 8anim12i 615 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
101, 9syl 17 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
11 rexmul 12655 . . . 4 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
1210, 11syl 17 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
133, 12eqtr4d 2836 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
14 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
1514xpeq2d 5550 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
16 xp0 5983 . . . . . . . . 9 (𝐴 × ∅) = ∅
1715, 16eqtrdi 2849 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
1817fveq2d 6650 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = (♯‘∅))
19 hash0 13727 . . . . . . 7 (♯‘∅) = 0
2018, 19eqtrdi 2849 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = 0)
21 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴𝑉)
22 hashinf 13694 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
2321, 22sylan 583 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
2423adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐴) = +∞)
2514fveq2d 6650 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐵) = (♯‘∅))
2625, 19eqtrdi 2849 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐵) = 0)
2724, 26oveq12d 7154 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = (+∞ ·e 0))
28 pnfxr 10687 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
29 xmul01 12651 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ ℝ* → (+∞ ·e 0) = 0)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 (+∞ ·e 0) = 0
3127, 30eqtrdi 2849 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = 0)
3220, 31eqtr4d 2836 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
33 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐵𝑊)
3433ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵𝑊)
35 hashxrcl 13717 . . . . . . . 8 (𝐵𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
37 hashgt0 13748 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐵))
3834, 37sylancom 591 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐵))
39 xmulpnf2 12659 . . . . . . 7 (((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 < (♯‘𝐵)) → (+∞ ·e (♯‘𝐵)) = +∞)
4036, 38, 39syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (+∞ ·e (♯‘𝐵)) = +∞)
4123adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) = +∞)
4241oveq1d 7151 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = (+∞ ·e (♯‘𝐵)))
4321ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴𝑉)
4443, 34xpexd 7457 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
45 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
46 0fin 8733 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ Fin
47 eleq1 2877 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
4846, 47mpbiri 261 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
4948necon3bi 3013 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≠ ∅)
5045, 49syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
51 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
52 ioran 981 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) ↔ (¬ 𝐴 = ∅ ∧ ¬ 𝐵 = ∅))
53 xpeq0 5985 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
5453necon3abii 3033 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
55 df-ne 2988 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
56 df-ne 2988 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐵 = ∅)
5755, 56anbi12i 629 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (¬ 𝐴 = ∅ ∧ ¬ 𝐵 = ∅))
5852, 54, 573bitr4i 306 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
5958biimpri 231 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
6050, 51, 59syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
6145intnanrd 493 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
62 pm4.61 408 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ↔ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
63 xpfir 8727 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
6463ex 416 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin → ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
6564con3i 157 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
6662, 65sylbir 238 . . . . . . . 8 (((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
6760, 61, 66syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
68 hashinf 13694 . . . . . . 7 (((𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
6944, 67, 68syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
7040, 42, 693eqtr4rd 2844 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
71 exmidne 2997 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 ≠ ∅)
7271a1i 11 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 ≠ ∅))
7332, 70, 72mpjaodan 956 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
7473adantlr 714 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
75 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
7675xpeq1d 5549 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
77 0xp 5614 . . . . . . . . 9 (∅ × 𝐵) = ∅
7876, 77eqtrdi 2849 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
7978fveq2d 6650 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = (♯‘∅))
8079, 19eqtrdi 2849 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = 0)
8175fveq2d 6650 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = (♯‘∅))
8281, 19eqtrdi 2849 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = 0)
83 hashinf 13694 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
8433, 83sylan 583 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
8584adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐵) = +∞)
8682, 85oveq12d 7154 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = (0 ·e +∞))
87 xmul02 12652 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ ℝ* → (0 ·e +∞) = 0)
8828, 87ax-mp 5 . . . . . . 7 (0 ·e +∞) = 0
8986, 88eqtrdi 2849 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = 0)
9080, 89eqtr4d 2836 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
91 hashxrcl 13717 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
9291ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
93 hashgt0 13748 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐴))
9493ad4ant14 751 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐴))
95 xmulpnf1 12658 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 < (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝐴) ·e +∞) = +∞)
9692, 94, 95syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·e +∞) = +∞)
9784adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) = +∞)
9897oveq2d 7152 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e +∞))
9921ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑉)
10033ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵𝑊)
10199, 100xpexd 7457 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
102 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
103 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
104 eleq1 2877 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = ∅ → (𝐵 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
10546, 104mpbiri 261 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = ∅ → 𝐵 ∈ Fin)
106105necon3bi 3013 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ≠ ∅)
107103, 106syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
108102, 107, 59syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
109103intnand 492 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
110108, 109, 66syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
111101, 110, 68syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
11296, 98, 1113eqtr4rd 2844 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
113 exmidne 2997 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅)
114113a1i 11 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅))
11590, 112, 114mpjaodan 956 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
116115adantlr 714 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
117 simpr 488 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
118 ianor 979 . . . 4 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
119117, 118sylib 221 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
12074, 116, 119mpjaodan 956 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
121 exmidd 893 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∨ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
12213, 120, 121mpjaodan 956 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441  ∅c0 4243   class class class wbr 5031   × cxp 5518  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Fincfn 8495  ℝcr 10528  0cc0 10529   · cmul 10534  +∞cpnf 10664  ℝ*cxr 10666   < clt 10667  ℕ0cn0 11888   ·e cxmu 12497  ♯chash 13689 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-dju 9317  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-n0 11889  df-xnn0 11959  df-z 11973  df-uz 12235  df-xmul 12500  df-fz 12889  df-hash 13690 This theorem is referenced by:  fedgmul  31130
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