hashxpe - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem hashxpe 32791

Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. This is a version of hashxp 14457 valid for infinite sets, which uses extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
hashxpe	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))

**Proof of Theorem hashxpe**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
2		hashxp 14457	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
4		nn0ssre 12510	. . . . . . 7 ⊢ ℕ₀ ⊆ ℝ
5		hashcl 14379	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ₀)
6	4, 5	sselid 3961	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
7		hashcl 14379	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
8	4, 7	sselid 3961	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
9	6, 8	anim12i 613	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
10	1, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
11		rexmul 13292	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
13	3, 12	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
14		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
15	14	xpeq2d 5689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
16		xp0 6152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
18	17	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = (♯‘∅))
19		hash0 14390	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘∅) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = 0)
21		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑉)
22		hashinf 14358	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
23	21, 22	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐴) = +∞)
25	14	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐵) = (♯‘∅))
26	25, 19	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐵) = 0)
27	24, 26	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = (+∞ ·_e 0))
28		pnfxr 11294	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
29		xmul01 13288	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ ℝ^* → (+∞ ·_e 0) = 0)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ ·_e 0) = 0
31	27, 30	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = 0)
32	20, 31	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
33		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
34	33	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ 𝑊)
35		hashxrcl 14380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ^*)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ^*)
37		hashgt0 14411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐵))
38	34, 37	sylancom 588	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐵))
39		xmulpnf2 13296	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℝ^* ∧ 0 < (♯‘𝐵)) → (+∞ ·_e (♯‘𝐵)) = +∞)
40	36, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (+∞ ·_e (♯‘𝐵)) = +∞)
41	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) = +∞)
42	41	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = (+∞ ·_e (♯‘𝐵)))
43	21	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝑉)
44	43, 34	xpexd 7750	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
45		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
46		0fi 9061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ Fin
47		eleq1 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
48	46, 47	mpbiri 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
49	48	necon3bi 2959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≠ ∅)
50	45, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
51		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
52		ioran 985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) ↔ (¬ 𝐴 = ∅ ∧ ¬ 𝐵 = ∅))
53		xpeq0 6154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
54	53	necon3abii 2979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
55		df-ne 2934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
56		df-ne 2934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐵 = ∅)
57	55, 56	anbi12i 628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (¬ 𝐴 = ∅ ∧ ¬ 𝐵 = ∅))
58	52, 54, 57	3bitr4i 303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
59	58	biimpri 228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
60	50, 51, 59	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
61	45	intnanrd 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
62		pm4.61 404	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ↔ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
63		xpfir 9277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
64	63	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin → ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
65	64	con3i 154	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
66	62, 65	sylbir 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
67	60, 61, 66	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
68		hashinf 14358	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
69	44, 67, 68	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
70	40, 42, 69	3eqtr4rd 2782	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
71		exmidne 2943	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 ≠ ∅)
72	71	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 ≠ ∅))
73	32, 70, 72	mpjaodan 960	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
74	73	adantlr 715	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
75		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
76	75	xpeq1d 5688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
77		0xp 5758	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ × 𝐵) = ∅
78	76, 77	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
79	78	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = (♯‘∅))
80	79, 19	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = 0)
81	75	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = (♯‘∅))
82	81, 19	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = 0)
83		hashinf 14358	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
84	33, 83	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
85	84	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐵) = +∞)
86	82, 85	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = (0 ·_e +∞))
87		xmul02 13289	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ ℝ^* → (0 ·_e +∞) = 0)
88	28, 87	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 ·_e +∞) = 0
89	86, 88	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = 0)
90	80, 89	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
91		hashxrcl 14380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ^*)
92	91	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ^*)
93		hashgt0 14411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐴))
94	93	ad4ant14 752	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐴))
95		xmulpnf1 13295	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ^* ∧ 0 < (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝐴) ·_e +∞) = +∞)
96	92, 94, 95	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e +∞) = +∞)
97	84	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) = +∞)
98	97	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e +∞))
99	21	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝑉)
100	33	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ 𝑊)
101	99, 100	xpexd 7750	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
102		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
103		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
104		eleq1 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
105	46, 104	mpbiri 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = ∅ → 𝐵 ∈ Fin)
106	105	necon3bi 2959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ≠ ∅)
107	103, 106	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
108	102, 107, 59	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
109	103	intnand 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
110	108, 109, 66	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
111	101, 110, 68	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
112	96, 98, 111	3eqtr4rd 2782	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
113		exmidne 2943	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅)
114	113	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅))
115	90, 112, 114	mpjaodan 960	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
116	115	adantlr 715	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
117		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
118		ianor 983	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
119	117, 118	sylib 218	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
120	74, 116, 119	mpjaodan 960	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
121		exmidd 895	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∨ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
122	13, 120, 121	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∨ wo 847 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2933 Vcvv 3464 ∅c0 4313 class class class wbr 5124 × cxp 5657 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 Fincfn 8964 ℝcr 11133 0cc0 11134 · cmul 11139 +∞cpnf 11271 ℝ^*cxr 11273 < clt 11274 ℕ₀cn0 12506 ·_e cxmu 13132 ♯chash 14353

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2708 ax-sep 5271 ax-nul 5281 ax-pow 5340 ax-pr 5407 ax-un 7734 ax-cnex 11190 ax-resscn 11191 ax-1cn 11192 ax-icn 11193 ax-addcl 11194 ax-addrcl 11195 ax-mulcl 11196 ax-mulrcl 11197 ax-mulcom 11198 ax-addass 11199 ax-mulass 11200 ax-distr 11201 ax-i2m1 11202 ax-1ne0 11203 ax-1rid 11204 ax-rnegex 11205 ax-rrecex 11206 ax-cnre 11207 ax-pre-lttri 11208 ax-pre-lttrn 11209 ax-pre-ltadd 11210 ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2810 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3062 df-reu 3365 df-rab 3421 df-v 3466 df-sbc 3771 df-csb 3880 df-dif 3934 df-un 3936 df-in 3938 df-ss 3948 df-pss 3951 df-nul 4314 df-if 4506 df-pw 4582 df-sn 4607 df-pr 4609 df-op 4613 df-uni 4889 df-int 4928 df-iun 4974 df-br 5125 df-opab 5187 df-mpt 5207 df-tr 5235 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-we 5613 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6295 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7867 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-1o 8485 df-oadd 8489 df-er 8724 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-fin 8968 df-dju 9920 df-card 9958 df-pnf 11276 df-mnf 11277 df-xr 11278 df-ltxr 11279 df-le 11280 df-sub 11473 df-neg 11474 df-nn 12246 df-n0 12507 df-xnn0 12580 df-z 12594 df-uz 12858 df-xmul 13135 df-fz 13530 df-hash 14354

This theorem is referenced by: fedgmul 33676

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