hashxpe - Mathbox for Thierry Arnoux

	Mathbox for Thierry Arnoux		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > hashxpe		Structured version Visualization version GIF version

Theorem hashxpe 31997

Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. This is a version of hashxp 14390 valid for infinite sets, which uses extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
hashxpe	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))

**Proof of Theorem hashxpe**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
2		hashxp 14390	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
4		nn0ssre 12472	. . . . . . 7 ⊢ ℕ₀ ⊆ ℝ
5		hashcl 14312	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ₀)
6	4, 5	sselid 3979	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
7		hashcl 14312	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
8	4, 7	sselid 3979	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
9	6, 8	anim12i 614	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
10	1, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
11		rexmul 13246	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
13	3, 12	eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
14		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
15	14	xpeq2d 5705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
16		xp0 6154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
18	17	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = (♯‘∅))
19		hash0 14323	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘∅) = 0
20	18, 19	eqtrdi 2789	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = 0)
21		simpl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑉)
22		hashinf 14291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
23	21, 22	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
24	23	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐴) = +∞)
25	14	fveq2d 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐵) = (♯‘∅))
26	25, 19	eqtrdi 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐵) = 0)
27	24, 26	oveq12d 7422	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = (+∞ ·_e 0))
28		pnfxr 11264	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
29		xmul01 13242	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ ℝ^* → (+∞ ·_e 0) = 0)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ ·_e 0) = 0
31	27, 30	eqtrdi 2789	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = 0)
32	20, 31	eqtr4d 2776	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
33		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
34	33	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ 𝑊)
35		hashxrcl 14313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ^*)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ^*)
37		hashgt0 14344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐵))
38	34, 37	sylancom 589	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐵))
39		xmulpnf2 13250	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℝ^* ∧ 0 < (♯‘𝐵)) → (+∞ ·_e (♯‘𝐵)) = +∞)
40	36, 38, 39	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (+∞ ·_e (♯‘𝐵)) = +∞)
41	23	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) = +∞)
42	41	oveq1d 7419	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = (+∞ ·_e (♯‘𝐵)))
43	21	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝑉)
44	43, 34	xpexd 7733	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
45		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
46		0fin 9167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ Fin
47		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
48	46, 47	mpbiri 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
49	48	necon3bi 2968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≠ ∅)
50	45, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
51		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
52		ioran 983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) ↔ (¬ 𝐴 = ∅ ∧ ¬ 𝐵 = ∅))
53		xpeq0 6156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
54	53	necon3abii 2988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
55		df-ne 2942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
56		df-ne 2942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐵 = ∅)
57	55, 56	anbi12i 628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (¬ 𝐴 = ∅ ∧ ¬ 𝐵 = ∅))
58	52, 54, 57	3bitr4i 303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
59	58	biimpri 227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
60	50, 51, 59	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
61	45	intnanrd 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
62		pm4.61 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ↔ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
63		xpfir 9262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
64	63	ex 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin → ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
65	64	con3i 154	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
66	62, 65	sylbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
67	60, 61, 66	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
68		hashinf 14291	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
69	44, 67, 68	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
70	40, 42, 69	3eqtr4rd 2784	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
71		exmidne 2951	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 ≠ ∅)
72	71	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 ≠ ∅))
73	32, 70, 72	mpjaodan 958	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
74	73	adantlr 714	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
75		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
76	75	xpeq1d 5704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
77		0xp 5772	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ × 𝐵) = ∅
78	76, 77	eqtrdi 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
79	78	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = (♯‘∅))
80	79, 19	eqtrdi 2789	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = 0)
81	75	fveq2d 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = (♯‘∅))
82	81, 19	eqtrdi 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = 0)
83		hashinf 14291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
84	33, 83	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
85	84	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐵) = +∞)
86	82, 85	oveq12d 7422	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = (0 ·_e +∞))
87		xmul02 13243	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ ℝ^* → (0 ·_e +∞) = 0)
88	28, 87	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 ·_e +∞) = 0
89	86, 88	eqtrdi 2789	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = 0)
90	80, 89	eqtr4d 2776	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
91		hashxrcl 14313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ^*)
92	91	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ^*)
93		hashgt0 14344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐴))
94	93	ad4ant14 751	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐴))
95		xmulpnf1 13249	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ^* ∧ 0 < (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝐴) ·_e +∞) = +∞)
96	92, 94, 95	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e +∞) = +∞)
97	84	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) = +∞)
98	97	oveq2d 7420	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e +∞))
99	21	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝑉)
100	33	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ 𝑊)
101	99, 100	xpexd 7733	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
102		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
103		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
104		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = ∅ → (𝐵 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
105	46, 104	mpbiri 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = ∅ → 𝐵 ∈ Fin)
106	105	necon3bi 2968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ≠ ∅)
107	103, 106	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
108	102, 107, 59	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
109	103	intnand 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
110	108, 109, 66	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
111	101, 110, 68	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
112	96, 98, 111	3eqtr4rd 2784	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
113		exmidne 2951	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅)
114	113	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅))
115	90, 112, 114	mpjaodan 958	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
116	115	adantlr 714	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
117		simpr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
118		ianor 981	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
119	117, 118	sylib 217	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
120	74, 116, 119	mpjaodan 958	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))
121		exmidd 895	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∨ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
122	13, 120, 121	mpjaodan 958	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·_e (♯‘𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 397 ∨ wo 846 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2941 Vcvv 3475 ∅c0 4321 class class class wbr 5147 × cxp 5673 ‘cfv 6540 (class class class)co 7404 Fincfn 8935 ℝcr 11105 0cc0 11106 · cmul 11111 +∞cpnf 11241 ℝ^*cxr 11243 < clt 11244 ℕ₀cn0 12468 ·_e cxmu 13087 ♯chash 14286

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7720 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7851 df-1st 7970 df-2nd 7971 df-frecs 8261 df-wrecs 8292 df-recs 8366 df-rdg 8405 df-1o 8461 df-oadd 8465 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-dju 9892 df-card 9930 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-nn 12209 df-n0 12469 df-xnn0 12541 df-z 12555 df-uz 12819 df-xmul 13090 df-fz 13481 df-hash 14287

This theorem is referenced by: fedgmul 32661

W3C validator