Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashxpe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashxpe 31758
Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. This is a version of hashxp 14340 valid for infinite sets, which uses extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
hashxpe ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))

Proof of Theorem hashxpe
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin))
2 hashxp 14340 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
31, 2syl 17 . . 3 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
4 nn0ssre 12422 . . . . . . 7 โ„•0 โŠ† โ„
5 hashcl 14262 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
64, 5sselid 3943 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
7 hashcl 14262 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
84, 7sselid 3943 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
96, 8anim12i 614 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„))
101, 9syl 17 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„))
11 rexmul 13196 . . . 4 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
1210, 11syl 17 . . 3 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
133, 12eqtr4d 2776 . 2 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
14 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ ๐ต = โˆ…)
1514xpeq2d 5664 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = (๐ด ร— โˆ…))
16 xp0 6111 . . . . . . . . 9 (๐ด ร— โˆ…) = โˆ…
1715, 16eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = โˆ…)
1817fveq2d 6847 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
19 hash0 14273 . . . . . . 7 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
2018, 19eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = 0)
21 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
22 hashinf 14241 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = +โˆž)
2321, 22sylan 581 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = +โˆž)
2423adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = +โˆž)
2514fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
2625, 19eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = 0)
2724, 26oveq12d 7376 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (+โˆž ยทe 0))
28 pnfxr 11214 . . . . . . . 8 +โˆž โˆˆ โ„*
29 xmul01 13192 . . . . . . . 8 (+โˆž โˆˆ โ„* โ†’ (+โˆž ยทe 0) = 0)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 (+โˆž ยทe 0) = 0
3127, 30eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = 0)
3220, 31eqtr4d 2776 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
33 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)
3433ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)
35 hashxrcl 14263 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ ๐‘Š โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„*)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„*)
37 hashgt0 14294 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ 0 < (โ™ฏโ€˜๐ต))
3834, 37sylancom 589 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ 0 < (โ™ฏโ€˜๐ต))
39 xmulpnf2 13200 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„* โˆง 0 < (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ (+โˆž ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = +โˆž)
4036, 38, 39syl2anc 585 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ (+โˆž ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = +โˆž)
4123adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = +โˆž)
4241oveq1d 7373 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (+โˆž ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
4321ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
4443, 34xpexd 7686 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ V)
45 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ Fin)
46 0fin 9118 . . . . . . . . . . . 12 โˆ… โˆˆ Fin
47 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โˆˆ Fin โ†” โˆ… โˆˆ Fin))
4846, 47mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 (๐ด = โˆ… โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
4948necon3bi 2967 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐ด โˆˆ Fin โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
5045, 49syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
51 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
52 ioran 983 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…) โ†” (ยฌ ๐ด = โˆ… โˆง ยฌ ๐ต = โˆ…))
53 xpeq0 6113 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด ร— ๐ต) = โˆ… โ†” (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…))
5453necon3abii 2987 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ… โ†” ยฌ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…))
55 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โ‰  โˆ… โ†” ยฌ ๐ด = โˆ…)
56 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โ‰  โˆ… โ†” ยฌ ๐ต = โˆ…)
5755, 56anbi12i 628 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†” (ยฌ ๐ด = โˆ… โˆง ยฌ ๐ต = โˆ…))
5852, 54, 573bitr4i 303 . . . . . . . . . 10 ((๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ… โ†” (๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ต โ‰  โˆ…))
5958biimpri 227 . . . . . . . . 9 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ…)
6050, 51, 59syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ…)
6145intnanrd 491 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin))
62 pm4.61 406 . . . . . . . . 9 (ยฌ ((๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ… โ†’ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†” ((๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ… โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)))
63 xpfir 9213 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด ร— ๐ต) โˆˆ Fin โˆง (๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ…) โ†’ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin))
6463ex 414 . . . . . . . . . 10 ((๐ด ร— ๐ต) โˆˆ Fin โ†’ ((๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ… โ†’ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)))
6564con3i 154 . . . . . . . . 9 (ยฌ ((๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ… โ†’ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ ยฌ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
6662, 65sylbir 234 . . . . . . . 8 (((๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ… โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ ยฌ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
6760, 61, 66syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ ยฌ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
68 hashinf 14241 . . . . . . 7 (((๐ด ร— ๐ต) โˆˆ V โˆง ยฌ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = +โˆž)
6944, 67, 68syl2anc 585 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = +โˆž)
7040, 42, 693eqtr4rd 2784 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
71 exmidne 2950 . . . . . 6 (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ต โ‰  โˆ…)
7271a1i 11 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ต โ‰  โˆ…))
7332, 70, 72mpjaodan 958 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
7473adantlr 714 . . 3 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
75 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ ๐ด = โˆ…)
7675xpeq1d 5663 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = (โˆ… ร— ๐ต))
77 0xp 5731 . . . . . . . . 9 (โˆ… ร— ๐ต) = โˆ…
7876, 77eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = โˆ…)
7978fveq2d 6847 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
8079, 19eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = 0)
8175fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
8281, 19eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = 0)
83 hashinf 14241 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ ๐‘Š โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = +โˆž)
8433, 83sylan 581 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = +โˆž)
8584adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = +โˆž)
8682, 85oveq12d 7376 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (0 ยทe +โˆž))
87 xmul02 13193 . . . . . . . 8 (+โˆž โˆˆ โ„* โ†’ (0 ยทe +โˆž) = 0)
8828, 87ax-mp 5 . . . . . . 7 (0 ยทe +โˆž) = 0
8986, 88eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = 0)
9080, 89eqtr4d 2776 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
91 hashxrcl 14263 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„*)
9291ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„*)
93 hashgt0 14294 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ 0 < (โ™ฏโ€˜๐ด))
9493ad4ant14 751 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ 0 < (โ™ฏโ€˜๐ด))
95 xmulpnf1 13199 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„* โˆง 0 < (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe +โˆž) = +โˆž)
9692, 94, 95syl2anc 585 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe +โˆž) = +โˆž)
9784adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = +โˆž)
9897oveq2d 7374 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe +โˆž))
9921ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
10033ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)
10199, 100xpexd 7686 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ V)
102 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
103 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ Fin)
104 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต = โˆ… โ†’ (๐ต โˆˆ Fin โ†” โˆ… โˆˆ Fin))
10546, 104mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 (๐ต = โˆ… โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
106105necon3bi 2967 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐ต โˆˆ Fin โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
107103, 106syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
108102, 107, 59syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ…)
109103intnand 490 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin))
110108, 109, 66syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ยฌ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
111101, 110, 68syl2anc 585 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = +โˆž)
11296, 98, 1113eqtr4rd 2784 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
113 exmidne 2950 . . . . . 6 (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ด โ‰  โˆ…)
114113a1i 11 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ด โ‰  โˆ…))
11590, 112, 114mpjaodan 958 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
116115adantlr 714 . . 3 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
117 simpr 486 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin))
118 ianor 981 . . . 4 (ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†” (ยฌ ๐ด โˆˆ Fin โˆจ ยฌ ๐ต โˆˆ Fin))
119117, 118sylib 217 . . 3 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ (ยฌ ๐ด โˆˆ Fin โˆจ ยฌ ๐ต โˆˆ Fin))
12074, 116, 119mpjaodan 958 . 2 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
121 exmidd 895 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆจ ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)))
12213, 120, 121mpjaodan 958 1 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  Vcvv 3444  โˆ…c0 4283   class class class wbr 5106   ร— cxp 5632  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  โ„cr 11055  0cc0 11056   ยท cmul 11061  +โˆžcpnf 11191  โ„*cxr 11193   < clt 11194  โ„•0cn0 12418   ยทe cxmu 13037  โ™ฏchash 14236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-xmul 13040  df-fz 13431  df-hash 14237
This theorem is referenced by:  fedgmul  32383
  Copyright terms: Public domain W3C validator