Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashxpe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashxpe 32523
Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. This is a version of hashxp 14396 valid for infinite sets, which uses extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
hashxpe ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))

Proof of Theorem hashxpe
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin))
2 hashxp 14396 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
31, 2syl 17 . . 3 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
4 nn0ssre 12477 . . . . . . 7 โ„•0 โІ โ„
5 hashcl 14318 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
64, 5sselid 3975 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
7 hashcl 14318 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
84, 7sselid 3975 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
96, 8anim12i 612 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„))
101, 9syl 17 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„))
11 rexmul 13253 . . . 4 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
1210, 11syl 17 . . 3 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท (โ™ฏโ€˜๐ต)))
133, 12eqtr4d 2769 . 2 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
14 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ ๐ต = โˆ…)
1514xpeq2d 5699 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = (๐ด ร— โˆ…))
16 xp0 6150 . . . . . . . . 9 (๐ด ร— โˆ…) = โˆ…
1715, 16eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = โˆ…)
1817fveq2d 6888 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
19 hash0 14329 . . . . . . 7 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
2018, 19eqtrdi 2782 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = 0)
21 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
22 hashinf 14297 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = +โˆž)
2321, 22sylan 579 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = +โˆž)
2423adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = +โˆž)
2514fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
2625, 19eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = 0)
2724, 26oveq12d 7422 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (+โˆž ยทe 0))
28 pnfxr 11269 . . . . . . . 8 +โˆž โˆˆ โ„*
29 xmul01 13249 . . . . . . . 8 (+โˆž โˆˆ โ„* โ†’ (+โˆž ยทe 0) = 0)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 (+โˆž ยทe 0) = 0
3127, 30eqtrdi 2782 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = 0)
3220, 31eqtr4d 2769 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
33 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)
3433ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)
35 hashxrcl 14319 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ ๐‘Š โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„*)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„*)
37 hashgt0 14350 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ 0 < (โ™ฏโ€˜๐ต))
3834, 37sylancom 587 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ 0 < (โ™ฏโ€˜๐ต))
39 xmulpnf2 13257 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„* โˆง 0 < (โ™ฏโ€˜๐ต)) โ†’ (+โˆž ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = +โˆž)
4036, 38, 39syl2anc 583 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ (+โˆž ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = +โˆž)
4123adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = +โˆž)
4241oveq1d 7419 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (+โˆž ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
4321ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
4443, 34xpexd 7734 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ V)
45 simplr 766 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ Fin)
46 0fin 9170 . . . . . . . . . . . 12 โˆ… โˆˆ Fin
47 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด = โˆ… โ†’ (๐ด โˆˆ Fin โ†” โˆ… โˆˆ Fin))
4846, 47mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 (๐ด = โˆ… โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
4948necon3bi 2961 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐ด โˆˆ Fin โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
5045, 49syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
51 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
52 ioran 980 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…) โ†” (ยฌ ๐ด = โˆ… โˆง ยฌ ๐ต = โˆ…))
53 xpeq0 6152 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด ร— ๐ต) = โˆ… โ†” (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…))
5453necon3abii 2981 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ… โ†” ยฌ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ต = โˆ…))
55 df-ne 2935 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โ‰  โˆ… โ†” ยฌ ๐ด = โˆ…)
56 df-ne 2935 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โ‰  โˆ… โ†” ยฌ ๐ต = โˆ…)
5755, 56anbi12i 626 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†” (ยฌ ๐ด = โˆ… โˆง ยฌ ๐ต = โˆ…))
5852, 54, 573bitr4i 303 . . . . . . . . . 10 ((๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ… โ†” (๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ต โ‰  โˆ…))
5958biimpri 227 . . . . . . . . 9 ((๐ด โ‰  โˆ… โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ…)
6050, 51, 59syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ…)
6145intnanrd 489 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin))
62 pm4.61 404 . . . . . . . . 9 (ยฌ ((๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ… โ†’ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†” ((๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ… โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)))
63 xpfir 9265 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด ร— ๐ต) โˆˆ Fin โˆง (๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ…) โ†’ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin))
6463ex 412 . . . . . . . . . 10 ((๐ด ร— ๐ต) โˆˆ Fin โ†’ ((๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ… โ†’ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)))
6564con3i 154 . . . . . . . . 9 (ยฌ ((๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ… โ†’ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ ยฌ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
6662, 65sylbir 234 . . . . . . . 8 (((๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ… โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ ยฌ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
6760, 61, 66syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ ยฌ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
68 hashinf 14297 . . . . . . 7 (((๐ด ร— ๐ต) โˆˆ V โˆง ยฌ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = +โˆž)
6944, 67, 68syl2anc 583 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = +โˆž)
7040, 42, 693eqtr4rd 2777 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โˆง ๐ต โ‰  โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
71 exmidne 2944 . . . . . 6 (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ต โ‰  โˆ…)
7271a1i 11 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (๐ต = โˆ… โˆจ ๐ต โ‰  โˆ…))
7332, 70, 72mpjaodan 955 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
7473adantlr 712 . . 3 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โˆง ยฌ ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
75 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ ๐ด = โˆ…)
7675xpeq1d 5698 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = (โˆ… ร— ๐ต))
77 0xp 5767 . . . . . . . . 9 (โˆ… ร— ๐ต) = โˆ…
7876, 77eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = โˆ…)
7978fveq2d 6888 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
8079, 19eqtrdi 2782 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = 0)
8175fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
8281, 19eqtrdi 2782 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = 0)
83 hashinf 14297 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ ๐‘Š โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = +โˆž)
8433, 83sylan 579 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = +โˆž)
8584adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = +โˆž)
8682, 85oveq12d 7422 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (0 ยทe +โˆž))
87 xmul02 13250 . . . . . . . 8 (+โˆž โˆˆ โ„* โ†’ (0 ยทe +โˆž) = 0)
8828, 87ax-mp 5 . . . . . . 7 (0 ยทe +โˆž) = 0
8986, 88eqtrdi 2782 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = 0)
9080, 89eqtr4d 2769 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด = โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
91 hashxrcl 14319 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„*)
9291ad3antrrr 727 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„*)
93 hashgt0 14350 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ 0 < (โ™ฏโ€˜๐ด))
9493ad4ant14 749 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ 0 < (โ™ฏโ€˜๐ด))
95 xmulpnf1 13256 . . . . . . 7 (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„* โˆง 0 < (โ™ฏโ€˜๐ด)) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe +โˆž) = +โˆž)
9692, 94, 95syl2anc 583 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe +โˆž) = +โˆž)
9784adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = +โˆž)
9897oveq2d 7420 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe +โˆž))
9921ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)
10033ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘Š)
10199, 100xpexd 7734 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ V)
102 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)
103 simplr 766 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ยฌ ๐ต โˆˆ Fin)
104 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต = โˆ… โ†’ (๐ต โˆˆ Fin โ†” โˆ… โˆˆ Fin))
10546, 104mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 (๐ต = โˆ… โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
106105necon3bi 2961 . . . . . . . . . 10 (ยฌ ๐ต โˆˆ Fin โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
107103, 106syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ต โ‰  โˆ…)
108102, 107, 59syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) โ‰  โˆ…)
109103intnand 488 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin))
110108, 109, 66syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ ยฌ (๐ด ร— ๐ต) โˆˆ Fin)
111101, 110, 68syl2anc 583 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = +โˆž)
11296, 98, 1113eqtr4rd 2777 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โˆง ๐ด โ‰  โˆ…) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
113 exmidne 2944 . . . . . 6 (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ด โ‰  โˆ…)
114113a1i 11 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (๐ด = โˆ… โˆจ ๐ด โ‰  โˆ…))
11590, 112, 114mpjaodan 955 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
116115adantlr 712 . . 3 ((((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
117 simpr 484 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin))
118 ianor 978 . . . 4 (ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†” (ยฌ ๐ด โˆˆ Fin โˆจ ยฌ ๐ต โˆˆ Fin))
119117, 118sylib 217 . . 3 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ (ยฌ ๐ด โˆˆ Fin โˆจ ยฌ ๐ต โˆˆ Fin))
12074, 116, 119mpjaodan 955 . 2 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โˆง ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
121 exmidd 892 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โˆจ ยฌ (๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin)))
12213, 120, 121mpjaodan 955 1 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘Š) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐ด ร— ๐ต)) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยทe (โ™ฏโ€˜๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  Vcvv 3468  โˆ…c0 4317   class class class wbr 5141   ร— cxp 5667  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114  +โˆžcpnf 11246  โ„*cxr 11248   < clt 11249  โ„•0cn0 12473   ยทe cxmu 13094  โ™ฏchash 14292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-xmul 13097  df-fz 13488  df-hash 14293
This theorem is referenced by:  fedgmul  33233
  Copyright terms: Public domain W3C validator