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Theorem hashxpe 30213
Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. This is a version of hashxp 13643 valid for infinite sets, which uses extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
hashxpe ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashxpe
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
2 hashxp 13643 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
31, 2syl 17 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
4 nn0ssre 11749 . . . . . . 7 0 ⊆ ℝ
5 hashcl 13567 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
64, 5sseldi 3887 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
7 hashcl 13567 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
84, 7sseldi 3887 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
96, 8anim12i 612 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
101, 9syl 17 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ))
11 rexmul 12514 . . . 4 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
1210, 11syl 17 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) · (♯‘𝐵)))
133, 12eqtr4d 2834 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
14 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
1514xpeq2d 5473 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
16 xp0 5891 . . . . . . . . 9 (𝐴 × ∅) = ∅
1715, 16syl6eq 2847 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
1817fveq2d 6542 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = (♯‘∅))
19 hash0 13578 . . . . . . 7 (♯‘∅) = 0
2018, 19syl6eq 2847 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = 0)
21 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐴𝑉)
22 hashinf 13545 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
2321, 22sylan 580 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
2423adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐴) = +∞)
2514fveq2d 6542 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐵) = (♯‘∅))
2625, 19syl6eq 2847 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘𝐵) = 0)
2724, 26oveq12d 7034 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = (+∞ ·e 0))
28 pnfxr 10541 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
29 xmul01 12510 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ ℝ* → (+∞ ·e 0) = 0)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 (+∞ ·e 0) = 0
3127, 30syl6eq 2847 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = 0)
3220, 31eqtr4d 2834 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
33 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐵𝑊)
3433ad2antrr 722 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵𝑊)
35 hashxrcl 13568 . . . . . . . 8 (𝐵𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ*)
37 hashgt0 13597 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑊𝐵 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐵))
3834, 37sylancom 588 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐵))
39 xmulpnf2 12518 . . . . . . 7 (((♯‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 < (♯‘𝐵)) → (+∞ ·e (♯‘𝐵)) = +∞)
4036, 38, 39syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (+∞ ·e (♯‘𝐵)) = +∞)
4123adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) = +∞)
4241oveq1d 7031 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = (+∞ ·e (♯‘𝐵)))
4321ad2antrr 722 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴𝑉)
4443, 34xpexd 7331 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
45 simplr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
46 0fin 8592 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ Fin
47 eleq1 2870 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
4846, 47mpbiri 259 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
4948necon3bi 3010 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≠ ∅)
5045, 49syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
51 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
52 ioran 978 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) ↔ (¬ 𝐴 = ∅ ∧ ¬ 𝐵 = ∅))
53 xpeq0 5893 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 × 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
5453necon3abii 3030 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
55 df-ne 2985 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
56 df-ne 2985 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐵 = ∅)
5755, 56anbi12i 626 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) ↔ (¬ 𝐴 = ∅ ∧ ¬ 𝐵 = ∅))
5852, 54, 573bitr4i 304 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))
5958biimpri 229 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
6050, 51, 59syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
6145intnanrd 490 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
62 pm4.61 405 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ↔ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
63 xpfir 8586 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
6463ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 × 𝐵) ∈ Fin → ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
6564con3i 157 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
6662, 65sylbir 236 . . . . . . . 8 (((𝐴 × 𝐵) ≠ ∅ ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
6760, 61, 66syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
68 hashinf 13545 . . . . . . 7 (((𝐴 × 𝐵) ∈ V ∧ ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
6944, 67, 68syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
7040, 42, 693eqtr4rd 2842 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
71 exmidne 2994 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 ≠ ∅)
7271a1i 11 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 ≠ ∅))
7332, 70, 72mpjaodan 953 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
7473adantlr 711 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
75 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
7675xpeq1d 5472 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
77 0xp 5535 . . . . . . . . 9 (∅ × 𝐵) = ∅
7876, 77syl6eq 2847 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
7978fveq2d 6542 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = (♯‘∅))
8079, 19syl6eq 2847 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = 0)
8175fveq2d 6542 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = (♯‘∅))
8281, 19syl6eq 2847 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐴) = 0)
83 hashinf 13545 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
8433, 83sylan 580 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = +∞)
8584adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘𝐵) = +∞)
8682, 85oveq12d 7034 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = (0 ·e +∞))
87 xmul02 12511 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ ℝ* → (0 ·e +∞) = 0)
8828, 87ax-mp 5 . . . . . . 7 (0 ·e +∞) = 0
8986, 88syl6eq 2847 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = 0)
9080, 89eqtr4d 2834 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
91 hashxrcl 13568 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
9291ad3antrrr 726 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ*)
93 hashgt0 13597 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐴))
9493ad4ant14 748 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝐴))
95 xmulpnf1 12517 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 < (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝐴) ·e +∞) = +∞)
9692, 94, 95syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·e +∞) = +∞)
9784adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) = +∞)
9897oveq2d 7032 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e +∞))
9921ad2antrr 722 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑉)
10033ad2antrr 722 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵𝑊)
10199, 100xpexd 7331 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
102 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
103 simplr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
104 eleq1 2870 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = ∅ → (𝐵 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
10546, 104mpbiri 259 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = ∅ → 𝐵 ∈ Fin)
106105necon3bi 3010 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ≠ ∅)
107103, 106syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ≠ ∅)
108102, 107, 59syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 × 𝐵) ≠ ∅)
109103intnand 489 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
110108, 109, 66syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ Fin)
111101, 110, 68syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = +∞)
11296, 98, 1113eqtr4rd 2842 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
113 exmidne 2994 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅)
114113a1i 11 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ ∨ 𝐴 ≠ ∅))
11590, 112, 114mpjaodan 953 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
116115adantlr 711 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
117 simpr 485 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
118 ianor 976 . . . 4 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
119117, 118sylib 219 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
12074, 116, 119mpjaodan 953 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
121 exmidd 890 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∨ ¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin)))
12213, 120, 121mpjaodan 953 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (♯‘(𝐴 × 𝐵)) = ((♯‘𝐴) ·e (♯‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 842   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  Vcvv 3437  c0 4211   class class class wbr 4962   × cxp 5441  cfv 6225  (class class class)co 7016  Fincfn 8357  cr 10382  0cc0 10383   · cmul 10388  +∞cpnf 10518  *cxr 10520   < clt 10521  0cn0 11745   ·e cxmu 12356  chash 13540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-xnn0 11816  df-z 11830  df-uz 12094  df-xmul 12359  df-fz 12743  df-hash 13541
This theorem is referenced by:  fedgmul  30631
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