MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atanbndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atanbndlem 24569
Description: Lemma for atanbnd 24570. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanbndlem (𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))

Proof of Theorem atanbndlem
StepHypRef Expression
1 rpre 11791 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 atanrecl 24555 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (arctan‘𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘𝐴) ∈ ℝ)
4 picn 24132 . . . 4 π ∈ ℂ
5 2cn 11043 . . . 4 2 ∈ ℂ
6 2ne0 11065 . . . 4 2 ≠ 0
7 divneg 10671 . . . 4 ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
84, 5, 6, 7mp3an 1421 . . 3 -(π / 2) = (-π / 2)
9 ax-1cn 9946 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
10 ax-icn 9947 . . . . . . . . . . . . 13 i ∈ ℂ
111recnd 10020 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
12 mulcl 9972 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
1310, 11, 12sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
14 addcl 9970 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
159, 13, 14sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
16 atanre 24529 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ dom arctan)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ dom arctan)
18 atandm2 24521 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
1917, 18sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
2019simp3d 1073 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
2115, 20logcld 24238 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
22 subcl 10232 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
239, 13, 22sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
2419simp2d 1072 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
2523, 24logcld 24238 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
2621, 25subcld 10344 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
27 imre 13790 . . . . . . . . 9 (((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (ℜ‘(-i · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (ℜ‘(-i · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
29 atanval 24528 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
3130oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) = (2 · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
3210, 5, 6divcan2i 10720 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (i / 2)) = i
3332oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (i · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
34 2re 11042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ)
3635recnd 10020 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℂ)
37 halfcl 11209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
3810, 37mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ → (i / 2) ∈ ℂ)
3925, 21subcld 10344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
4036, 38, 39mulassd 10015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((2 · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (2 · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
4133, 40syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (i · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (2 · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
4231, 41eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) = (i · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
4321, 25negsubdi2d 10360 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → -((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
4443oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (i · -((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (i · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
4542, 44eqtr4d 2658 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) = (i · -((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
46 mulneg12 10420 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ℂ) → (-i · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (i · -((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
4710, 26, 46sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (-i · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (i · -((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
4845, 47eqtr4d 2658 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) = (-i · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
4948fveq2d 6157 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℜ‘(2 · (arctan‘𝐴))) = (ℜ‘(-i · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))))
50 remulcl 9973 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ (arctan‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (arctan‘𝐴)) ∈ ℝ)
5134, 3, 50sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) ∈ ℝ)
5251rered 13906 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℜ‘(2 · (arctan‘𝐴))) = (2 · (arctan‘𝐴)))
5328, 49, 523eqtr2rd 2662 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) = (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
54 rpgt0 11796 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
551rered 13906 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
5654, 55breqtrrd 4646 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < (ℜ‘𝐴))
57 atanlogsublem 24559 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))
5817, 56, 57syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))
5953, 58eqeltrd 2698 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) ∈ (-π(,)π))
60 eliooord 12183 . . . . . 6 ((2 · (arctan‘𝐴)) ∈ (-π(,)π) → (-π < (2 · (arctan‘𝐴)) ∧ (2 · (arctan‘𝐴)) < π))
6159, 60syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (-π < (2 · (arctan‘𝐴)) ∧ (2 · (arctan‘𝐴)) < π))
6261simpld 475 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → -π < (2 · (arctan‘𝐴)))
63 pire 24131 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
6463renegcli 10294 . . . . . 6 -π ∈ ℝ
6564a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → -π ∈ ℝ)
66 2pos 11064 . . . . . 6 0 < 2
6766a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 2)
68 ltdivmul 10850 . . . . 5 ((-π ∈ ℝ ∧ (arctan‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((-π / 2) < (arctan‘𝐴) ↔ -π < (2 · (arctan‘𝐴))))
6965, 3, 35, 67, 68syl112anc 1327 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((-π / 2) < (arctan‘𝐴) ↔ -π < (2 · (arctan‘𝐴))))
7062, 69mpbird 247 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (-π / 2) < (arctan‘𝐴))
718, 70syl5eqbr 4653 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → -(π / 2) < (arctan‘𝐴))
7261simprd 479 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (2 · (arctan‘𝐴)) < π)
7363a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → π ∈ ℝ)
74 ltmuldiv2 10849 . . . 4 (((arctan‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · (arctan‘𝐴)) < π ↔ (arctan‘𝐴) < (π / 2)))
753, 73, 35, 67, 74syl112anc 1327 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((2 · (arctan‘𝐴)) < π ↔ (arctan‘𝐴) < (π / 2)))
7672, 75mpbid 222 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘𝐴) < (π / 2))
77 halfpire 24137 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℝ
7877renegcli 10294 . . . 4 -(π / 2) ∈ ℝ
7978rexri 10049 . . 3 -(π / 2) ∈ ℝ*
8077rexri 10049 . . 3 (π / 2) ∈ ℝ*
81 elioo2 12166 . . 3 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((arctan‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (arctan‘𝐴) ∧ (arctan‘𝐴) < (π / 2))))
8279, 80, 81mp2an 707 . 2 ((arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ ((arctan‘𝐴) ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < (arctan‘𝐴) ∧ (arctan‘𝐴) < (π / 2)))
833, 71, 76, 82syl3anbrc 1244 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889  ici 9890   + caddc 9891   · cmul 9893  *cxr 10025   < clt 10026  cmin 10218  -cneg 10219   / cdiv 10636  2c2 11022  +crp 11784  (,)cioo 12125  cre 13779  cim 13780  πcpi 14733  logclog 24222  arctancatan 24508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734  df-sin 14736  df-cos 14737  df-tan 14738  df-pi 14739  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554  df-log 24224  df-atan 24511
This theorem is referenced by:  atanbnd  24570
  Copyright terms: Public domain W3C validator