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Theorem atanlogsublem 24576
Description: Lemma for atanlogsub 24577. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanlogsublem ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))

Proof of Theorem atanlogsublem
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9954 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
2 ax-icn 9955 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
3 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ dom arctan)
4 atandm2 24538 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
53, 4sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
65simp1d 1071 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7 mulcl 9980 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
82, 6, 7sylancr 694 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9 addcl 9978 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
101, 8, 9sylancr 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
115simp3d 1073 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
1210, 11logcld 24255 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
13 subcl 10240 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
141, 8, 13sylancr 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
155simp2d 1072 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
1614, 15logcld 24255 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
1712, 16imsubd 13907 . . 3 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
182a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → i ∈ ℂ)
1918, 6, 18subdid 10446 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 − i)) = ((i · 𝐴) − (i · i)))
20 ixi 10616 . . . . . . . . . . 11 (i · i) = -1
2120oveq2i 6626 . . . . . . . . . 10 ((i · 𝐴) − (i · i)) = ((i · 𝐴) − -1)
22 subneg 10290 . . . . . . . . . . 11 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
238, 1, 22sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) − -1) = ((i · 𝐴) + 1))
2421, 23syl5eq 2667 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) − (i · i)) = ((i · 𝐴) + 1))
25 addcom 10182 . . . . . . . . . 10 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) + 1) = (1 + (i · 𝐴)))
268, 1, 25sylancl 693 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + 1) = (1 + (i · 𝐴)))
2719, 24, 263eqtrd 2659 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 − i)) = (1 + (i · 𝐴)))
2827fveq2d 6162 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · (𝐴 − i))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
29 subcl 10240 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 − i) ∈ ℂ)
306, 2, 29sylancl 693 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 − i) ∈ ℂ)
31 resub 13817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 − i)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)))
326, 2, 31sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 − i)) = ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)))
33 rei 13846 . . . . . . . . . . . . 13 (ℜ‘i) = 0
3433oveq2i 6626 . . . . . . . . . . . 12 ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)) = ((ℜ‘𝐴) − 0)
356recld 13884 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3635recnd 10028 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3736subid1d 10341 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) − 0) = (ℜ‘𝐴))
3834, 37syl5eq 2667 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) − (ℜ‘i)) = (ℜ‘𝐴))
3932, 38eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 − i)) = (ℜ‘𝐴))
40 gt0ne0 10453 . . . . . . . . . . 11 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
4135, 40sylancom 700 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
4239, 41eqnetrd 2857 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 − i)) ≠ 0)
43 fveq2 6158 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 − i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 − i)) = (ℜ‘0))
44 re0 13842 . . . . . . . . . . 11 (ℜ‘0) = 0
4543, 44syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 − i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 − i)) = 0)
4645necon3i 2822 . . . . . . . . 9 ((ℜ‘(𝐴 − i)) ≠ 0 → (𝐴 − i) ≠ 0)
4742, 46syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 − i) ≠ 0)
48 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
49 0re 10000 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
50 ltle 10086 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℜ‘𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
5149, 35, 50sylancr 694 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 < (ℜ‘𝐴) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
5248, 51mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
5352, 39breqtrrd 4651 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 − i)))
54 logimul 24298 . . . . . . . 8 (((𝐴 − i) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − i) ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 − i))) → (log‘(i · (𝐴 − i))) = ((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2))))
5530, 47, 53, 54syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · (𝐴 − i))) = ((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2))))
5628, 55eqtr3d 2657 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) = ((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2))))
5756fveq2d 6162 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))))
5830, 47logcld 24255 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(𝐴 − i)) ∈ ℂ)
59 halfpire 24154 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℝ
6059recni 10012 . . . . . . . 8 (π / 2) ∈ ℂ
612, 60mulcli 10005 . . . . . . 7 (i · (π / 2)) ∈ ℂ
62 imadd 13824 . . . . . . 7 (((log‘(𝐴 − i)) ∈ ℂ ∧ (i · (π / 2)) ∈ ℂ) → (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (ℑ‘(i · (π / 2)))))
6358, 61, 62sylancl 693 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (ℑ‘(i · (π / 2)))))
64 reim 13799 . . . . . . . . 9 ((π / 2) ∈ ℂ → (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2))))
6560, 64ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℜ‘(π / 2)) = (ℑ‘(i · (π / 2)))
66 rere 13812 . . . . . . . . 9 ((π / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2))
6759, 66ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℜ‘(π / 2)) = (π / 2)
6865, 67eqtr3i 2645 . . . . . . 7 (ℑ‘(i · (π / 2))) = (π / 2)
6968oveq2i 6626 . . . . . 6 ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (ℑ‘(i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2))
7063, 69syl6eq 2671 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 − i)) + (i · (π / 2)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)))
7157, 70eqtrd 2655 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)))
72 addcl 9978 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
736, 2, 72sylancl 693 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
74 mulcl 9980 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ (𝐴 + i) ∈ ℂ) → (i · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
752, 73, 74sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 + i)) ∈ ℂ)
76 reim 13799 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 + i) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℑ‘(i · (𝐴 + i))))
7773, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℑ‘(i · (𝐴 + i))))
78 readd 13816 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)))
796, 2, 78sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)))
8033oveq2i 6626 . . . . . . . . . . . 12 ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)) = ((ℜ‘𝐴) + 0)
8136addid1d 10196 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) + 0) = (ℜ‘𝐴))
8280, 81syl5eq 2667 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘i)) = (ℜ‘𝐴))
8379, 82eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℜ‘𝐴))
8477, 83eqtr3d 2657 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(i · (𝐴 + i))) = (ℜ‘𝐴))
8548, 84breqtrrd 4651 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(i · (𝐴 + i))))
86 logneg2 24299 . . . . . . . 8 (((i · (𝐴 + i)) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘(i · (𝐴 + i)))) → (log‘-(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)))
8775, 85, 86syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘-(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)))
8818, 6, 18adddid 10024 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 + i)) = ((i · 𝐴) + (i · i)))
8920oveq2i 6626 . . . . . . . . . . . 12 ((i · 𝐴) + (i · i)) = ((i · 𝐴) + -1)
90 negsub 10289 . . . . . . . . . . . . 13 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴) + -1) = ((i · 𝐴) − 1))
918, 1, 90sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + -1) = ((i · 𝐴) − 1))
9289, 91syl5eq 2667 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((i · 𝐴) + (i · i)) = ((i · 𝐴) − 1))
9388, 92eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (𝐴 + i)) = ((i · 𝐴) − 1))
9493negeqd 10235 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(i · (𝐴 + i)) = -((i · 𝐴) − 1))
95 negsubdi2 10300 . . . . . . . . . 10 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((i · 𝐴) − 1) = (1 − (i · 𝐴)))
968, 1, 95sylancl 693 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -((i · 𝐴) − 1) = (1 − (i · 𝐴)))
9794, 96eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(i · (𝐴 + i)) = (1 − (i · 𝐴)))
9897fveq2d 6162 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘-(i · (𝐴 + i))) = (log‘(1 − (i · 𝐴))))
9983, 41eqnetrd 2857 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(𝐴 + i)) ≠ 0)
100 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 + i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 + i)) = (ℜ‘0))
101100, 44syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 + i) = 0 → (ℜ‘(𝐴 + i)) = 0)
102101necon3i 2822 . . . . . . . . . . 11 ((ℜ‘(𝐴 + i)) ≠ 0 → (𝐴 + i) ≠ 0)
10399, 102syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (𝐴 + i) ≠ 0)
10452, 83breqtrrd 4651 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 + i)))
105 logimul 24298 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + i) ∈ ℂ ∧ (𝐴 + i) ≠ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐴 + i))) → (log‘(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(𝐴 + i)) + (i · (π / 2))))
10673, 103, 104, 105syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(i · (𝐴 + i))) = ((log‘(𝐴 + i)) + (i · (π / 2))))
107106oveq1d 6630 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)) = (((log‘(𝐴 + i)) + (i · (π / 2))) − (i · π)))
10873, 103logcld 24255 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(𝐴 + i)) ∈ ℂ)
10961a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · (π / 2)) ∈ ℂ)
110 picn 24149 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
1112, 110mulcli 10005 . . . . . . . . . 10 (i · π) ∈ ℂ
112111a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (i · π) ∈ ℂ)
113108, 109, 112addsubassd 10372 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((log‘(𝐴 + i)) + (i · (π / 2))) − (i · π)) = ((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π))))
114107, 113eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(i · (𝐴 + i))) − (i · π)) = ((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π))))
11587, 98, 1143eqtr3d 2663 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) = ((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π))))
116115fveq2d 6162 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))))
11761, 111subcli 10317 . . . . . . 7 ((i · (π / 2)) − (i · π)) ∈ ℂ
118 imadd 13824 . . . . . . 7 (((log‘(𝐴 + i)) ∈ ℂ ∧ ((i · (π / 2)) − (i · π)) ∈ ℂ) → (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π)))))
119108, 117, 118sylancl 693 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π)))))
120 imsub 13825 . . . . . . . . 9 (((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π))) = ((ℑ‘(i · (π / 2))) − (ℑ‘(i · π))))
12161, 111, 120mp2an 707 . . . . . . . 8 (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π))) = ((ℑ‘(i · (π / 2))) − (ℑ‘(i · π)))
122 reim 13799 . . . . . . . . . . 11 (π ∈ ℂ → (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π)))
123110, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℜ‘π) = (ℑ‘(i · π))
124 pire 24148 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ
125 rere 13812 . . . . . . . . . . 11 (π ∈ ℝ → (ℜ‘π) = π)
126124, 125ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℜ‘π) = π
127123, 126eqtr3i 2645 . . . . . . . . 9 (ℑ‘(i · π)) = π
12868, 127oveq12i 6627 . . . . . . . 8 ((ℑ‘(i · (π / 2))) − (ℑ‘(i · π))) = ((π / 2) − π)
12960negcli 10309 . . . . . . . . 9 -(π / 2) ∈ ℂ
130110, 60negsubi 10319 . . . . . . . . . 10 (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
131 pidiv2halves 24157 . . . . . . . . . . 11 ((π / 2) + (π / 2)) = π
132110, 60, 60, 131subaddrii 10330 . . . . . . . . . 10 (π − (π / 2)) = (π / 2)
133130, 132eqtri 2643 . . . . . . . . 9 (π + -(π / 2)) = (π / 2)
13460, 110, 129, 133subaddrii 10330 . . . . . . . 8 ((π / 2) − π) = -(π / 2)
135121, 128, 1343eqtri 2647 . . . . . . 7 (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π))) = -(π / 2)
136135oveq2i 6626 . . . . . 6 ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + (ℑ‘((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))
137119, 136syl6eq 2671 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(𝐴 + i)) + ((i · (π / 2)) − (i · π)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2)))
138116, 137eqtrd 2655 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2)))
13971, 138oveq12d 6633 . . 3 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (ℑ‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)) − ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))))
14058imcld 13885 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ ℝ)
141140recnd 10028 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ ℂ)
14260a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (π / 2) ∈ ℂ)
143108imcld 13885 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℝ)
144143recnd 10028 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℂ)
145129a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(π / 2) ∈ ℂ)
146141, 142, 144, 145addsub4d 10399 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)) − ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + ((π / 2) − -(π / 2))))
14760, 60subnegi 10320 . . . . . 6 ((π / 2) − -(π / 2)) = ((π / 2) + (π / 2))
148147, 131eqtri 2643 . . . . 5 ((π / 2) − -(π / 2)) = π
149148oveq2i 6626 . . . 4 (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + ((π / 2) − -(π / 2))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π)
150146, 149syl6eq 2671 . . 3 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + (π / 2)) − ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) + -(π / 2))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π))
15117, 139, 1503eqtrd 2659 . 2 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π))
152140, 143resubcld 10418 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) ∈ ℝ)
153 readdcl 9979 . . . 4 ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ)
154152, 124, 153sylancl 693 . . 3 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ)
155124renegcli 10302 . . . . . . 7 -π ∈ ℝ
156155recni 10012 . . . . . 6 -π ∈ ℂ
157156, 110negsubi 10319 . . . . 5 (-π + -π) = (-π − π)
158155a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
159143renegcld 10417 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℝ)
16030, 47logimcld 24256 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∧ (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ≤ π))
161160simpld 475 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))))
16273, 103logimcld 24256 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∧ (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π))
163162simprd 479 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π)
164 leneg 10491 . . . . . . . . 9 (((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π ↔ -π ≤ -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
165143, 124, 164sylancl 693 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ≤ π ↔ -π ≤ -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
166163, 165mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π ≤ -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))
167158, 158, 140, 159, 161, 166ltleaddd 10608 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π + -π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
168141, 144negsubd 10358 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) + -(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
169167, 168breqtrd 4649 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π + -π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
170157, 169syl5eqbrr 4659 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (-π − π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
171124a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
172158, 171, 152ltsubaddd 10583 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((-π − π) < ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) ↔ -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π)))
173170, 172mpbid 222 . . 3 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π))
174 0red 10001 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
1756imcld 13885 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
176 peano2rem 10308 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → ((ℑ‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
177175, 176syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
178 peano2re 10169 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → ((ℑ‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
179175, 178syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
180175ltm1d 10916 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 1) < (ℑ‘𝐴))
181175ltp1d 10914 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) < ((ℑ‘𝐴) + 1))
182177, 175, 179, 180, 181lttrd 10158 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 1) < ((ℑ‘𝐴) + 1))
183 ltdiv1 10847 . . . . . . . . . . . 12 ((((ℑ‘𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ ((ℑ‘𝐴) + 1) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴))) → (((ℑ‘𝐴) − 1) < ((ℑ‘𝐴) + 1) ↔ (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)) < (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴))))
184177, 179, 35, 48, 183syl112anc 1327 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘𝐴) − 1) < ((ℑ‘𝐴) + 1) ↔ (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)) < (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴))))
185182, 184mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)) < (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴)))
186 imsub 13825 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 − i)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘i)))
1876, 2, 186sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − i)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘i)))
188 imi 13847 . . . . . . . . . . . . 13 (ℑ‘i) = 1
189188oveq2i 6626 . . . . . . . . . . . 12 ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘i)) = ((ℑ‘𝐴) − 1)
190187, 189syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − i)) = ((ℑ‘𝐴) − 1))
191190, 39oveq12d 6633 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))) = (((ℑ‘𝐴) − 1) / (ℜ‘𝐴)))
192 imadd 13824 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝐴 + i)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘i)))
1936, 2, 192sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 + i)) = ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘i)))
194188oveq2i 6626 . . . . . . . . . . . 12 ((ℑ‘𝐴) + (ℑ‘i)) = ((ℑ‘𝐴) + 1)
195193, 194syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 + i)) = ((ℑ‘𝐴) + 1))
196195, 83oveq12d 6633 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))) = (((ℑ‘𝐴) + 1) / (ℜ‘𝐴)))
197185, 191, 1963brtr4d 4655 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))) < ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))))
198 tanarg 24303 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 − i) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 − i)) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) = ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))))
19930, 42, 198syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) = ((ℑ‘(𝐴 − i)) / (ℜ‘(𝐴 − i))))
200 tanarg 24303 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + i) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐴 + i)) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))))
20173, 99, 200syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = ((ℑ‘(𝐴 + i)) / (ℜ‘(𝐴 + i))))
202197, 199, 2013brtr4d 4655 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) < (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
20348, 39breqtrrd 4651 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(𝐴 − i)))
204 argregt0 24294 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 − i) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐴 − i))) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
20530, 203, 204syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
20648, 83breqtrrd 4651 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(𝐴 + i)))
207 argregt0 24294 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + i) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐴 + i))) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
20873, 206, 207syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
209 tanord 24222 . . . . . . . . 9 (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ↔ (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) < (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))))
210205, 208, 209syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))) ↔ (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 − i)))) < (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))))
211202, 210mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))
212144addid2d 10197 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (0 + (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) = (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))
213211, 212breqtrrd 4651 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (0 + (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))))
214140, 143, 174ltsubaddd 10583 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) < 0 ↔ (ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) < (0 + (ℑ‘(log‘(𝐴 + i))))))
215213, 214mpbird 247 . . . . 5 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) < 0)
216152, 174, 171, 215ltadd1dd 10598 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < (0 + π))
217110addid2i 10184 . . . 4 (0 + π) = π
218216, 217syl6breq 4664 . . 3 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < π)
219155rexri 10057 . . . 4 -π ∈ ℝ*
220124rexri 10057 . . . 4 π ∈ ℝ*
221 elioo2 12174 . . . 4 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ (-π(,)π) ↔ ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ ∧ -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∧ (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < π)))
222219, 220, 221mp2an 707 . . 3 ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ (-π(,)π) ↔ ((((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ ℝ ∧ -π < (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∧ (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) < π))
223154, 173, 218, 222syl3anbrc 1244 . 2 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (((ℑ‘(log‘(𝐴 − i))) − (ℑ‘(log‘(𝐴 + i)))) + π) ∈ (-π(,)π))
224151, 223eqeltrd 2698 1 ((𝐴 ∈ dom arctan ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℑ‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) ∈ (-π(,)π))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4623  dom cdm 5084  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897  ici 9898   + caddc 9899   · cmul 9901  *cxr 10033   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226  -cneg 10227   / cdiv 10644  2c2 11030  (,)cioo 12133  cre 13787  cim 13788  tanctan 14740  πcpi 14741  logclog 24239  arctancatan 24525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-sin 14744  df-cos 14745  df-tan 14746  df-pi 14747  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621  df-limc 23570  df-dv 23571  df-log 24241  df-atan 24528
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