MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem5 24711
Description: Lemma for basel 24716. Using vieta1 23971, we can calculate the sum of the roots of 𝑃 as the quotient of the top two coefficients, and since the function 𝑇 enumerates the roots, we are left with an equation that sums the cot↑2 function at the 𝑀 different roots. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
basel.t 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
Assertion
Ref Expression
basellem5 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑡,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘,𝑛,𝑡   𝑃,𝑘,𝑛   𝑇,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑗)   𝑇(𝑡,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem basellem5
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (coeff‘𝑃) = (coeff‘𝑃)
2 eqid 2621 . . 3 (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
3 eqid 2621 . . 3 (𝑃 “ {0}) = (𝑃 “ {0})
4 basel.n . . . . 5 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
5 basel.p . . . . 5 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
64, 5basellem2 24708 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))))
76simp1d 1071 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
86simp2d 1072 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
9 nnnn0 11243 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
10 hashfz1 13074 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (#‘(1...𝑀)) = 𝑀)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (#‘(1...𝑀)) = 𝑀)
12 basel.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
134, 5, 12basellem4 24710 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0}))
14 ovex 6632 . . . . . . 7 (1...𝑀) ∈ V
1514f1oen 7920 . . . . . 6 (𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0}) → (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}))
1613, 15syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}))
17 fzfid 12712 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ∈ Fin)
18 nnne0 10997 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
198, 18eqnetrd 2857 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) ≠ 0)
20 fveq2 6148 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = (deg‘0𝑝))
21 dgr0 23922 . . . . . . . . . . 11 (deg‘0𝑝) = 0
2220, 21syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = 0)
2322necon3i 2822 . . . . . . . . 9 ((deg‘𝑃) ≠ 0 → 𝑃 ≠ 0𝑝)
2419, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ≠ 0𝑝)
253fta1 23967 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (#‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃)))
267, 24, 25syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (#‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃)))
2726simpld 475 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 “ {0}) ∈ Fin)
28 hashen 13075 . . . . . 6 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ (𝑃 “ {0}) ∈ Fin) → ((#‘(1...𝑀)) = (#‘(𝑃 “ {0})) ↔ (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0})))
2917, 27, 28syl2anc 692 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((#‘(1...𝑀)) = (#‘(𝑃 “ {0})) ↔ (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0})))
3016, 29mpbird 247 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (#‘(1...𝑀)) = (#‘(𝑃 “ {0})))
318, 11, 303eqtr2rd 2662 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (#‘(𝑃 “ {0})) = (deg‘𝑃))
32 id 22 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ)
338, 32eqeltrd 2698 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)
341, 2, 3, 7, 31, 33vieta1 23971 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ (𝑃 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))))
35 id 22 . . 3 (𝑥 = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) → 𝑥 = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
36 oveq1 6611 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π))
3736oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 · π) / 𝑁) = ((𝑘 · π) / 𝑁))
3837fveq2d 6152 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) = (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
3938oveq1d 6619 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
40 ovex 6632 . . . . 5 ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ V
4139, 12, 40fvmpt 6239 . . . 4 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
4241adantl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
43 cnvimass 5444 . . . . 5 (𝑃 “ {0}) ⊆ dom 𝑃
44 plyf 23858 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝑃:ℂ⟶ℂ)
45 fdm 6008 . . . . . 6 (𝑃:ℂ⟶ℂ → dom 𝑃 = ℂ)
467, 44, 453syl 18 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → dom 𝑃 = ℂ)
4743, 46syl5sseq 3632 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 “ {0}) ⊆ ℂ)
4847sselda 3583 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (𝑃 “ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
4935, 17, 13, 42, 48fsumf1o 14387 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ (𝑃 “ {0})𝑥 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
506simp3d 1073 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))))
518oveq1d 6619 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((deg‘𝑃) − 1) = (𝑀 − 1))
5250, 51fveq12d 6154 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘(𝑀 − 1)))
53 nnm1nn0 11278 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
54 oveq2 6612 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑀 − 1)))
5554oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
56 oveq2 6612 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (𝑀𝑛) = (𝑀 − (𝑀 − 1)))
5756oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (-1↑(𝑀𝑛)) = (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))))
5855, 57oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑀 − 1) → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
59 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))
60 ovex 6632 . . . . . . . 8 ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) ∈ V
6158, 59, 60fvmpt 6239 . . . . . . 7 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘(𝑀 − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
6253, 61syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘(𝑀 − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
63 nncn 10972 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
64 ax-1cn 9938 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
65 nncan 10254 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 − (𝑀 − 1)) = 1)
6663, 64, 65sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − (𝑀 − 1)) = 1)
6766oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))) = (-1↑1))
68 neg1cn 11068 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
69 exp1 12806 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (-1↑1) = -1
7167, 70syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))) = -1)
7271oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1))
73 2nn 11129 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
74 nnmulcl 10987 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
7573, 74mpan 705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
7675peano2nnd 10981 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
774, 76syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
7877nnnn0d 11295 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
79 2z 11353 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
80 nnz 11343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
81 peano2zm 11364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
83 zmulcl 11370 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
8479, 82, 83sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
85 bccl 13049 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ) → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ0)
8678, 84, 85syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ0)
8786nn0cnd 11297 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
88 mulcom 9966 . . . . . . . 8 (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1) = (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
8987, 68, 88sylancl 693 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1) = (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
9087mulm1d 10426 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
9172, 89, 903eqtrd 2659 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
9252, 62, 913eqtrd 2659 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
9387negcld 10323 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
9492, 93eqeltrd 2698 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) ∈ ℂ)
9550, 8fveq12d 6154 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀))
96 oveq2 6612 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
9796oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
98 oveq2 6612 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (𝑀𝑛) = (𝑀𝑀))
9998oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (-1↑(𝑀𝑛)) = (-1↑(𝑀𝑀)))
10097, 99oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
101 ovex 6632 . . . . . . . 8 ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) ∈ V
102100, 59, 101fvmpt 6239 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
1039, 102syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
10463subidd 10324 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀𝑀) = 0)
105104oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀𝑀)) = (-1↑0))
106 exp0 12804 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
10768, 106ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (-1↑0) = 1
108105, 107syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀𝑀)) = 1)
109108oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1))
110 1eluzge0 11676 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (ℤ‘0)
111 fzss1 12322 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
11375nnred 10979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
114113lep1d 10899 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀) + 1))
115114, 4syl6breqr 4655 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
116 nnuz 11667 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
11775, 116syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (ℤ‘1))
11877nnzd 11425 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
119 elfz5 12276 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑀) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
120117, 118, 119syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
121115, 120mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁))
122112, 121sseldi 3581 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁))
123 bccl2 13050 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
124122, 123syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
125124nncnd 10980 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
126125mulid1d 10001 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
127109, 126eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
12895, 103, 1273eqtrd 2659 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
129128, 125eqeltrd 2698 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ∈ ℂ)
130124nnne0d 11009 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ≠ 0)
131128, 130eqnetrd 2857 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ≠ 0)
13294, 129, 131divnegd 10758 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = (-((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))))
13392negeqd 10219 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → -((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = --(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
13487negnegd 10327 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → --(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
135133, 134eqtrd 2655 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → -((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
136135, 128oveq12d 6622 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (-((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))))
137 bcm1k 13042 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))))
138121, 137syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))))
13975nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
140 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
141139, 140, 140pnncand 10375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) − ((2 · 𝑀) − 1)) = (1 + 1))
1424oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) = (((2 · 𝑀) + 1) − ((2 · 𝑀) − 1))
143 df-2 11023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 = (1 + 1)
144141, 142, 1433eqtr4g 2680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) = 2)
145 2nn0 11253 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
146144, 145syl6eqel 2706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ0)
147 nnm1nn0 11278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑀) ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
14875, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
149 nn0sub 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ0))
150148, 78, 149syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ0))
151146, 150mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁)
152632timesd 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
153152oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) = ((𝑀 + 𝑀) − 1))
15463, 63, 140addsubd 10357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 + 𝑀) − 1) = ((𝑀 − 1) + 𝑀))
155153, 154eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) = ((𝑀 − 1) + 𝑀))
156 nn0nnaddcl 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 − 1) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + 𝑀) ∈ ℕ)
15753, 156mpancom 702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 𝑀) ∈ ℕ)
158155, 157eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ)
159158, 116syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ (ℤ‘1))
160 elfz5 12276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2 · 𝑀) − 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁))
161159, 118, 160syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁))
162151, 161mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁))
163 bcm1k 13042 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))))
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))))
165642timesi 11091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) = (1 + 1)
166165eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = (2 · 1)
167166oveq2i 6615 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑀) − (1 + 1)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 1))
168139, 140, 140subsub4d 10367 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) = ((2 · 𝑀) − (1 + 1)))
169 2cnd 11037 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
170169, 63, 140subdid 10430 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 1)))
171167, 168, 1703eqtr4a 2681 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) = (2 · (𝑀 − 1)))
172171oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
17377nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
174158nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℂ)
175173, 174, 140subsubd 10364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1))
176144oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1) = (2 + 1))
177 df-3 11024 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (2 + 1)
178176, 177syl6eqr 2673 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1) = 3)
179175, 178eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = 3)
180179oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1)) = (3 / ((2 · 𝑀) − 1)))
181172, 180oveq12d 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))))
182164, 181eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))))
183144oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀)) = (2 / (2 · 𝑀)))
184182, 183oveq12d 6622 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))) = (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))) · (2 / (2 · 𝑀))))
185 3re 11038 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
186 nndivre 11000 . . . . . . . . . . . 12 ((3 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ) → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℝ)
187185, 158, 186sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℝ)
188187recnd 10012 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
189 2re 11034 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
190 nndivre 11000 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℕ) → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
191189, 75, 190sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
192191recnd 10012 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
19387, 188, 192mulassd 10007 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))) · (2 / (2 · 𝑀))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))))
194138, 184, 1933eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))))
195 3cn 11039 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
196195a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 3 ∈ ℂ)
197158nnne0d 11009 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ≠ 0)
19875nnne0d 11009 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≠ 0)
199196, 174, 169, 139, 197, 198divmuldivd 10786 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀))) = ((3 · 2) / (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀))))
200 3t2e6 11123 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
201200a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (3 · 2) = 6)
202174, 139mulcomd 10005 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀)) = ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))
203201, 202oveq12d 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((3 · 2) / (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
204199, 203eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
205204oveq2d 6620 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
206194, 205eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
207206oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
208 6re 11045 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℝ
20975, 158nnmulcld 11012 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ)
210 nndivre 11000 . . . . . . . . 9 ((6 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ) → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℝ)
211208, 209, 210sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℝ)
212211recnd 10012 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
213 nnm1nn0 11278 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
214158, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
215171, 214eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℕ0)
216215nn0red 11296 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℝ)
217158nnred 10979 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℝ)
21877nnred 10979 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
219217ltm1d 10900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) < ((2 · 𝑀) − 1))
220171, 219eqbrtrrd 4637 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) < ((2 · 𝑀) − 1))
221216, 217, 220ltled 10129 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ≤ ((2 · 𝑀) − 1))
222216, 217, 218, 221, 151letrd 10138 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁)
223 nn0uz 11666 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
224215, 223syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ (ℤ‘0))
225 elfz5 12276 . . . . . . . . . . 11 (((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁))
226224, 118, 225syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁))
227222, 226mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁))
228 bccl2 13050 . . . . . . . . 9 ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ)
229227, 228syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ)
230229nnne0d 11009 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ≠ 0)
231212, 87, 230divcan3d 10750 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
232207, 231eqtrd 2655 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
233232oveq2d 6620 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))) = (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
234125, 87, 130, 230recdivd 10762 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))))
235209nncnd 10980 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
236209nnne0d 11009 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0)
237 6cn 11046 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
238 6nn 11133 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
239238nnne0i 10999 . . . . . 6 6 ≠ 0
240 recdiv 10675 . . . . . 6 (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0)) → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
241237, 239, 240mpanl12 717 . . . . 5 ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0) → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
242235, 236, 241syl2anc 692 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
243233, 234, 2423eqtr3d 2663 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
244132, 136, 2433eqtrd 2659 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
24534, 49, 2443eqtr3d 2663 1 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wss 3555  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ccnv 5073  dom cdm 5074  cima 5077  wf 5843  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  cen 7896  Fincfn 7899  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  3c3 11015  6c6 11018  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  cexp 12800  Ccbc 13029  #chash 13057  Σcsu 14350  tanctan 14721  πcpi 14722  0𝑝c0p 23342  Polycply 23844  coeffccoe 23846  degcdgr 23847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-tan 14727  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-0p 23343  df-limc 23536  df-dv 23537  df-ply 23848  df-idp 23849  df-coe 23850  df-dgr 23851  df-quot 23950
This theorem is referenced by:  basellem8  24714
  Copyright terms: Public domain W3C validator