Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem5 25031
 Description: Lemma for basel 25036. Using vieta1 24286, we can calculate the sum of the roots of 𝑃 as the quotient of the top two coefficients, and since the function 𝑇 enumerates the roots, we are left with an equation that sums the cot↑2 function at the 𝑀 different roots. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
basel.t 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
Assertion
Ref Expression
basellem5 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑡,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘,𝑛,𝑡   𝑃,𝑘,𝑛   𝑇,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑗)   𝑇(𝑡,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem basellem5
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . 3 (coeff‘𝑃) = (coeff‘𝑃)
2 eqid 2760 . . 3 (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
3 eqid 2760 . . 3 (𝑃 “ {0}) = (𝑃 “ {0})
4 basel.n . . . . 5 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
5 basel.p . . . . 5 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
64, 5basellem2 25028 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))))
76simp1d 1137 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
86simp2d 1138 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
9 nnnn0 11511 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
10 hashfz1 13348 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
12 basel.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
134, 5, 12basellem4 25030 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0}))
14 ovex 6842 . . . . . . 7 (1...𝑀) ∈ V
1514f1oen 8144 . . . . . 6 (𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0}) → (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}))
1613, 15syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}))
17 fzfid 12986 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ∈ Fin)
18 nnne0 11265 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
198, 18eqnetrd 2999 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) ≠ 0)
20 fveq2 6353 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = (deg‘0𝑝))
21 dgr0 24237 . . . . . . . . . . 11 (deg‘0𝑝) = 0
2220, 21syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = 0)
2322necon3i 2964 . . . . . . . . 9 ((deg‘𝑃) ≠ 0 → 𝑃 ≠ 0𝑝)
2419, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ≠ 0𝑝)
253fta1 24282 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃)))
267, 24, 25syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃)))
2726simpld 477 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 “ {0}) ∈ Fin)
28 hashen 13349 . . . . . 6 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ (𝑃 “ {0}) ∈ Fin) → ((♯‘(1...𝑀)) = (♯‘(𝑃 “ {0})) ↔ (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0})))
2917, 27, 28syl2anc 696 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘(1...𝑀)) = (♯‘(𝑃 “ {0})) ↔ (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0})))
3016, 29mpbird 247 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = (♯‘(𝑃 “ {0})))
318, 11, 303eqtr2rd 2801 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(𝑃 “ {0})) = (deg‘𝑃))
32 id 22 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ)
338, 32eqeltrd 2839 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)
341, 2, 3, 7, 31, 33vieta1 24286 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ (𝑃 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))))
35 id 22 . . 3 (𝑥 = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) → 𝑥 = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
36 oveq1 6821 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π))
3736oveq1d 6829 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 · π) / 𝑁) = ((𝑘 · π) / 𝑁))
3837fveq2d 6357 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) = (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
3938oveq1d 6829 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
40 ovex 6842 . . . . 5 ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ V
4139, 12, 40fvmpt 6445 . . . 4 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
4241adantl 473 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
43 cnvimass 5643 . . . . 5 (𝑃 “ {0}) ⊆ dom 𝑃
44 plyf 24173 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝑃:ℂ⟶ℂ)
45 fdm 6212 . . . . . 6 (𝑃:ℂ⟶ℂ → dom 𝑃 = ℂ)
467, 44, 453syl 18 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → dom 𝑃 = ℂ)
4743, 46syl5sseq 3794 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 “ {0}) ⊆ ℂ)
4847sselda 3744 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (𝑃 “ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
4935, 17, 13, 42, 48fsumf1o 14673 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ (𝑃 “ {0})𝑥 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
506simp3d 1139 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))))
518oveq1d 6829 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((deg‘𝑃) − 1) = (𝑀 − 1))
5250, 51fveq12d 6359 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘(𝑀 − 1)))
53 nnm1nn0 11546 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
54 oveq2 6822 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑀 − 1)))
5554oveq2d 6830 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
56 oveq2 6822 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (𝑀𝑛) = (𝑀 − (𝑀 − 1)))
5756oveq2d 6830 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (-1↑(𝑀𝑛)) = (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))))
5855, 57oveq12d 6832 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑀 − 1) → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
59 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))
60 ovex 6842 . . . . . . . 8 ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) ∈ V
6158, 59, 60fvmpt 6445 . . . . . . 7 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘(𝑀 − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
6253, 61syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘(𝑀 − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
63 nncn 11240 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
64 ax-1cn 10206 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
65 nncan 10522 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 − (𝑀 − 1)) = 1)
6663, 64, 65sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − (𝑀 − 1)) = 1)
6766oveq2d 6830 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))) = (-1↑1))
68 neg1cn 11336 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
69 exp1 13080 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (-1↑1) = -1
7167, 70syl6eq 2810 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))) = -1)
7271oveq2d 6830 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1))
73 2nn 11397 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
74 nnmulcl 11255 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
7573, 74mpan 708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
7675peano2nnd 11249 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
774, 76syl5eqel 2843 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
7877nnnn0d 11563 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
79 2z 11621 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
80 nnz 11611 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
81 peano2zm 11632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
83 zmulcl 11638 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
8479, 82, 83sylancr 698 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
85 bccl 13323 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ) → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ0)
8678, 84, 85syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ0)
8786nn0cnd 11565 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
88 mulcom 10234 . . . . . . . 8 (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1) = (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
8987, 68, 88sylancl 697 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1) = (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
9087mulm1d 10694 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
9172, 89, 903eqtrd 2798 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
9252, 62, 913eqtrd 2798 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
9387negcld 10591 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
9492, 93eqeltrd 2839 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) ∈ ℂ)
9550, 8fveq12d 6359 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀))
96 oveq2 6822 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
9796oveq2d 6830 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
98 oveq2 6822 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (𝑀𝑛) = (𝑀𝑀))
9998oveq2d 6830 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (-1↑(𝑀𝑛)) = (-1↑(𝑀𝑀)))
10097, 99oveq12d 6832 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
101 ovex 6842 . . . . . . . 8 ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) ∈ V
102100, 59, 101fvmpt 6445 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
1039, 102syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
10463subidd 10592 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀𝑀) = 0)
105104oveq2d 6830 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀𝑀)) = (-1↑0))
106 exp0 13078 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
10768, 106ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (-1↑0) = 1
108105, 107syl6eq 2810 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀𝑀)) = 1)
109108oveq2d 6830 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1))
110 fz1ssfz0 12649 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
11175nnred 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
112111lep1d 11167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀) + 1))
113112, 4syl6breqr 4846 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
114 nnuz 11936 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
11575, 114syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (ℤ‘1))
11677nnzd 11693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
117 elfz5 12547 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑀) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
118115, 116, 117syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
119113, 118mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁))
120110, 119sseldi 3742 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁))
121 bccl2 13324 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
122120, 121syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
123122nncnd 11248 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
124123mulid1d 10269 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
125109, 124eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
12695, 103, 1253eqtrd 2798 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
127126, 123eqeltrd 2839 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ∈ ℂ)
128122nnne0d 11277 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ≠ 0)
129126, 128eqnetrd 2999 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ≠ 0)
13094, 127, 129divnegd 11026 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = (-((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))))
13192negeqd 10487 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → -((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = --(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
13287negnegd 10595 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → --(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
133131, 132eqtrd 2794 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → -((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
134133, 126oveq12d 6832 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (-((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))))
135 bcm1k 13316 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))))
136119, 135syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))))
13775nncnd 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
138 1cnd 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
139137, 138, 138pnncand 10643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) − ((2 · 𝑀) − 1)) = (1 + 1))
1404oveq1i 6824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) = (((2 · 𝑀) + 1) − ((2 · 𝑀) − 1))
141 df-2 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 = (1 + 1)
142139, 140, 1413eqtr4g 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) = 2)
143 2nn0 11521 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
144142, 143syl6eqel 2847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ0)
145 nnm1nn0 11546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑀) ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
14675, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
147 nn0sub 11555 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ0))
148146, 78, 147syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ0))
149144, 148mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁)
150632timesd 11487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
151150oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) = ((𝑀 + 𝑀) − 1))
15263, 63, 138addsubd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 + 𝑀) − 1) = ((𝑀 − 1) + 𝑀))
153151, 152eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) = ((𝑀 − 1) + 𝑀))
154 nn0nnaddcl 11536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 − 1) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + 𝑀) ∈ ℕ)
15553, 154mpancom 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 𝑀) ∈ ℕ)
156153, 155eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ)
157156, 114syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ (ℤ‘1))
158 elfz5 12547 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2 · 𝑀) − 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁))
159157, 116, 158syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁))
160149, 159mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁))
161 bcm1k 13316 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))))
162160, 161syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))))
163642timesi 11359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) = (1 + 1)
164163eqcomi 2769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = (2 · 1)
165164oveq2i 6825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑀) − (1 + 1)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 1))
166137, 138, 138subsub4d 10635 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) = ((2 · 𝑀) − (1 + 1)))
167 2cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
168167, 63, 138subdid 10698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 1)))
169165, 166, 1683eqtr4a 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) = (2 · (𝑀 − 1)))
170169oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
17177nncnd 11248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
172156nncnd 11248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℂ)
173171, 172, 138subsubd 10632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1))
174142oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1) = (2 + 1))
175 df-3 11292 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (2 + 1)
176174, 175syl6eqr 2812 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1) = 3)
177173, 176eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = 3)
178177oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1)) = (3 / ((2 · 𝑀) − 1)))
179170, 178oveq12d 6832 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))))
180162, 179eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))))
181142oveq1d 6829 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀)) = (2 / (2 · 𝑀)))
182180, 181oveq12d 6832 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))) = (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))) · (2 / (2 · 𝑀))))
183 3re 11306 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
184 nndivre 11268 . . . . . . . . . . . 12 ((3 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ) → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℝ)
185183, 156, 184sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℝ)
186185recnd 10280 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
187 2re 11302 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
188 nndivre 11268 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℕ) → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
189187, 75, 188sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
190189recnd 10280 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
19187, 186, 190mulassd 10275 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))) · (2 / (2 · 𝑀))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))))
192136, 182, 1913eqtrd 2798 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))))
193 3cn 11307 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
194193a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 3 ∈ ℂ)
195156nnne0d 11277 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ≠ 0)
19675nnne0d 11277 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≠ 0)
197194, 172, 167, 137, 195, 196divmuldivd 11054 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀))) = ((3 · 2) / (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀))))
198 3t2e6 11391 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
199198a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (3 · 2) = 6)
200172, 137mulcomd 10273 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀)) = ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))
201199, 200oveq12d 6832 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((3 · 2) / (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
202197, 201eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
203202oveq2d 6830 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
204192, 203eqtrd 2794 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
205204oveq1d 6829 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
206 6re 11313 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℝ
20775, 156nnmulcld 11280 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ)
208 nndivre 11268 . . . . . . . . 9 ((6 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ) → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℝ)
209206, 207, 208sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℝ)
210209recnd 10280 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
211 nnm1nn0 11546 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
212156, 211syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
213169, 212eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℕ0)
214213nn0red 11564 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℝ)
215156nnred 11247 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℝ)
21677nnred 11247 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
217215ltm1d 11168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) < ((2 · 𝑀) − 1))
218169, 217eqbrtrrd 4828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) < ((2 · 𝑀) − 1))
219214, 215, 218ltled 10397 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ≤ ((2 · 𝑀) − 1))
220214, 215, 216, 219, 149letrd 10406 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁)
221 nn0uz 11935 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
222213, 221syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ (ℤ‘0))
223 elfz5 12547 . . . . . . . . . . 11 (((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁))
224222, 116, 223syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁))
225220, 224mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁))
226 bccl2 13324 . . . . . . . . 9 ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ)
227225, 226syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ)
228227nnne0d 11277 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ≠ 0)
229210, 87, 228divcan3d 11018 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
230205, 229eqtrd 2794 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
231230oveq2d 6830 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))) = (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
232123, 87, 128, 228recdivd 11030 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))))
233207nncnd 11248 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
234207nnne0d 11277 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0)
235 6cn 11314 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
236 6nn 11401 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
237236nnne0i 11267 . . . . . 6 6 ≠ 0
238 recdiv 10943 . . . . . 6 (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0)) → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
239235, 237, 238mpanl12 720 . . . . 5 ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0) → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
240233, 234, 239syl2anc 696 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
241231, 232, 2403eqtr3d 2802 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
242130, 134, 2413eqtrd 2798 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
24334, 49, 2423eqtr3d 2802 1 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  {csn 4321   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ◡ccnv 5265  dom cdm 5266   “ cima 5269  ⟶wf 6045  –1-1-onto→wf1o 6048  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ≈ cen 8120  Fincfn 8123  ℂcc 10146  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286   ≤ cle 10287   − cmin 10478  -cneg 10479   / cdiv 10896  ℕcn 11232  2c2 11282  3c3 11283  6c6 11286  ℕ0cn0 11504  ℤcz 11589  ℤ≥cuz 11899  ...cfz 12539  ↑cexp 13074  Ccbc 13303  ♯chash 13331  Σcsu 14635  tanctan 15015  πcpi 15016  0𝑝c0p 23655  Polycply 24159  coeffccoe 24161  degcdgr 24162 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-tan 15021  df-pi 15022  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-0p 23656  df-limc 23849  df-dv 23850  df-ply 24163  df-idp 24164  df-coe 24165  df-dgr 24166  df-quot 24265 This theorem is referenced by:  basellem8  25034
 Copyright terms: Public domain W3C validator