Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnndvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnndvlem1 31504
Description: Lemma for cnndv 31506. (Contributed by Asger C. Ipsen, 25-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cnndvlem1.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
cnndvlem1.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((1 / 2)↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 3)↑𝑛) · 𝑦)))))
cnndvlem1.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
Assertion
Ref Expression
cnndvlem1 (𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑤   𝑇,𝑛,𝑦   𝑖,𝑛,𝑦,𝑤   𝑥,𝑖,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem cnndvlem1
StepHypRef Expression
1 cnndvlem1.t . . . 4 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 cnndvlem1.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((1 / 2)↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 3)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 cnndvlem1.w . . . 4 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
4 3nn 11033 . . . . 5 3 ∈ ℕ
54a1i 11 . . . 4 (⊤ → 3 ∈ ℕ)
6 neg1rr 10972 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
76rexri 9948 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ*
8 1re 9895 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
98rexri 9948 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
10 halfre 11093 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
1110rexri 9948 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ*
127, 9, 113pm3.2i 1231 . . . . . . 7 (-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*)
13 neg1lt0 10974 . . . . . . . . . 10 -1 < 0
14 halfgt0 11095 . . . . . . . . . 10 0 < (1 / 2)
1513, 14pm3.2i 469 . . . . . . . . 9 (-1 < 0 ∧ 0 < (1 / 2))
16 0re 9896 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
176, 16, 10lttri 10014 . . . . . . . . 9 ((-1 < 0 ∧ 0 < (1 / 2)) → -1 < (1 / 2))
1815, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 -1 < (1 / 2)
19 halflt1 11097 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
2018, 19pm3.2i 469 . . . . . . 7 (-1 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
2112, 20pm3.2i 469 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (-1 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1))
22 elioo3g 12031 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ (-1(,)1) ↔ ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (-1 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2321, 22mpbir 219 . . . . 5 (1 / 2) ∈ (-1(,)1)
2423a1i 11 . . . 4 (⊤ → (1 / 2) ∈ (-1(,)1))
251, 2, 3, 5, 24knoppcn2 31503 . . 3 (⊤ → 𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
2625trud 1483 . 2 𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ)
27 2cn 10938 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
2827mulid2i 9899 . . . . . . . 8 (1 · 2) = 2
29 2lt3 11042 . . . . . . . 8 2 < 3
3028, 29eqbrtri 4598 . . . . . . 7 (1 · 2) < 3
31 2pos 10959 . . . . . . . 8 0 < 2
324nnrei 10876 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
33 2re 10937 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
348, 32, 33ltmuldivi 10793 . . . . . . . 8 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
3531, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
3630, 35mpbi 218 . . . . . 6 1 < (3 / 2)
3716, 10, 14ltleii 10011 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 / 2)
3810absidi 13911 . . . . . . . . 9 (0 ≤ (1 / 2) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
4039oveq2i 6538 . . . . . . 7 (3 · (abs‘(1 / 2))) = (3 · (1 / 2))
414nncni 10877 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
42 2ne0 10960 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
4341, 27, 42divreci 10619 . . . . . . . 8 (3 / 2) = (3 · (1 / 2))
4443eqcomi 2618 . . . . . . 7 (3 · (1 / 2)) = (3 / 2)
4540, 44eqtri 2631 . . . . . 6 (3 · (abs‘(1 / 2))) = (3 / 2)
4636, 45breqtrri 4604 . . . . 5 1 < (3 · (abs‘(1 / 2)))
4746a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 < (3 · (abs‘(1 / 2))))
481, 2, 3, 24, 5, 47knoppndv 31501 . . 3 (⊤ → dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
4948trud 1483 . 2 dom (ℝ D 𝑊) = ∅
5026, 49pm3.2i 469 1 (𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  c0 3873   class class class wbr 4577  cmpt 4637  dom cdm 5028  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  -cneg 10118   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  3c3 10918  0cn0 11139  (,)cioo 12002  cfl 12408  cexp 12677  abscabs 13768  Σcsu 14210  cnccncf 22418   D cdv 23350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-dvds 14768  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-ntr 20576  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-ulm 23852
This theorem is referenced by:  cnndvlem2  31505
  Copyright terms: Public domain W3C validator