Theorem toponrestid 21529

Description: Given a topology on a set, restricting it to that same set has no effect. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
toponrestid.t	⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)

Assertion

Ref	Expression
toponrestid	⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Proof of Theorem toponrestid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponrestid.t	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵)
2	1	toponunii 21524	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐴
3	2	restid 16707	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (TopOn‘𝐵) → (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ↾t 𝐵) = 𝐴
5	4	eqcomi 2830	1 ⊢ 𝐴 = (𝐴 ↾t 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ↾_t crest 16694  TopOnctopon 21518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-rest 16696  df-topon 21519

This theorem is referenced by:  cncfcn1  23518  cncfmpt2f  23522  cdivcncf  23525  cnrehmeo  23557  cnlimc  24486  dvidlem  24513  dvcnp2  24517  dvcn  24518  dvnres  24528  dvaddbr  24535  dvmulbr  24536  dvcobr  24543  dvcjbr  24546  dvrec  24552  dvexp3  24575  dveflem  24576  dvlipcn  24591  lhop1lem  24610  ftc1cn  24640  dvply1  24873  dvtaylp  24958  taylthlem2  24962  psercn  25014  pserdvlem2  25016  pserdv  25017  abelth  25029  logcn  25230  dvloglem  25231  dvlog  25234  dvlog2  25236  efopnlem2  25240  logtayl  25243  cxpcn  25326  cxpcn2  25327  cxpcn3  25329  resqrtcn  25330  sqrtcn  25331  dvatan  25513  ftalem3  25652  cxpcncf1  31866  knoppcnlem10  33841  knoppcnlem11  33842  dvtan  34957  ftc1cnnc  34981  dvasin  34993  dvacos  34994  cxpcncf2  42232