Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1anclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1anclem4 33155
Description: Lemma for ftc1anc 33160. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝐺

Proof of Theorem ftc1anclem4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 6318 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
21recnd 10020 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) ∈ ℂ)
3 i1ff 23366 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
43ffvelrnda 6320 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
54recnd 10020 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
6 subcl 10232 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℂ) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
72, 5, 6syl2anr 495 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
87anandirs 873 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
98abscld 14117 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
109rexrd 10041 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ*)
118absge0d 14125 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))
12 elxrge0 12231 . . . . 5 ((abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))))
1310, 11, 12sylanbrc 697 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞))
14 eqid 2621 . . . 4 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))
1513, 14fmptd 6346 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
16153adant2 1078 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
17 reex 9979 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1817a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ℝ ∈ V)
19 fvex 6163 . . . . . . 7 (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ V)
21 fvex 6163 . . . . . . 7 (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ V
2221a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ V)
23 eqidd 2622 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
24 eqidd 2622 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
2518, 20, 22, 23, 24offval2 6874 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
2625fveq2d 6157 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))))
27 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
2827feqmptd 6211 . . . . . . . . 9 (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑡)))
29 absf 14019 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℝ
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐺:ℝ⟶ℝ → abs:ℂ⟶ℝ)
3130feqmptd 6211 . . . . . . . . 9 (𝐺:ℝ⟶ℝ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
32 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐺𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐺𝑡)))
332, 28, 31, 32fmptco 6357 . . . . . . . 8 (𝐺:ℝ⟶ℝ → (abs ∘ 𝐺) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
3433adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (abs ∘ 𝐺) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
35 iblmbf 23457 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐿1𝐺 ∈ MblFn)
36 ftc1anclem1 33152 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
3735, 36sylan2 491 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
3837ancoms 469 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
3934, 38eqeltrrd 2699 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn)
40393adant1 1077 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn)
412abscld 14117 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ)
422absge0d 14125 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡)))
43 elrege0 12228 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐺𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡))))
4441, 42, 43sylanbrc 697 . . . . . . 7 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
45 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))
4644, 45fmptd 6346 . . . . . 6 (𝐺:ℝ⟶ℝ → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
47463ad2ant3 1082 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
48 iftrue 4069 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ℝ → if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0) = (abs‘(𝐺𝑡)))
4948mpteq2ia 4705 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))
5049fveq2i 6156 . . . . . . 7 (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
511adantll 749 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
52 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
5352feqmptd 6211 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑡)))
54 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
5553, 54eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑡)) ∈ 𝐿1)
5651, 55, 39iblabsnc 33141 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ 𝐿1)
5741adantll 749 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ)
5842adantll 749 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡)))
5957, 58iblpos 23482 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) ∈ ℝ)))
6056, 59mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) ∈ ℝ))
6160simprd 479 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) ∈ ℝ)
6250, 61syl5eqelr 2703 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) ∈ ℝ)
63623adant1 1077 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) ∈ ℝ)
645abscld 14117 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
655absge0d 14125 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑡)))
66 elrege0 12228 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑡))))
6764, 65, 66sylanbrc 697 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
68 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))
6967, 68fmptd 6346 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
70693ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
71 iftrue 4069 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ℝ → if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0) = (abs‘(𝐹𝑡)))
7271mpteq2ia 4705 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))
7372fveq2i 6156 . . . . . . 7 (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
743feqmptd 6211 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑡)))
75 i1fibl 23497 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ 𝐿1)
7674, 75eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
7729a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ dom ∫1 → abs:ℂ⟶ℝ)
7877feqmptd 6211 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ dom ∫1 → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
79 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐹𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑡)))
805, 74, 78, 79fmptco 6357 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
81 i1fmbf 23365 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ MblFn)
82 ftc1anclem1 33152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
833, 81, 82syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
8480, 83eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn)
854, 76, 84iblabsnc 33141 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ 𝐿1)
8664, 65iblpos 23482 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ ℝ)))
8785, 86mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ ℝ))
8887simprd 479 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ ℝ)
8973, 88syl5eqelr 2703 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))) ∈ ℝ)
90893ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))) ∈ ℝ)
9140, 47, 63, 70, 90itg2addnc 33131 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))))
9226, 91eqtr3d 2657 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))))
9363, 90readdcld 10021 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
9492, 93eqeltrd 2698 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
95 readdcl 9971 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
9641, 64, 95syl2anr 495 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
9796anandirs 873 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
9897rexrd 10041 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ*)
9941adantll 749 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ)
10064adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
10142adantll 749 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡)))
10265adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑡)))
10399, 100, 101, 102addge0d 10555 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
104 elxrge0 12231 . . . . . 6 (((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
10598, 103, 104sylanbrc 697 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞))
106 eqid 2621 . . . . 5 (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
107105, 106fmptd 6346 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
1081073adant2 1078 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
109 abs2dif2 14015 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
1102, 5, 109syl2anr 495 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
111110anandirs 873 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
112111ralrimiva 2961 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
11317a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ℝ ∈ V)
114 eqidd 2622 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))))
115 eqidd 2622 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
116113, 9, 97, 114, 115ofrfval2 6875 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
117112, 116mpbird 247 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
1181173adant2 1078 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
119 itg2le 23429 . . 3 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))))
12016, 108, 118, 119syl3anc 1323 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))))
121 itg2lecl 23428 . 2 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
12216, 94, 120, 121syl3anc 1323 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3189  ifcif 4063   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  ccom 5083  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑓 cof 6855  𝑟 cofr 6856  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888   + caddc 9891  +∞cpnf 10023  *cxr 10025  cle 10027  cmin 10218  [,)cico 12127  [,]cicc 12128  abscabs 13916  MblFncmbf 23306  1citg1 23307  2citg2 23308  𝐿1cibl 23309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-ofr 6858  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-rest 16015  df-topgen 16036  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-top 20631  df-topon 20648  df-bases 20674  df-cmp 21113  df-ovol 23156  df-vol 23157  df-mbf 23311  df-itg1 23312  df-itg2 23313  df-ibl 23314  df-0p 23360
This theorem is referenced by:  ftc1anclem5  33156  ftc1anclem6  33157
  Copyright terms: Public domain W3C validator