MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetrsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetrsca 20176
Description: The determinant function is homogeneous for each row: The matrices X and Z are identical except for the I's row, and the I's row of the matrix X is the componentwise product of the I's row of the matrix Z and the scalar Y. In this case the determinant of X is the determinant of Z multiplied by Y. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetrsca.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetrsca.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetrsca.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetrsca.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetrsca.t · = (.r𝑅)
mdetrsca.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetrsca.x (𝜑𝑋𝐵)
mdetrsca.y (𝜑𝑌𝐾)
mdetrsca.z (𝜑𝑍𝐵)
mdetrsca.i (𝜑𝐼𝑁)
mdetrsca.eq (𝜑 → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
mdetrsca.ne (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
Assertion
Ref Expression
mdetrsca (𝜑 → (𝐷𝑋) = (𝑌 · (𝐷𝑍)))

Proof of Theorem mdetrsca
Dummy variables 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdetrsca.eq . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) = ((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))))
21oveqd 6544 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝𝐼)))
32adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝𝐼)))
4 mdetrsca.i . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐼𝑁)
54adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼𝑁)
6 snidg 4153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝑁𝐼 ∈ {𝐼})
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝐼 ∈ {𝐼})
8 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
9 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
108, 9symgbasf1o 17575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) → 𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁1-1-onto𝑁)
12 f1of 6035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝:𝑁1-1-onto𝑁𝑝:𝑁𝑁)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝:𝑁𝑁)
1413, 5ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑝𝐼) ∈ 𝑁)
15 ovres 6676 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
167, 14, 15syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑋 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
17 opelxpi 5062 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝𝐼) ∈ 𝑁) → ⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁))
187, 14, 17syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁))
19 snfi 7901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝐼} ∈ Fin
20 mdetrsca.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑋𝐵)
21 mdetrsca.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
22 mdetrsca.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐵 = (Base‘𝐴)
2321, 22matrcl 19985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
2524simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 ∈ Fin)
27 xpfi 8094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (({𝐼} ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ Fin)
2819, 26, 27sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ∈ Fin)
29 mdetrsca.y . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌𝐾)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑌𝐾)
31 mdetrsca.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑍𝐵)
32 mdetrsca.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐾 = (Base‘𝑅)
3321, 32, 22matbas2i 19995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑍𝐵𝑍 ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
34 elmapi 7743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑍 ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
3531, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
37 ffn 5944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾𝑍 Fn (𝑁 × 𝑁))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑍 Fn (𝑁 × 𝑁))
395snssd 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → {𝐼} ⊆ 𝑁)
40 xpss1 5140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝐼} ⊆ 𝑁 → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁))
42 fnssres 5904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑍 Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ ({𝐼} × 𝑁) ⊆ (𝑁 × 𝑁)) → (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁))
4338, 41, 42syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)) Fn ({𝐼} × 𝑁))
44 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁)) → ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩) = ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩))
4528, 30, 43, 44ofc1 6796 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩ ∈ ({𝐼} × 𝑁)) → (((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩) = (𝑌 · ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)))
4618, 45mpdan 699 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩) = (𝑌 · ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)))
47 df-ov 6530 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝𝐼)) = (((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)
48 df-ov 6530 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩)
4948oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))) = (𝑌 · ((𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))‘⟨𝐼, (𝑝𝐼)⟩))
5046, 47, 493eqtr4g 2669 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼((({𝐼} × 𝑁) × {𝑌}) ∘𝑓 · (𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁)))(𝑝𝐼)) = (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))))
513, 16, 503eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝𝐼)) = (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))))
52 ovres 6676 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ {𝐼} ∧ (𝑝𝐼) ∈ 𝑁) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
537, 14, 52syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼)) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
5453oveq2d 6543 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 · (𝐼(𝑍 ↾ ({𝐼} × 𝑁))(𝑝𝐼))) = (𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝𝐼))))
5551, 54eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝𝐼)) = (𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝𝐼))))
5655oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝐼𝑋(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝𝐼))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
57 mdetrsca.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
58 crngring 18330 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
6059adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ Ring)
6136, 5, 14fovrnd 6682 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑍(𝑝𝐼)) ∈ 𝐾)
62 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6362, 32mgpbas 18267 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
6462crngmgp 18327 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
6557, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
6665adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
67 difssd 3700 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁)
68 ssfi 8043 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑁 ∖ {𝐼}) ⊆ 𝑁) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
6926, 67, 68syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
70 eldifi 3694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑟𝑁)
7135ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑍:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
72 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑟𝑁)
7313ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → (𝑝𝑟) ∈ 𝑁)
7471, 72, 73fovrnd 6682 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) ∈ 𝐾)
7570, 74sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) ∈ 𝐾)
7675ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})(𝑟𝑍(𝑝𝑟)) ∈ 𝐾)
7763, 66, 69, 76gsummptcl 18138 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ 𝐾)
78 mdetrsca.t . . . . . . . . . . 11 · = (.r𝑅)
7932, 78ringass 18336 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐾 ∧ (𝐼𝑍(𝑝𝐼)) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ 𝐾)) → ((𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝𝐼))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
8060, 30, 61, 77, 79syl13anc 1320 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝑌 · (𝐼𝑍(𝑝𝐼))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
8156, 80eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝐼𝑋(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
8262, 78mgpplusg 18265 . . . . . . . . . 10 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
8321, 32, 22matbas2i 19995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋𝐵𝑋 ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
84 elmapi 7743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
8520, 83, 843syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
8685ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
8786, 72, 73fovrnd 6682 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟𝑁) → (𝑟𝑋(𝑝𝑟)) ∈ 𝐾)
88 disjdif 3992 . . . . . . . . . . 11 ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∩ (𝑁 ∖ {𝐼})) = ∅)
90 undif 4001 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐼} ⊆ 𝑁 ↔ ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁)
9139, 90sylib 207 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})) = 𝑁)
9291eqcomd 2616 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑁 = ({𝐼} ∪ (𝑁 ∖ {𝐼})))
9363, 82, 66, 26, 87, 89, 92gsummptfidmsplit 18102 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))
94 cmnmnd 17980 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9566, 94syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
9685adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑋:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
9796, 5, 14fovrnd 6682 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝐼𝑋(𝑝𝐼)) ∈ 𝐾)
98 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝐼𝑟 = 𝐼)
99 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝐼 → (𝑝𝑟) = (𝑝𝐼))
10098, 99oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑋(𝑝𝑟)) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
10163, 100gsumsn 18126 . . . . . . . . . . 11 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑁 ∧ (𝐼𝑋(𝑝𝐼)) ∈ 𝐾) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
10295, 5, 97, 101syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑋(𝑝𝐼)))
103 mdetrsca.ne . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)) = (𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁)))
104103oveqd 6544 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)))
105104ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)))
106 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}))
10770, 73sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑝𝑟) ∈ 𝑁)
108 ovres 6676 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))
109106, 107, 108syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑋 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))
110 ovres 6676 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ∧ (𝑝𝑟) ∈ 𝑁) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))
111106, 107, 110syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟(𝑍 ↾ ((𝑁 ∖ {𝐼}) × 𝑁))(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))
112105, 109, 1113eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → (𝑟𝑋(𝑝𝑟)) = (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))
113112mpteq2dva 4667 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))) = (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))
114113oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))
115102, 114oveq12d 6545 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) = ((𝐼𝑋(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
11693, 115eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = ((𝐼𝑋(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
11763, 82, 66, 26, 74, 89, 92gsummptfidmsplit 18102 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
11898, 99oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝐼 → (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
11963, 118gsumsn 18126 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑁 ∧ (𝐼𝑍(𝑝𝐼)) ∈ 𝐾) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
12095, 5, 61, 119syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = (𝐼𝑍(𝑝𝐼)))
121120oveq1d 6542 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ {𝐼} ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((𝐼𝑍(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
122117, 121eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) = ((𝐼𝑍(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
123122oveq2d 6543 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((𝐼𝑍(𝑝𝐼)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
12481, 116, 1233eqtr4d 2654 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))) = (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
125124oveq2d 6543 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
12657adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑅 ∈ CRing)
127 zrhpsgnmhm 19697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
12859, 25, 127syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
1299, 63mhmf 17112 . . . . . . . . . . 11 (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)) ∈ ((SymGrp‘𝑁) MndHom (mulGrp‘𝑅)) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁)):(Base‘(SymGrp‘𝑁))⟶𝐾)
131130ffvelrnda 6252 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾)
13232, 78crngcom 18334 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾𝑌𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) = (𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)))
133126, 131, 30, 132syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) = (𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)))
134133oveq1d 6542 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
13574ralrimiva 2949 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ∀𝑟𝑁 (𝑟𝑍(𝑝𝑟)) ∈ 𝐾)
13663, 66, 26, 135gsummptcl 18138 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ 𝐾)
13732, 78ringass 18336 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾𝑌𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ 𝐾)) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
13860, 131, 30, 136, 137syl13anc 1320 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → (((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · 𝑌) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
13932, 78ringass 18336 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑌𝐾 ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ 𝐾)) → ((𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
14060, 30, 131, 136, 139syl13anc 1320 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((𝑌 · (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
141134, 138, 1403eqtr3d 2652 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · (𝑌 · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
142125, 141eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))) = (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))
143142mpteq2dva 4667 . . . 4 (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))))
144143oveq2d 6543 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))))
145 eqid 2610 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
146 eqid 2610 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
1478, 9symgbasfi 17578 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
14825, 147syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ Fin)
14932, 78ringcl 18333 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) ∈ 𝐾 ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))) ∈ 𝐾) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) ∈ 𝐾)
15060, 131, 136, 149syl3anc 1318 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) ∈ 𝐾)
151 eqid 2610 . . . . 5 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))
152 ovex 6555 . . . . . 6 ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) ∈ V
153152a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))) ∈ V)
154 fvex 6098 . . . . . 6 (0g𝑅) ∈ V
155154a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
156151, 148, 153, 155fsuppmptdm 8147 . . . 4 (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))) finSupp (0g𝑅))
15732, 145, 146, 78, 59, 148, 29, 150, 156gsummulc2 18379 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ (𝑌 · ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))))
158144, 157eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))))
159 mdetrsca.d . . . 4 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
160 eqid 2610 . . . 4 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
161 eqid 2610 . . . 4 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
162159, 21, 22, 9, 160, 161, 78, 62mdetleib2 20161 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑋𝐵) → (𝐷𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))))
16357, 20, 162syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝐷𝑋) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑋(𝑝𝑟))))))))
164159, 21, 22, 9, 160, 161, 78, 62mdetleib2 20161 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑍𝐵) → (𝐷𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))))
16557, 31, 164syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝑍) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟))))))))
166165oveq2d 6543 . 2 (𝜑 → (𝑌 · (𝐷𝑍)) = (𝑌 · (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑟𝑁 ↦ (𝑟𝑍(𝑝𝑟)))))))))
167158, 163, 1663eqtr4d 2654 1 (𝜑 → (𝐷𝑋) = (𝑌 · (𝐷𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  cdif 3537  cun 3538  cin 3539  wss 3540  c0 3874  {csn 4125  cop 4131  cmpt 4638   × cxp 5026  cres 5030  ccom 5032   Fn wfn 5785  wf 5786  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6771  𝑚 cmap 7722  Fincfn 7819  Basecbs 15644  +gcplusg 15717  .rcmulr 15718  0gc0g 15872   Σg cgsu 15873  Mndcmnd 17066   MndHom cmhm 17105  SymGrpcsymg 17569  pmSgncpsgn 17681  CMndccmn 17965  mulGrpcmgp 18261  Ringcrg 18319  CRingccrg 18320  ℤRHomczrh 19615   Mat cmat 19980   maDet cmdat 20157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-xor 1457  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-tpos 7217  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-sup 8209  df-oi 8276  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-rp 11668  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-word 13103  df-lsw 13104  df-concat 13105  df-s1 13106  df-substr 13107  df-splice 13108  df-reverse 13109  df-s2 13393  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-prds 15880  df-pws 15882  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-mhm 17107  df-submnd 17108  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-mulg 17313  df-subg 17363  df-ghm 17430  df-gim 17473  df-cntz 17522  df-oppg 17548  df-symg 17570  df-pmtr 17634  df-psgn 17683  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-cring 18322  df-oppr 18395  df-dvdsr 18413  df-unit 18414  df-invr 18444  df-dvr 18455  df-rnghom 18487  df-drng 18521  df-subrg 18550  df-sra 18942  df-rgmod 18943  df-cnfld 19517  df-zring 19587  df-zrh 19619  df-dsmm 19843  df-frlm 19858  df-mat 19981  df-mdet 20158
This theorem is referenced by:  mdetrsca2  20177  mdetuni0  20194  mdetmul  20196  smadiadetg  20246
  Copyright terms: Public domain W3C validator