MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddprm 15450
Description: A prime not equal to 2 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
oddprm (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem oddprm
StepHypRef Expression
1 eldifi 3715 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ ℙ)
2 prmz 15324 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 eldifsni 4294 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ≠ 2)
54necomd 2845 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑁)
65neneqd 2795 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 = 𝑁)
7 2z 11361 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
8 uzid 11654 . . . . . . 7 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6 2 ∈ (ℤ‘2)
10 dvdsprm 15350 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ 2 = 𝑁))
119, 1, 10sylancr 694 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 ∥ 𝑁 ↔ 2 = 𝑁))
126, 11mtbird 315 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
13 1z 11359 . . . . 5 1 ∈ ℤ
14 n2dvds1 15039 . . . . 5 ¬ 2 ∥ 1
15 omoe 15023 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
1613, 14, 15mpanr12 720 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
173, 12, 16syl2anc 692 . . 3 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
18 prmnn 15323 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
19 nnm1nn0 11286 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
201, 18, 193syl 18 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
21 nn0z 11352 . . . 4 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
22 2ne0 11065 . . . . 5 2 ≠ 0
23 dvdsval2 14921 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
247, 22, 23mp3an12 1411 . . . 4 ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
2520, 21, 243syl 18 . . 3 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
2617, 25mpbid 222 . 2 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
27 prmuz2 15343 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
28 uz2m1nn 11715 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
29 nnre 10979 . . . 4 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
30 nngt0 11001 . . . 4 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → 0 < (𝑁 − 1))
31 2re 11042 . . . . 5 2 ∈ ℝ
32 2pos 11064 . . . . 5 0 < 2
33 divgt0 10843 . . . . 5 ((((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 − 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < ((𝑁 − 1) / 2))
3431, 32, 33mpanr12 720 . . . 4 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 − 1)) → 0 < ((𝑁 − 1) / 2))
3529, 30, 34syl2anc 692 . . 3 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → 0 < ((𝑁 − 1) / 2))
361, 27, 28, 354syl 19 . 2 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 0 < ((𝑁 − 1) / 2))
37 elnnz 11339 . 2 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 − 1) / 2)))
3826, 36, 37sylanbrc 697 1 (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3556  {csn 4153   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  cr 9887  0cc0 9888  1c1 9889   < clt 10026  cmin 10218   / cdiv 10636  cn 10972  2c2 11022  0cn0 11244  cz 11329  cuz 11639  cdvds 14918  cprime 15320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-dvds 14919  df-prm 15321
This theorem is referenced by:  nnoddn2prm  15451  4sqlem19  15602  lgslem1  24939  lgslem4  24942  lgsval2lem  24949  lgsvalmod  24958  lgsmod  24965  lgsdirprm  24973  lgsne0  24977  lgsqrlem1  24988  lgsqrlem2  24989  lgsqrlem3  24990  lgsqrlem4  24991  gausslemma2dlem4  25011  lgseisenlem1  25017  lgseisenlem2  25018  lgseisenlem4  25020  lgseisen  25021  lgsquadlem1  25022  lgsquadlem2  25023  lgsquadlem3  25024  m1lgs  25030  2lgslem2  25037  fmtnoprmfac2  40804
  Copyright terms: Public domain W3C validator