Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgseisenlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgseisenlem4 25003
 Description: Lemma for lgseisen 25004. The function 𝑀 is an injection (and hence a bijection by the pigeonhole principle). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3 (𝜑𝑃𝑄)
lgseisen.4 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
lgseisen.5 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
lgseisen.6 𝑆 = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)
lgseisen.7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgseisen.8 𝐺 = (mulGrp‘𝑌)
lgseisen.9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem4 (𝜑 → ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) mod 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐿   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑀   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑌   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐿(𝑦)   𝑀(𝑥)   𝑌(𝑦)

Proof of Theorem lgseisenlem4
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 19743 . . . . 5 ℤ = (Base‘ℤring)
2 zring0 19747 . . . . 5 0 = (0g‘ℤring)
3 zringabl 19741 . . . . . 6 ring ∈ Abel
4 ablcmn 18120 . . . . . 6 (ℤring ∈ Abel → ℤring ∈ CMnd)
53, 4mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ℤring ∈ CMnd)
6 lgseisen.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
76eldifad 3567 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
8 lgseisen.7 . . . . . . . . . 10 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
98znfld 19828 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ Field)
11 isfld 18677 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Field ↔ (𝑌 ∈ DivRing ∧ 𝑌 ∈ CRing))
1211simprbi 480 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ CRing)
1310, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
14 lgseisen.8 . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑌)
1514crngmgp 18476 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
17 cmnmnd 18129 . . . . . 6 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
19 fzfid 12712 . . . . 5 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
20 m1expcl 12823 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
2120adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
22 eqidd 2622 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)))
23 crngring 18479 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
2413, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
25 lgseisen.9 . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2625zrhrhm 19779 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
2724, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
28 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
291, 28rhmf 18647 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
3027, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
3130feqmptd 6206 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑥)))
32 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑥 = (-1↑𝑘) → (𝐿𝑥) = (𝐿‘(-1↑𝑘)))
3321, 22, 31, 32fmptco 6351 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 ∘ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝐿‘(-1↑𝑘))))
34 zringmpg 19759 . . . . . . . . 9 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
3534, 14rhmmhm 18643 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom 𝐺))
3627, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom 𝐺))
37 neg1cn 11068 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
38 neg1ne0 11070 . . . . . . . . . . 11 -1 ≠ 0
39 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
40 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
4139, 40expghm 19763 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
4237, 38, 41mp2an 707 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
43 ghmmhm 17591 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
45 cnring 19687 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
46 cnfldbas 19669 . . . . . . . . . . . 12 ℂ = (Base‘ℂfld)
47 cnfld0 19689 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘ℂfld)
48 cndrng 19694 . . . . . . . . . . . 12 fld ∈ DivRing
4946, 47, 48drngui 18674 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
5049, 39unitsubm 18591 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
5145, 50ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
5240resmhm2 17281 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))) → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
5344, 51, 52mp2an 707 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom (mulGrp‘ℂfld))
54 zsubrg 19718 . . . . . . . . . 10 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5539subrgsubm 18714 . . . . . . . . . 10 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
57 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘))
5821, 57fmptd 6340 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)):ℤ⟶ℤ)
59 frn 6010 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)):ℤ⟶ℤ → ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ⊆ ℤ)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ⊆ ℤ)
61 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
6261resmhm2b 17282 . . . . . . . . 9 ((ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ⊆ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))))
6356, 60, 62sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))))
6453, 63mpbii 223 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
65 mhmco 17283 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom 𝐺) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))) → (𝐿 ∘ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘))) ∈ (ℤring MndHom 𝐺))
6636, 64, 65syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 ∘ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘))) ∈ (ℤring MndHom 𝐺))
6733, 66eqeltrrd 2699 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝐿‘(-1↑𝑘))) ∈ (ℤring MndHom 𝐺))
68 lgseisen.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
6968eldifad 3567 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℙ)
70 prmnn 15312 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
7271nnred 10979 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
73 prmnn 15312 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
747, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
7572, 74nndivred 11013 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
7675adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
77 2nn 11129 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
78 elfznn 12312 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
7978adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℕ)
80 nnmulcl 10987 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
8177, 79, 80sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
8281nnred 10979 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
8376, 82remulcld 10014 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
8483flcld 12539 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ)
85 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))
86 fvex 6158 . . . . . . 7 (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ V
8786a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ V)
88 c0ex 9978 . . . . . . 7 0 ∈ V
8988a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ V)
9085, 19, 87, 89fsuppmptdm 8230 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) finSupp 0)
91 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑘 = (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) → (-1↑𝑘) = (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
9291fveq2d 6152 . . . . 5 (𝑘 = (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) → (𝐿‘(-1↑𝑘)) = (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
93 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑘 = (ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) → (-1↑𝑘) = (-1↑(ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
9493fveq2d 6152 . . . . 5 (𝑘 = (ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) → (𝐿‘(-1↑𝑘)) = (𝐿‘(-1↑(ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))))
951, 2, 5, 18, 19, 67, 84, 90, 92, 94gsummhm2 18260 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))) = (𝐿‘(-1↑(ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))))
9614, 28mgpbas 18416 . . . . . . 7 (Base‘𝑌) = (Base‘𝐺)
97 eqid 2621 . . . . . . . 8 (.r𝑌) = (.r𝑌)
9814, 97mgpplusg 18414 . . . . . . 7 (.r𝑌) = (+g𝐺)
9930adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
100 m1expcl 12823 . . . . . . . . 9 ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ → (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ)
10184, 100syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ)
10299, 101ffvelrnd 6316 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) ∈ (Base‘𝑌))
103 neg1z 11357 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℤ
104 lgseisen.4 . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
10569adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℙ)
106 prmz 15313 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℤ)
10881nnzd 11425 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
109107, 108zmulcld 11432 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ)
1107adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℙ)
111110, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
112109, 111zmodcld 12631 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
113104, 112syl5eqel 2702 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
114 zexpcl 12815 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
115103, 113, 114sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
116115, 107zmulcld 11432 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑄) ∈ ℤ)
11799, 116ffvelrnd 6316 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)) ∈ (Base‘𝑌))
118 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
119 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))
12096, 98, 16, 19, 102, 117, 118, 119gsummptfidmadd2 18247 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))))
121 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
122 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))
12319, 102, 117, 121, 122offval2 6867 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))(.r𝑌)(𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))))
12427adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
125 zringmulr 19746 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r‘ℤring)
1261, 125, 97rhmmul 18648 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑅) · 𝑄) ∈ ℤ) → (𝐿‘((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · ((-1↑𝑅) · 𝑄))) = ((𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))(.r𝑌)(𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))
127124, 101, 116, 126syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · ((-1↑𝑅) · 𝑄))) = ((𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))(.r𝑌)(𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))
128109zred 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
129111nnrpd 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
130 modval 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃)))))
131128, 129, 130syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃)))))
132104, 131syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃)))))
133107zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℂ)
13481nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
135111nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℂ)
136111nnne0d 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ≠ 0)
137133, 134, 135, 136div23d 10782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃) = ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))
138137fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (⌊‘((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃)) = (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))
139138oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 · (⌊‘((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃))) = (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
140139oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃)))) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
141132, 140eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
142141oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 𝑅) = ((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
143 prmz 15313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
144110, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
145144, 84zmulcld 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ)
146145zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℂ)
147109zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℂ)
148146, 147pncan3d 10339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) = (𝑄 · (2 · 𝑥)))
149 2cnd 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℂ)
15079nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℂ)
151133, 149, 150mul12d 10189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) = (2 · (𝑄 · 𝑥)))
152142, 148, 1513eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 𝑅) = (2 · (𝑄 · 𝑥)))
153152oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 𝑅)) = (-1↑(2 · (𝑄 · 𝑥))))
15437a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -1 ∈ ℂ)
15538a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -1 ≠ 0)
156113nn0zd 11424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℤ)
157 expaddz 12844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ)) → (-1↑((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 𝑅)) = ((-1↑(𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) · (-1↑𝑅)))
158154, 155, 145, 156, 157syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 𝑅)) = ((-1↑(𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) · (-1↑𝑅)))
159 expmulz 12846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = ((-1↑𝑃)↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
160154, 155, 144, 84, 159syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑(𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = ((-1↑𝑃)↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
161 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 1 ∈ ℂ)
162 eldifsni 4289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
1636, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑃 ≠ 2)
164163necomd 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 2 ≠ 𝑃)
165164neneqd 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ¬ 2 = 𝑃)
166165adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 2 = 𝑃)
167 2z 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℤ
168 uzid 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
169167, 168ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ (ℤ‘2)
170 dvdsprm 15339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
171169, 110, 170sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
172166, 171mtbird 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
173 oexpneg 14993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (-1↑𝑃) = -(1↑𝑃))
174161, 111, 172, 173syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑃) = -(1↑𝑃))
175 1exp 12829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℤ → (1↑𝑃) = 1)
176144, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1↑𝑃) = 1)
177176negeqd 10219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -(1↑𝑃) = -1)
178174, 177eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑃) = -1)
179178oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑃)↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) = (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
180160, 179eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑(𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
181180oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑(𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) · (-1↑𝑅)) = ((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · (-1↑𝑅)))
182158, 181eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 𝑅)) = ((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · (-1↑𝑅)))
183 nnmulcl 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑄 · 𝑥) ∈ ℕ)
18471, 78, 183syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · 𝑥) ∈ ℕ)
185184nnnn0d 11295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · 𝑥) ∈ ℕ0)
186 2nn0 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ0
187186a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℕ0)
188154, 185, 187expmuld 12951 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑(2 · (𝑄 · 𝑥))) = ((-1↑2)↑(𝑄 · 𝑥)))
189 neg1sqe1 12899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1↑2) = 1
190189oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1↑2)↑(𝑄 · 𝑥)) = (1↑(𝑄 · 𝑥))
191184nnzd 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · 𝑥) ∈ ℤ)
192 1exp 12829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑄 · 𝑥) ∈ ℤ → (1↑(𝑄 · 𝑥)) = 1)
193191, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1↑(𝑄 · 𝑥)) = 1)
194190, 193syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑2)↑(𝑄 · 𝑥)) = 1)
195188, 194eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑(2 · (𝑄 · 𝑥))) = 1)
196153, 182, 1953eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · (-1↑𝑅)) = 1)
197196oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · (-1↑𝑅)) · 𝑄) = (1 · 𝑄))
198101zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℂ)
199115zcnd 11427 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℂ)
200198, 199, 133mulassd 10007 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · (-1↑𝑅)) · 𝑄) = ((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · ((-1↑𝑅) · 𝑄)))
201133mulid2d 10002 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1 · 𝑄) = 𝑄)
202197, 200, 2013eqtr3d 2663 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · ((-1↑𝑅) · 𝑄)) = 𝑄)
203202fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · ((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝐿𝑄))
204127, 203eqtr3d 2657 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))(.r𝑌)(𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝐿𝑄))
205204mpteq2dva 4704 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))(.r𝑌)(𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄)))
206123, 205eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄)))
207206oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄))))
208 lgseisen.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝑄)
209 lgseisen.5 . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
210 lgseisen.6 . . . . . . . 8 𝑆 = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)
2116, 68, 208, 104, 209, 210, 8, 14, 25lgseisenlem3 25002 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (1r𝑌))
212211oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))(.r𝑌)(1r𝑌)))
213120, 207, 2123eqtr3rd 2664 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))(.r𝑌)(1r𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄))))
214 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
215102, 118fmptd 6340 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))):(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(Base‘𝑌))
216 fvex 6158 . . . . . . . . 9 (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) ∈ V
217216a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) ∈ V)
218 fvex 6158 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) ∈ V
219218a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ V)
220118, 19, 217, 219fsuppmptdm 8230 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) finSupp (0g𝐺))
22196, 214, 16, 19, 215, 220gsumcl 18237 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))) ∈ (Base‘𝑌))
222 eqid 2621 . . . . . . 7 (1r𝑌) = (1r𝑌)
22328, 97, 222ringridm 18493 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))(.r𝑌)(1r𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))))
22424, 221, 223syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))(.r𝑌)(1r𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))))
22569, 106syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
22630, 225ffvelrnd 6316 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿𝑄) ∈ (Base‘𝑌))
227 eqid 2621 . . . . . . . 8 (.g𝐺) = (.g𝐺)
22896, 227gsumconst 18255 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin ∧ (𝐿𝑄) ∈ (Base‘𝑌)) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄))) = ((#‘(1...((𝑃 − 1) / 2)))(.g𝐺)(𝐿𝑄)))
22918, 19, 226, 228syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄))) = ((#‘(1...((𝑃 − 1) / 2)))(.g𝐺)(𝐿𝑄)))
230 oddprm 15439 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
2316, 230syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
232231nnnn0d 11295 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
233 hashfz1 13074 . . . . . . . 8 (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (#‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
234232, 233syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
235234oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘(1...((𝑃 − 1) / 2)))(.g𝐺)(𝐿𝑄)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g𝐺)(𝐿𝑄)))
23634, 1mgpbas 18416 . . . . . . . . 9 ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
237 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
238236, 237, 227mhmmulg 17504 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom 𝐺) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℤ) → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑄)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g𝐺)(𝐿𝑄)))
23936, 232, 225, 238syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑄)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g𝐺)(𝐿𝑄)))
24056a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
241 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
242241, 61, 237submmulg 17507 . . . . . . . . . 10 ((ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑄) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑄))
243240, 232, 225, 242syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑄) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑄))
244225zcnd 11427 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
245 cnfldexp 19698 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑄) = (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)))
246244, 232, 245syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑄) = (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)))
247243, 246eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑄) = (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)))
248247fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑄)) = (𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))))
249239, 248eqtr3d 2657 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g𝐺)(𝐿𝑄)) = (𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))))
250229, 235, 2493eqtrd 2659 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄))) = (𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))))
251213, 224, 2503eqtr3d 2663 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))) = (𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))))
252 subrgsubg 18707 . . . . . . . . . 10 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
25354, 252ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
254 subgsubm 17537 . . . . . . . . 9 (ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
255253, 254mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℤ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
25684, 85fmptd 6340 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))):(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶ℤ)
257 df-zring 19738 . . . . . . . 8 ring = (ℂflds ℤ)
25819, 255, 256, 257gsumsubm 17294 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = (ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
25984zcnd 11427 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℂ)
26019, 259gsumfsum 19732 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))
261258, 260eqtr3d 2657 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))
262261oveq2d 6620 . . . . 5 (𝜑 → (-1↑(ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) = (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
263262fveq2d 6152 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(-1↑(ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))) = (𝐿‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
26495, 251, 2633eqtr3d 2663 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
26574nnnn0d 11295 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
266 zexpcl 12815 . . . . 5 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
267225, 232, 266syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
26819, 84fsumzcl 14399 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ)
269 m1expcl 12823 . . . . 5 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ → (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ)
270268, 269syl 17 . . . 4 (𝜑 → (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ)
2718, 25zndvds 19817 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) − (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
272265, 267, 270, 271syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → ((𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) − (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
273264, 272mpbid 222 . 2 (𝜑𝑃 ∥ ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) − (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
274 moddvds 14915 . . 3 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ) → (((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) − (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
27574, 267, 270, 274syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → (((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) − (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
276273, 275mpbird 247 1 (𝜑 → ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) mod 𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3186   ∖ cdif 3552   ⊆ wss 3555  {csn 4148   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  ran crn 5075   ∘ ccom 5078  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ∘𝑓 cof 6848  Fincfn 7899  ℂcc 9878  ℝcr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   − cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  ℕcn 10964  2c2 11014  ℕ0cn0 11236  ℤcz 11321  ℤ≥cuz 11631  ℝ+crp 11776  ...cfz 12268  ⌊cfl 12531   mod cmo 12608  ↑cexp 12800  #chash 13057  Σcsu 14350   ∥ cdvds 14907  ℙcprime 15309  Basecbs 15781   ↾s cress 15782  .rcmulr 15863  0gc0g 16021   Σg cgsu 16022  Mndcmnd 17215   MndHom cmhm 17254  SubMndcsubmnd 17255  .gcmg 17461  SubGrpcsubg 17509   GrpHom cghm 17578  CMndccmn 18114  Abelcabl 18115  mulGrpcmgp 18410  1rcur 18422  Ringcrg 18468  CRingccrg 18469   RingHom crh 18633  DivRingcdr 18668  Fieldcfield 18669  SubRingcsubrg 18697  ℂfldccnfld 19665  ℤringzring 19737  ℤRHomczrh 19767  ℤ/nℤczn 19770 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-imas 16089  df-qus 16090  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-nsg 17513  df-eqg 17514  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-rnghom 18636  df-drng 18670  df-field 18671  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-lidl 19093  df-rsp 19094  df-2idl 19151  df-nzr 19177  df-rlreg 19202  df-domn 19203  df-idom 19204  df-cnfld 19666  df-zring 19738  df-zrh 19771  df-zn 19774 This theorem is referenced by:  lgseisen  25004
 Copyright terms: Public domain W3C validator