MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgseisenlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgseisenlem4 25302
Description: Lemma for lgseisen 25303. The function 𝑀 is an injection (and hence a bijection by the pigeonhole principle). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3 (𝜑𝑃𝑄)
lgseisen.4 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
lgseisen.5 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
lgseisen.6 𝑆 = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)
lgseisen.7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgseisen.8 𝐺 = (mulGrp‘𝑌)
lgseisen.9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem4 (𝜑 → ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) mod 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐿   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑀   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑌   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐿(𝑦)   𝑀(𝑥)   𝑌(𝑦)

Proof of Theorem lgseisenlem4
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zringbas 20026 . . . . 5 ℤ = (Base‘ℤring)
2 zring0 20030 . . . . 5 0 = (0g‘ℤring)
3 zringabl 20024 . . . . . 6 ring ∈ Abel
4 ablcmn 18399 . . . . . 6 (ℤring ∈ Abel → ℤring ∈ CMnd)
53, 4mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ℤring ∈ CMnd)
6 lgseisen.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
76eldifad 3727 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
8 lgseisen.7 . . . . . . . . . 10 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
98znfld 20111 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ Field)
11 isfld 18958 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Field ↔ (𝑌 ∈ DivRing ∧ 𝑌 ∈ CRing))
1211simprbi 483 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ CRing)
1310, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
14 lgseisen.8 . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑌)
1514crngmgp 18755 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
1613, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
17 cmnmnd 18408 . . . . . 6 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
19 fzfid 12966 . . . . 5 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
20 m1expcl 13077 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
2120adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (-1↑𝑘) ∈ ℤ)
22 eqidd 2761 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)))
23 crngring 18758 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
2413, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
25 lgseisen.9 . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2625zrhrhm 20062 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
2724, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
28 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
291, 28rhmf 18928 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
3027, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
3130feqmptd 6411 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑥)))
32 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑥 = (-1↑𝑘) → (𝐿𝑥) = (𝐿‘(-1↑𝑘)))
3321, 22, 31, 32fmptco 6559 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 ∘ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝐿‘(-1↑𝑘))))
34 zringmpg 20042 . . . . . . . . 9 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
3534, 14rhmmhm 18924 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom 𝐺))
3627, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom 𝐺))
37 neg1cn 11316 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
38 neg1ne0 11318 . . . . . . . . . . 11 -1 ≠ 0
39 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
40 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
4139, 40expghm 20046 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
4237, 38, 41mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
43 ghmmhm 17871 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
45 cnring 19970 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
46 cnfldbas 19952 . . . . . . . . . . . 12 ℂ = (Base‘ℂfld)
47 cnfld0 19972 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘ℂfld)
48 cndrng 19977 . . . . . . . . . . . 12 fld ∈ DivRing
4946, 47, 48drngui 18955 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
5049, 39unitsubm 18870 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
5145, 50ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
5240resmhm2 17561 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ∧ (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))) → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
5344, 51, 52mp2an 710 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom (mulGrp‘ℂfld))
54 zsubrg 20001 . . . . . . . . . 10 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5539subrgsubm 18995 . . . . . . . . . 10 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
57 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘))
5821, 57fmptd 6548 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)):ℤ⟶ℤ)
59 frn 6214 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)):ℤ⟶ℤ → ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ⊆ ℤ)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ⊆ ℤ)
61 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
6261resmhm2b 17562 . . . . . . . . 9 ((ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ ran (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ⊆ ℤ) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))))
6356, 60, 62sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom (mulGrp‘ℂfld)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))))
6453, 63mpbii 223 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)))
65 mhmco 17563 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom 𝐺) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘)) ∈ (ℤring MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))) → (𝐿 ∘ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘))) ∈ (ℤring MndHom 𝐺))
6636, 64, 65syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 ∘ (𝑘 ∈ ℤ ↦ (-1↑𝑘))) ∈ (ℤring MndHom 𝐺))
6733, 66eqeltrrd 2840 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℤ ↦ (𝐿‘(-1↑𝑘))) ∈ (ℤring MndHom 𝐺))
68 lgseisen.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
6968eldifad 3727 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℙ)
70 prmnn 15590 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
7169, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
7271nnred 11227 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
73 prmnn 15590 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
747, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
7572, 74nndivred 11261 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
7675adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ)
77 2nn 11377 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
78 elfznn 12563 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
7978adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℕ)
80 nnmulcl 11235 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
8177, 79, 80sylancr 698 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
8281nnred 11227 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
8376, 82remulcld 10262 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
8483flcld 12793 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ)
85 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))
86 fvexd 6364 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ V)
87 c0ex 10226 . . . . . . 7 0 ∈ V
8887a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ V)
8985, 19, 86, 88fsuppmptdm 8451 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) finSupp 0)
90 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑘 = (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) → (-1↑𝑘) = (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
9190fveq2d 6356 . . . . 5 (𝑘 = (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) → (𝐿‘(-1↑𝑘)) = (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
92 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑘 = (ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) → (-1↑𝑘) = (-1↑(ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
9392fveq2d 6356 . . . . 5 (𝑘 = (ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) → (𝐿‘(-1↑𝑘)) = (𝐿‘(-1↑(ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))))
941, 2, 5, 18, 19, 67, 84, 89, 91, 93gsummhm2 18539 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))) = (𝐿‘(-1↑(ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))))
9514, 28mgpbas 18695 . . . . . . 7 (Base‘𝑌) = (Base‘𝐺)
96 eqid 2760 . . . . . . . 8 (.r𝑌) = (.r𝑌)
9714, 96mgpplusg 18693 . . . . . . 7 (.r𝑌) = (+g𝐺)
9830adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
99 m1expcl 13077 . . . . . . . . 9 ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ → (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ)
10084, 99syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ)
10198, 100ffvelrnd 6523 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) ∈ (Base‘𝑌))
102 neg1z 11605 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℤ
103 lgseisen.4 . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
10469adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℙ)
105 prmz 15591 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℤ)
10781nnzd 11673 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
108106, 107zmulcld 11680 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ)
1097adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℙ)
110109, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
111108, 110zmodcld 12885 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
112103, 111syl5eqel 2843 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
113 zexpcl 13069 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
114102, 112, 113sylancr 698 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
115114, 106zmulcld 11680 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑄) ∈ ℤ)
11698, 115ffvelrnd 6523 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)) ∈ (Base‘𝑌))
117 eqid 2760 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
118 eqid 2760 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))
11995, 97, 16, 19, 101, 116, 117, 118gsummptfidmadd2 18526 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))))
120 eqidd 2761 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
121 eqidd 2761 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))
12219, 101, 116, 120, 121offval2 7079 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))(.r𝑌)(𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))))
12327adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
124 zringmulr 20029 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r‘ℤring)
1251, 124, 96rhmmul 18929 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑅) · 𝑄) ∈ ℤ) → (𝐿‘((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · ((-1↑𝑅) · 𝑄))) = ((𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))(.r𝑌)(𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))
126123, 100, 115, 125syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · ((-1↑𝑅) · 𝑄))) = ((𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))(.r𝑌)(𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))
127108zred 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
128110nnrpd 12063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
129 modval 12864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃)))))
130127, 128, 129syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃)))))
131103, 130syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃)))))
132106zcnd 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℂ)
13381nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
134110nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℂ)
135110nnne0d 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ≠ 0)
136132, 133, 134, 135div23d 11030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃) = ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))
137136fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (⌊‘((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃)) = (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))
138137oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 · (⌊‘((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃))) = (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
139138oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 · (2 · 𝑥)) / 𝑃)))) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
140131, 139eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
141140oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 𝑅) = ((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
142 prmz 15591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
143109, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
144143, 84zmulcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ)
145144zcnd 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℂ)
146108zcnd 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℂ)
147145, 146pncan3d 10587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + ((𝑄 · (2 · 𝑥)) − (𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) = (𝑄 · (2 · 𝑥)))
148 2cnd 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℂ)
14979nncnd 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℂ)
150132, 148, 149mul12d 10437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) = (2 · (𝑄 · 𝑥)))
151141, 147, 1503eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 𝑅) = (2 · (𝑄 · 𝑥)))
152151oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 𝑅)) = (-1↑(2 · (𝑄 · 𝑥))))
15337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -1 ∈ ℂ)
15438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -1 ≠ 0)
155112nn0zd 11672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℤ)
156 expaddz 13098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ ((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ)) → (-1↑((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 𝑅)) = ((-1↑(𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) · (-1↑𝑅)))
157153, 154, 144, 155, 156syl22anc 1478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 𝑅)) = ((-1↑(𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) · (-1↑𝑅)))
158 expmulz 13100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ)) → (-1↑(𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = ((-1↑𝑃)↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
159153, 154, 143, 84, 158syl22anc 1478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑(𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = ((-1↑𝑃)↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
160 1cnd 10248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 1 ∈ ℂ)
161 eldifsni 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
1626, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑃 ≠ 2)
163162necomd 2987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 2 ≠ 𝑃)
164163neneqd 2937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ¬ 2 = 𝑃)
165164adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 2 = 𝑃)
166 2z 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℤ
167 uzid 11894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
168166, 167ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ (ℤ‘2)
169 dvdsprm 15617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
170168, 109, 169sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
171165, 170mtbird 314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
172 oexpneg 15271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (-1↑𝑃) = -(1↑𝑃))
173160, 110, 171, 172syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑃) = -(1↑𝑃))
174 1exp 13083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℤ → (1↑𝑃) = 1)
175143, 174syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1↑𝑃) = 1)
176175negeqd 10467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -(1↑𝑃) = -1)
177173, 176eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑃) = -1)
178177oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑃)↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) = (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
179159, 178eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑(𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
180179oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑(𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) · (-1↑𝑅)) = ((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · (-1↑𝑅)))
181157, 180eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑((𝑃 · (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) + 𝑅)) = ((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · (-1↑𝑅)))
182 nnmulcl 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝑄 · 𝑥) ∈ ℕ)
18371, 78, 182syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · 𝑥) ∈ ℕ)
184183nnnn0d 11543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · 𝑥) ∈ ℕ0)
185 2nn0 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ0
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℕ0)
187153, 184, 186expmuld 13205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑(2 · (𝑄 · 𝑥))) = ((-1↑2)↑(𝑄 · 𝑥)))
188 neg1sqe1 13153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1↑2) = 1
189188oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1↑2)↑(𝑄 · 𝑥)) = (1↑(𝑄 · 𝑥))
190183nnzd 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · 𝑥) ∈ ℤ)
191 1exp 13083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑄 · 𝑥) ∈ ℤ → (1↑(𝑄 · 𝑥)) = 1)
192190, 191syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1↑(𝑄 · 𝑥)) = 1)
193189, 192syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑2)↑(𝑄 · 𝑥)) = 1)
194187, 193eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑(2 · (𝑄 · 𝑥))) = 1)
195152, 181, 1943eqtr3d 2802 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · (-1↑𝑅)) = 1)
196195oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · (-1↑𝑅)) · 𝑄) = (1 · 𝑄))
197100zcnd 11675 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℂ)
198114zcnd 11675 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℂ)
199197, 198, 132mulassd 10255 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · (-1↑𝑅)) · 𝑄) = ((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · ((-1↑𝑅) · 𝑄)))
200132mulid2d 10250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1 · 𝑄) = 𝑄)
201196, 199, 2003eqtr3d 2802 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · ((-1↑𝑅) · 𝑄)) = 𝑄)
202201fveq2d 6356 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘((-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) · ((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝐿𝑄))
203126, 202eqtr3d 2796 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))(.r𝑌)(𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝐿𝑄))
204203mpteq2dva 4896 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))(.r𝑌)(𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄)))
205122, 204eqtrd 2794 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄)))
206205oveq2d 6829 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄))))
207 lgseisen.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝑄)
208 lgseisen.5 . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
209 lgseisen.6 . . . . . . . 8 𝑆 = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)
2106, 68, 207, 103, 208, 209, 8, 14, 25lgseisenlem3 25301 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (1r𝑌))
211210oveq2d 6829 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))(.r𝑌)(1r𝑌)))
212119, 206, 2113eqtr3rd 2803 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))(.r𝑌)(1r𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄))))
213 eqid 2760 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
214101, 117fmptd 6548 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))):(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(Base‘𝑌))
215 fvexd 6364 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) ∈ V)
216 fvexd 6364 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ V)
217117, 19, 215, 216fsuppmptdm 8451 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) finSupp (0g𝐺))
21895, 213, 16, 19, 214, 217gsumcl 18516 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))) ∈ (Base‘𝑌))
219 eqid 2760 . . . . . . 7 (1r𝑌) = (1r𝑌)
22028, 96, 219ringridm 18772 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))(.r𝑌)(1r𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))))
22124, 218, 220syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))(.r𝑌)(1r𝑌)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))))
22269, 105syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
22330, 222ffvelrnd 6523 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿𝑄) ∈ (Base‘𝑌))
224 eqid 2760 . . . . . . . 8 (.g𝐺) = (.g𝐺)
22595, 224gsumconst 18534 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin ∧ (𝐿𝑄) ∈ (Base‘𝑌)) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄))) = ((♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2)))(.g𝐺)(𝐿𝑄)))
22618, 19, 223, 225syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄))) = ((♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2)))(.g𝐺)(𝐿𝑄)))
227 oddprm 15717 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
2286, 227syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
229228nnnn0d 11543 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
230 hashfz1 13328 . . . . . . . 8 (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
231229, 230syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝑃 − 1) / 2))
232231oveq1d 6828 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘(1...((𝑃 − 1) / 2)))(.g𝐺)(𝐿𝑄)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g𝐺)(𝐿𝑄)))
23334, 1mgpbas 18695 . . . . . . . . 9 ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
234 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
235233, 234, 224mhmmulg 17784 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom 𝐺) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℤ) → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑄)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g𝐺)(𝐿𝑄)))
23636, 229, 222, 235syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑄)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g𝐺)(𝐿𝑄)))
23756a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
238 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
239238, 61, 234submmulg 17787 . . . . . . . . . 10 ((ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑄) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑄))
240237, 229, 222, 239syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑄) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑄))
241222zcnd 11675 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
242 cnfldexp 19981 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑄) = (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)))
243241, 229, 242syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝑄) = (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)))
244240, 243eqtr3d 2796 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑄) = (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)))
245244fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝑄)) = (𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))))
246236, 245eqtr3d 2796 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g𝐺)(𝐿𝑄)) = (𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))))
247226, 232, 2463eqtrd 2798 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿𝑄))) = (𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))))
248212, 221, 2473eqtr3d 2802 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(-1↑(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))) = (𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))))
249 subrgsubg 18988 . . . . . . . . . 10 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
25054, 249ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
251 subgsubm 17817 . . . . . . . . 9 (ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
252250, 251mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℤ ∈ (SubMnd‘ℂfld))
25384, 85fmptd 6548 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))):(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶ℤ)
254 df-zring 20021 . . . . . . . 8 ring = (ℂflds ℤ)
25519, 252, 253, 254gsumsubm 17574 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = (ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
25684zcnd 11675 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℂ)
25719, 256gsumfsum 20015 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))
258255, 257eqtr3d 2796 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) = Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))
259258oveq2d 6829 . . . . 5 (𝜑 → (-1↑(ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))) = (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))
260259fveq2d 6356 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(-1↑(ℤring Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))) = (𝐿‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
26194, 248, 2603eqtr3d 2802 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
26274nnnn0d 11543 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
263 zexpcl 13069 . . . . 5 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
264222, 229, 263syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
26519, 84fsumzcl 14665 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ)
266 m1expcl 13077 . . . . 5 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ → (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ)
267265, 266syl 17 . . . 4 (𝜑 → (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ)
2688, 25zndvds 20100 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) − (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
269262, 264, 267, 268syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → ((𝐿‘(𝑄↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘(-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) − (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
270261, 269mpbid 222 . 2 (𝜑𝑃 ∥ ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) − (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥))))))
271 moddvds 15193 . . 3 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) ∈ ℤ) → (((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) − (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
27274, 264, 267, 271syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → (((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) − (-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))))))
273270, 272mpbird 247 1 (𝜑 → ((𝑄↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((-1↑Σ𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑥)))) mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  cdif 3712  wss 3715  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ran crn 5267  ccom 5270  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑓 cof 7060  Fincfn 8121  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  +crp 12025  ...cfz 12519  cfl 12785   mod cmo 12862  cexp 13054  chash 13311  Σcsu 14615  cdvds 15182  cprime 15587  Basecbs 16059  s cress 16060  .rcmulr 16144  0gc0g 16302   Σg cgsu 16303  Mndcmnd 17495   MndHom cmhm 17534  SubMndcsubmnd 17535  .gcmg 17741  SubGrpcsubg 17789   GrpHom cghm 17858  CMndccmn 18393  Abelcabl 18394  mulGrpcmgp 18689  1rcur 18701  Ringcrg 18747  CRingccrg 18748   RingHom crh 18914  DivRingcdr 18949  Fieldcfield 18950  SubRingcsubrg 18978  fldccnfld 19948  ringzring 20020  ℤRHomczrh 20050  ℤ/nczn 20053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-imas 16370  df-qus 16371  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-nsg 17793  df-eqg 17794  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-rnghom 18917  df-drng 18951  df-field 18952  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-lidl 19376  df-rsp 19377  df-2idl 19434  df-nzr 19460  df-rlreg 19485  df-domn 19486  df-idom 19487  df-cnfld 19949  df-zring 20021  df-zrh 20054  df-zn 20057
This theorem is referenced by:  lgseisen  25303
  Copyright terms: Public domain W3C validator