MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quart1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quart1cl 24494
Description: Closure lemmas for quart 24501. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quart1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quart1.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quart1.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
quart1.p (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart1.q (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart1.r (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
Assertion
Ref Expression
quart1cl (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))

Proof of Theorem quart1cl
StepHypRef Expression
1 quart1.p . . 3 (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
2 quart1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 3cn 11046 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
4 8cn 11057 . . . . . 6 8 ∈ ℂ
5 8nn 11142 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ
65nnne0i 11006 . . . . . 6 8 ≠ 0
73, 4, 6divcli 10718 . . . . 5 (3 / 8) ∈ ℂ
8 quart1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
98sqcld 12953 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
10 mulcl 9971 . . . . 5 (((3 / 8) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
117, 9, 10sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → ((3 / 8) · (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
122, 11subcld 10343 . . 3 (𝜑 → (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
131, 12eqeltrd 2698 . 2 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
14 quart1.q . . 3 (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
15 quart1.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
168, 2mulcld 10011 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
1716halfcld 11228 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
1815, 17subcld 10343 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
19 3nn0 11261 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
20 expcl 12825 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
218, 19, 20sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
224a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 8 ∈ ℂ)
236a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 8 ≠ 0)
2421, 22, 23divcld 10752 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴↑3) / 8) ∈ ℂ)
2518, 24addcld 10010 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)) ∈ ℂ)
2614, 25eqeltrd 2698 . 2 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
27 quart1.r . . 3 (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
28 quart1.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2915, 8mulcld 10011 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℂ)
30 4cn 11049 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
32 4ne0 11068 . . . . . . 7 4 ≠ 0
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 4 ≠ 0)
3429, 31, 33divcld 10752 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) / 4) ∈ ℂ)
3528, 34subcld 10343 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) ∈ ℂ)
369, 2mulcld 10011 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
37 1nn0 11259 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
38 6nn 11140 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
3937, 38decnncl 11469 . . . . . . . 8 16 ∈ ℕ
4039nncni 10981 . . . . . . 7 16 ∈ ℂ
4140a1i 11 . . . . . 6 (𝜑16 ∈ ℂ)
4239nnne0i 11006 . . . . . . 7 16 ≠ 0
4342a1i 11 . . . . . 6 (𝜑16 ≠ 0)
4436, 41, 43divcld 10752 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) ∈ ℂ)
45 2nn0 11260 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
46 5nn0 11263 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
4745, 46deccl 11463 . . . . . . . . 9 25 ∈ ℕ0
4847, 38decnncl 11469 . . . . . . . 8 256 ∈ ℕ
4948nncni 10981 . . . . . . 7 256 ∈ ℂ
5048nnne0i 11006 . . . . . . 7 256 ≠ 0
513, 49, 50divcli 10718 . . . . . 6 (3 / 256) ∈ ℂ
52 4nn0 11262 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
53 expcl 12825 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
548, 52, 53sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
55 mulcl 9971 . . . . . 6 (((3 / 256) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑4) ∈ ℂ) → ((3 / 256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
5651, 54, 55sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → ((3 / 256) · (𝐴↑4)) ∈ ℂ)
5744, 56subcld 10343 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4))) ∈ ℂ)
5835, 57addcld 10010 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))) ∈ ℂ)
5927, 58eqeltrd 2698 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
6013, 26, 593jca 1240 1 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  (class class class)co 6610  cc 9885  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  cmin 10217   / cdiv 10635  2c2 11021  3c3 11022  4c4 11023  5c5 11024  6c6 11025  8c8 11027  0cn0 11243  cdc 11444  cexp 12807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-seq 12749  df-exp 12808
This theorem is referenced by:  quart1  24496  quartlem2  24498  quartlem3  24499  quartlem4  24500  quart  24501
  Copyright terms: Public domain W3C validator