MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos4thpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincos4thpi 24203
Description: The sine and cosine of π / 4. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos4thpi ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))

Proof of Theorem sincos4thpi
StepHypRef Expression
1 halfcn 11207 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℂ
2 ax-1cn 9954 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
3 2halves 11220 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
5 sincosq1eq 24202 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1) → (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
61, 1, 4, 5mp3an 1421 . . . . . . . . 9 (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))
76oveq2i 6626 . . . . . . . 8 ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
87oveq2i 6626 . . . . . . 7 (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
9 2cn 11051 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
10 pire 24148 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
1110recni 10012 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℂ
12 2ne0 11073 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
132, 9, 11, 9, 12, 12divmuldivi 10745 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) · (π / 2)) = ((1 · π) / (2 · 2))
1411mulid2i 10003 . . . . . . . . . . . 12 (1 · π) = π
15 2t2e4 11137 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 2) = 4
1614, 15oveq12i 6627 . . . . . . . . . . 11 ((1 · π) / (2 · 2)) = (π / 4)
1713, 16eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) · (π / 2)) = (π / 4)
1817fveq2i 6161 . . . . . . . . 9 (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (sin‘(π / 4))
1918, 18oveq12i 6627 . . . . . . . 8 ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
2019oveq2i 6626 . . . . . . 7 (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
219, 12recidi 10716 . . . . . . . . . . 11 (2 · (1 / 2)) = 1
2221oveq1i 6625 . . . . . . . . . 10 ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
23 2re 11050 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
2410, 23, 12redivcli 10752 . . . . . . . . . . . 12 (π / 2) ∈ ℝ
2524recni 10012 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℂ
269, 1, 25mulassi 10009 . . . . . . . . . 10 ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (2 · ((1 / 2) · (π / 2)))
2725mulid2i 10003 . . . . . . . . . 10 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
2822, 26, 273eqtr3i 2651 . . . . . . . . 9 (2 · ((1 / 2) · (π / 2))) = (π / 2)
2928fveq2i 6161 . . . . . . . 8 (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (sin‘(π / 2))
301, 25mulcli 10005 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ
31 sin2t 14851 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
33 sinhalfpi 24158 . . . . . . . 8 (sin‘(π / 2)) = 1
3429, 32, 333eqtr3i 2651 . . . . . . 7 (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))) = 1
358, 20, 343eqtr3i 2651 . . . . . 6 (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = 1
3635fveq2i 6161 . . . . 5 (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = (√‘1)
37 4re 11057 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
38 4ne0 11077 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
3910, 37, 38redivcli 10752 . . . . . . . 8 (π / 4) ∈ ℝ
40 resincl 14814 . . . . . . . 8 ((π / 4) ∈ ℝ → (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . 7 (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ
4241, 41remulcli 10014 . . . . . 6 ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) ∈ ℝ
43 0le2 11071 . . . . . 6 0 ≤ 2
4441msqge0i 10526 . . . . . 6 0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
4523, 42, 43, 44sqrtmulii 14076 . . . . 5 (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
46 sqrt1 13962 . . . . 5 (√‘1) = 1
4736, 45, 463eqtr3ri 2652 . . . 4 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
4842sqrtcli 14061 . . . . . . 7 (0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ)
4944, 48ax-mp 5 . . . . . 6 (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ
5049recni 10012 . . . . 5 (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ
51 sqrt2re 14923 . . . . . . 7 (√‘2) ∈ ℝ
5251recni 10012 . . . . . 6 (√‘2) ∈ ℂ
53 sqrt00 13954 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0))
5423, 43, 53mp2an 707 . . . . . . . 8 ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0)
5554necon3bii 2842 . . . . . . 7 ((√‘2) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0)
5612, 55mpbir 221 . . . . . 6 (√‘2) ≠ 0
5752, 56pm3.2i 471 . . . . 5 ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ≠ 0)
58 divmul2 10649 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ ∧ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ≠ 0)) → ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))))
592, 50, 57, 58mp3an 1421 . . . 4 ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))))
6047, 59mpbir 221 . . 3 (1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
61 0re 10000 . . . . 5 0 ∈ ℝ
62 pipos 24150 . . . . . . . 8 0 < π
63 4pos 11076 . . . . . . . 8 0 < 4
6410, 37, 62, 63divgt0ii 10901 . . . . . . 7 0 < (π / 4)
65 1re 9999 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
66 pigt2lt4 24146 . . . . . . . . . . 11 (2 < π ∧ π < 4)
6766simpri 478 . . . . . . . . . 10 π < 4
6810, 37, 37, 63ltdiv1ii 10913 . . . . . . . . . 10 (π < 4 ↔ (π / 4) < (4 / 4))
6967, 68mpbi 220 . . . . . . . . 9 (π / 4) < (4 / 4)
7037recni 10012 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
7170, 38dividi 10718 . . . . . . . . 9 (4 / 4) = 1
7269, 71breqtri 4648 . . . . . . . 8 (π / 4) < 1
7339, 65, 72ltleii 10120 . . . . . . 7 (π / 4) ≤ 1
74 0xr 10046 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
75 elioc2 12194 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1)))
7674, 65, 75mp2an 707 . . . . . . 7 ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1))
7739, 64, 73, 76mpbir3an 1242 . . . . . 6 (π / 4) ∈ (0(,]1)
78 sin01gt0 14864 . . . . . 6 ((π / 4) ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘(π / 4)))
7977, 78ax-mp 5 . . . . 5 0 < (sin‘(π / 4))
8061, 41, 79ltleii 10120 . . . 4 0 ≤ (sin‘(π / 4))
8141sqrtmsqi 14063 . . . 4 (0 ≤ (sin‘(π / 4)) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4)))
8280, 81ax-mp 5 . . 3 (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4))
8360, 82eqtr2i 2644 . 2 (sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
8460, 82eqtri 2643 . . 3 (1 / (√‘2)) = (sin‘(π / 4))
8517fveq2i 6161 . . . 4 (cos‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘(π / 4))
866, 18, 853eqtr3i 2651 . . 3 (sin‘(π / 4)) = (cos‘(π / 4))
8784, 86eqtr2i 2644 . 2 (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
8883, 87pm3.2i 471 1 ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901  *cxr 10033   < clt 10034  cle 10035   / cdiv 10644  2c2 11030  4c4 11032  (,]cioc 12134  csqrt 13923  sincsin 14738  cosccos 14739  πcpi 14741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-sin 14744  df-cos 14745  df-pi 14747  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621  df-limc 23570  df-dv 23571
This theorem is referenced by:  tan4thpi  24204
  Copyright terms: Public domain W3C validator