MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos4thpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincos4thpi 23986
Description: The sine and cosine of π / 4. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos4thpi ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))

Proof of Theorem sincos4thpi
StepHypRef Expression
1 halfcn 11094 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℂ
2 ax-1cn 9850 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
3 2halves 11107 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
5 sincosq1eq 23985 . . . . . . . . . 10 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1) → (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
61, 1, 4, 5mp3an 1415 . . . . . . . . 9 (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))
76oveq2i 6538 . . . . . . . 8 ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))
87oveq2i 6538 . . . . . . 7 (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
9 2cn 10938 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
10 pire 23931 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
1110recni 9908 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℂ
12 2ne0 10960 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
132, 9, 11, 9, 12, 12divmuldivi 10634 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) · (π / 2)) = ((1 · π) / (2 · 2))
1411mulid2i 9899 . . . . . . . . . . . 12 (1 · π) = π
15 2t2e4 11024 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 2) = 4
1614, 15oveq12i 6539 . . . . . . . . . . 11 ((1 · π) / (2 · 2)) = (π / 4)
1713, 16eqtri 2631 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) · (π / 2)) = (π / 4)
1817fveq2i 6091 . . . . . . . . 9 (sin‘((1 / 2) · (π / 2))) = (sin‘(π / 4))
1918, 18oveq12i 6539 . . . . . . . 8 ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2)))) = ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
2019oveq2i 6538 . . . . . . 7 (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (sin‘((1 / 2) · (π / 2))))) = (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
219, 12recidi 10605 . . . . . . . . . . 11 (2 · (1 / 2)) = 1
2221oveq1i 6537 . . . . . . . . . 10 ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (1 · (π / 2))
23 2re 10937 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
2410, 23, 12redivcli 10641 . . . . . . . . . . . 12 (π / 2) ∈ ℝ
2524recni 9908 . . . . . . . . . . 11 (π / 2) ∈ ℂ
269, 1, 25mulassi 9905 . . . . . . . . . 10 ((2 · (1 / 2)) · (π / 2)) = (2 · ((1 / 2) · (π / 2)))
2725mulid2i 9899 . . . . . . . . . 10 (1 · (π / 2)) = (π / 2)
2822, 26, 273eqtr3i 2639 . . . . . . . . 9 (2 · ((1 / 2) · (π / 2))) = (π / 2)
2928fveq2i 6091 . . . . . . . 8 (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (sin‘(π / 2))
301, 25mulcli 9901 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ
31 sin2t 14692 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) · (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 (sin‘(2 · ((1 / 2) · (π / 2)))) = (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2)))))
33 sinhalfpi 23941 . . . . . . . 8 (sin‘(π / 2)) = 1
3429, 32, 333eqtr3i 2639 . . . . . . 7 (2 · ((sin‘((1 / 2) · (π / 2))) · (cos‘((1 / 2) · (π / 2))))) = 1
358, 20, 343eqtr3i 2639 . . . . . 6 (2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = 1
3635fveq2i 6091 . . . . 5 (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = (√‘1)
37 4re 10944 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
38 4ne0 10964 . . . . . . . . 9 4 ≠ 0
3910, 37, 38redivcli 10641 . . . . . . . 8 (π / 4) ∈ ℝ
40 resincl 14655 . . . . . . . 8 ((π / 4) ∈ ℝ → (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . 7 (sin‘(π / 4)) ∈ ℝ
4241, 41remulcli 9910 . . . . . 6 ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) ∈ ℝ
43 0le2 10958 . . . . . 6 0 ≤ 2
4441msqge0i 10415 . . . . . 6 0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))
4523, 42, 43, 44sqrtmulii 13920 . . . . 5 (√‘(2 · ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))) = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
46 sqrt1 13806 . . . . 5 (√‘1) = 1
4736, 45, 463eqtr3ri 2640 . . . 4 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))
4842sqrtcli 13905 . . . . . . 7 (0 ≤ ((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ)
4944, 48ax-mp 5 . . . . . 6 (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℝ
5049recni 9908 . . . . 5 (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ
51 sqrt2re 14764 . . . . . . 7 (√‘2) ∈ ℝ
5251recni 9908 . . . . . 6 (√‘2) ∈ ℂ
53 sqrt00 13798 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0))
5423, 43, 53mp2an 703 . . . . . . . 8 ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0)
5554necon3bii 2833 . . . . . . 7 ((√‘2) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0)
5612, 55mpbir 219 . . . . . 6 (√‘2) ≠ 0
5752, 56pm3.2i 469 . . . . 5 ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ≠ 0)
58 divmul2 10538 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ∈ ℂ ∧ ((√‘2) ∈ ℂ ∧ (√‘2) ≠ 0)) → ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))))))
592, 50, 57, 58mp3an 1415 . . . 4 ((1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) ↔ 1 = ((√‘2) · (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))))
6047, 59mpbir 219 . . 3 (1 / (√‘2)) = (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4))))
61 0re 9896 . . . . 5 0 ∈ ℝ
62 pipos 23933 . . . . . . . 8 0 < π
63 4pos 10963 . . . . . . . 8 0 < 4
6410, 37, 62, 63divgt0ii 10790 . . . . . . 7 0 < (π / 4)
65 1re 9895 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
66 pigt2lt4 23929 . . . . . . . . . . 11 (2 < π ∧ π < 4)
6766simpri 476 . . . . . . . . . 10 π < 4
6810, 37, 37, 63ltdiv1ii 10802 . . . . . . . . . 10 (π < 4 ↔ (π / 4) < (4 / 4))
6967, 68mpbi 218 . . . . . . . . 9 (π / 4) < (4 / 4)
7037recni 9908 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
7170, 38dividi 10607 . . . . . . . . 9 (4 / 4) = 1
7269, 71breqtri 4602 . . . . . . . 8 (π / 4) < 1
7339, 65, 72ltleii 10011 . . . . . . 7 (π / 4) ≤ 1
74 0xr 9942 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
75 elioc2 12063 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1)))
7674, 65, 75mp2an 703 . . . . . . 7 ((π / 4) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 4) ∧ (π / 4) ≤ 1))
7739, 64, 73, 76mpbir3an 1236 . . . . . 6 (π / 4) ∈ (0(,]1)
78 sin01gt0 14705 . . . . . 6 ((π / 4) ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘(π / 4)))
7977, 78ax-mp 5 . . . . 5 0 < (sin‘(π / 4))
8061, 41, 79ltleii 10011 . . . 4 0 ≤ (sin‘(π / 4))
8141sqrtmsqi 13907 . . . 4 (0 ≤ (sin‘(π / 4)) → (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4)))
8280, 81ax-mp 5 . . 3 (√‘((sin‘(π / 4)) · (sin‘(π / 4)))) = (sin‘(π / 4))
8360, 82eqtr2i 2632 . 2 (sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
8460, 82eqtri 2631 . . 3 (1 / (√‘2)) = (sin‘(π / 4))
8517fveq2i 6091 . . . 4 (cos‘((1 / 2) · (π / 2))) = (cos‘(π / 4))
866, 18, 853eqtr3i 2639 . . 3 (sin‘(π / 4)) = (cos‘(π / 4))
8784, 86eqtr2i 2632 . 2 (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2))
8883, 87pm3.2i 469 1 ((sin‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)) ∧ (cos‘(π / 4)) = (1 / (√‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931   / cdiv 10533  2c2 10917  4c4 10919  (,]cioc 12003  csqrt 13767  sincsin 14579  cosccos 14580  πcpi 14582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354
This theorem is referenced by:  tan4thpi  23987
  Copyright terms: Public domain W3C validator