Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqff1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqff1o 24953
 Description: There is a bijection from the squarefree divisors of a number 𝑁 to the powerset of the prime divisors of 𝑁. Among other things, this implies that a number has 2↑𝑘 squarefree divisors where 𝑘 is the number of prime divisors, and a squarefree number has 2↑𝑘 divisors (because all divisors of a squarefree number are squarefree). The inverse function to 𝐹 takes the product of all the primes in some subset of prime divisors of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqff1o.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥𝑁)}
sqff1o.2 𝐹 = (𝑛𝑆 ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
sqff1o.3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
sqff1o (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝑆1-1-onto→𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝑥,𝐺   𝑛,𝑁,𝑝,𝑥   𝑆,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem sqff1o
Dummy variables 𝑘 𝑞 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqff1o.2 . 2 𝐹 = (𝑛𝑆 ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
2 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑛 → (μ‘𝑥) = (μ‘𝑛))
32neeq1d 2882 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑛 → ((μ‘𝑥) ≠ 0 ↔ (μ‘𝑛) ≠ 0))
4 breq1 4688 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥𝑁𝑛𝑁))
53, 4anbi12d 747 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥𝑁) ↔ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)))
6 sqff1o.1 . . . . . . . . 9 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥𝑁)}
75, 6elrab2 3399 . . . . . . . 8 (𝑛𝑆 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)))
87simprbi 479 . . . . . . 7 (𝑛𝑆 → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁))
98simprd 478 . . . . . 6 (𝑛𝑆𝑛𝑁)
109ad2antlr 763 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛𝑁)
11 prmz 15436 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
1211adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
13 simplr 807 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛𝑆)
1413, 7sylib 208 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)))
1514simpld 474 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ)
1615nnzd 11519 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℤ)
17 nnz 11437 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
1817ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 dvdstr 15065 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝𝑛𝑛𝑁) → 𝑝𝑁))
2012, 16, 18, 19syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑛𝑛𝑁) → 𝑝𝑁))
2110, 20mpan2d 710 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑛𝑝𝑁))
2221ss2rabdv 3716 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
23 nnex 11064 . . . . . 6 ℕ ∈ V
24 prmnn 15435 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
2524ssriv 3640 . . . . . 6 ℙ ⊆ ℕ
2623, 25ssexi 4836 . . . . 5 ℙ ∈ V
2726rabex 4845 . . . 4 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ∈ V
2827elpw 4197 . . 3 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
2922, 28sylibr 224 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
30 1nn0 11346 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
31 0nn0 11345 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
3230, 31keepel 4188 . . . . . . . . 9 if(𝑘𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
3332rgenw 2953 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ℙ if(𝑘𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
34 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))
3534fmpt 6421 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ ℙ if(𝑘𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0)
3633, 35mpbi 220 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0
3736a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0)
38 nn0ex 11336 . . . . . . 7 0 ∈ V
3938, 26elmap 7928 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0)
4037, 39sylibr 224 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ (ℕ0𝑚 ℙ))
41 fzfi 12811 . . . . . 6 (1...𝑁) ∈ Fin
42 ffn 6083 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0 → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) Fn ℙ)
43 elpreima 6377 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) Fn ℙ → (𝑥 ∈ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ)))
4436, 42, 43mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ))
45 elequ1 2037 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘𝑧𝑥𝑧))
4645ifbid 4141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘𝑧, 1, 0) = if(𝑥𝑧, 1, 0))
4730, 31keepel 4188 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
4847elexi 3244 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ V
4946, 34, 48fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) = if(𝑥𝑧, 1, 0))
5049eleq1d 2715 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℙ → (((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ ↔ if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ))
5150biimpa 500 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ) → if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ)
5244, 51sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) → if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ)
53 0nnn 11090 . . . . . . . . . . 11 ¬ 0 ∈ ℕ
54 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑧 → if(𝑥𝑧, 1, 0) = 0)
5554eleq1d 2715 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑧 → (if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
5653, 55mtbiri 316 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑧 → ¬ if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ)
5756con4i 113 . . . . . . . . 9 (if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥𝑧)
5852, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) → 𝑥𝑧)
5958ssriv 3640 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ⊆ 𝑧
60 elpwi 4201 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} → 𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
6160adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
62 rabss2 3718 . . . . . . . . . 10 (ℙ ⊆ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑁})
6325, 62ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑁}
64 dvdsssfz1 15087 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ (1...𝑁))
6564adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ (1...𝑁))
6663, 65syl5ss 3647 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ (1...𝑁))
6761, 66sstrd 3646 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑧 ⊆ (1...𝑁))
6859, 67syl5ss 3647 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ⊆ (1...𝑁))
69 ssfi 8221 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ⊆ (1...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
7041, 68, 69sylancr 696 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
71 cnveq 5328 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) → 𝑦 = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))
7271imaeq1d 5500 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) → (𝑦 “ ℕ) = ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ))
7372eleq1d 2715 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) → ((𝑦 “ ℕ) ∈ Fin ↔ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
7473elrab 3396 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
7540, 70, 74sylanbrc 699 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin})
76 sqff1o.3 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
77 eqid 2651 . . . . . . 7 {𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
7876, 771arith 15678 . . . . . 6 𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
79 f1ocnv 6187 . . . . . 6 (𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} → 𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}–1-1-onto→ℕ)
80 f1of 6175 . . . . . 6 (𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}–1-1-onto→ℕ → 𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ)
8178, 79, 80mp2b 10 . . . . 5 𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ
8281ffvelrni 6398 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ)
8375, 82syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ)
84 f1ocnvfv2 6573 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))
8578, 75, 84sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))
86761arithlem1 15674 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ → (𝐺‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))))
8783, 86syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))))
8885, 87eqtr3d 2687 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))))
8988fveq1d 6231 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑞) = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))‘𝑞))
90 elequ1 2037 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑞 → (𝑘𝑧𝑞𝑧))
9190ifbid 4141 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑞 → if(𝑘𝑧, 1, 0) = if(𝑞𝑧, 1, 0))
9230, 31keepel 4188 . . . . . . . . . . 11 if(𝑞𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
9392elexi 3244 . . . . . . . . . 10 if(𝑞𝑧, 1, 0) ∈ V
9491, 34, 93fvmpt 6321 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑞) = if(𝑞𝑧, 1, 0))
9589, 94sylan9req 2706 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))‘𝑞) = if(𝑞𝑧, 1, 0))
96 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
97 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
98 ovex 6718 . . . . . . . . . 10 (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ∈ V
9996, 97, 98fvmpt 6321 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
10099adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
10195, 100eqtr3d 2687 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → if(𝑞𝑧, 1, 0) = (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
102 breq1 4688 . . . . . . . 8 (1 = if(𝑞𝑧, 1, 0) → (1 ≤ 1 ↔ if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ 1))
103 breq1 4688 . . . . . . . 8 (0 = if(𝑞𝑧, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ 1))
104 1le1 10693 . . . . . . . 8 1 ≤ 1
105 0le1 10589 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
106102, 103, 104, 105keephyp 4185 . . . . . . 7 if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ 1
107101, 106syl6eqbrr 4725 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ 1)
108107ralrimiva 2995 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ 1)
109 issqf 24907 . . . . . 6 ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ → ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ 1))
11083, 109syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ 1))
111108, 110mpbird 247 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0)
112 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) = 1)
113112adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → if(𝑞𝑧, 1, 0) = 1)
11461sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
115 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝑁𝑞𝑁))
116115elrab 3396 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁))
117114, 116sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁))
118117simprd 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 𝑞𝑁)
119117simpld 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 𝑞 ∈ ℙ)
120 simpll 805 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 𝑁 ∈ ℕ)
121 pcelnn 15621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑞𝑁))
122119, 120, 121syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → ((𝑞 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑞𝑁))
123118, 122mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → (𝑞 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
124123nnge1d 11101 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 1 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
125113, 124eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
126125ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
127126adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
128 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
12917ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
130 pcge0 15613 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
131128, 129, 130syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
132 iffalse 4128 . . . . . . . . . 10 𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) = 0)
133132breq1d 4695 . . . . . . . . 9 𝑞𝑧 → (if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁) ↔ 0 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
134131, 133syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (¬ 𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
135127, 134pm2.61d 170 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
136101, 135eqbrtrrd 4709 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
137136ralrimiva 2995 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
13883nnzd 11519 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℤ)
13917adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑁 ∈ ℤ)
140 pc2dvds 15630 . . . . . 6 (((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
141138, 139, 140syl2anc 694 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
142137, 141mpbird 247 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁)
143111, 142jca 553 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ∧ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁))
144 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) → (μ‘𝑥) = (μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
145144neeq1d 2882 . . . . 5 (𝑥 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) → ((μ‘𝑥) ≠ 0 ↔ (μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0))
146 breq1 4688 . . . . 5 (𝑥 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) → (𝑥𝑁 ↔ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁))
147145, 146anbi12d 747 . . . 4 (𝑥 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) → (((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥𝑁) ↔ ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ∧ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁)))
148147, 6elrab2 3399 . . 3 ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ ∧ ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ∧ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁)))
14983, 143, 148sylanbrc 699 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ 𝑆)
150 eqcom 2658 . . 3 (𝑛 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ↔ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) = 𝑛)
1517simplbi 475 . . . . . . 7 (𝑛𝑆𝑛 ∈ ℕ)
152151ad2antrl 764 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑛 ∈ ℕ)
15326mptex 6527 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ V
15476fvmpt2 6330 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ V) → (𝐺𝑛) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
155152, 153, 154sylancl 695 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝐺𝑛) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
156155eqeq1d 2653 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝐺𝑛) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))
15778a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin})
15875adantrl 752 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin})
159 f1ocnvfvb 6575 . . . . 5 ((𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐺𝑛) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) = 𝑛))
160157, 152, 158, 159syl3anc 1366 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝐺𝑛) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) = 𝑛))
16126a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ℙ ∈ V)
162 0cnd 10071 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 0 ∈ ℂ)
163 1cnd 10094 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 1 ∈ ℂ)
164 0ne1 11126 . . . . . . . 8 0 ≠ 1
165164a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 0 ≠ 1)
166161, 162, 163, 165pw2f1olem 8105 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑧 ∈ 𝒫 ℙ ∧ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℙ) ∧ 𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}))))
167 ssrab2 3720 . . . . . . . . 9 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ ℙ
168 sspwb 4947 . . . . . . . . 9 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ ℙ ↔ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ 𝒫 ℙ)
169167, 168mpbi 220 . . . . . . . 8 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ 𝒫 ℙ
170 simprr 811 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
171169, 170sseldi 3634 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑧 ∈ 𝒫 ℙ)
172171biantrurd 528 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 ℙ ∧ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
173 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
174151adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ)
175 pccl 15601 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ0)
176173, 174, 175syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ0)
177 elnn0 11332 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 0))
178176, 177sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 0))
179178orcomd 402 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ))
1808simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑆 → (μ‘𝑛) ≠ 0)
181180adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → (μ‘𝑛) ≠ 0)
182 issqf 24907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1))
183174, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1))
184181, 183mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1)
185184r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1)
186 nnle1eq1 11086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ → ((𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
187185, 186syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
188187orim2d 903 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1)))
189179, 188mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
190 ovex 6718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ V
191190elpr 4231 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ {0, 1} ↔ ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
192189, 191sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ {0, 1})
193 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛))
194192, 193fmptd 6425 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)):ℙ⟶{0, 1})
195194adantrr 753 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)):ℙ⟶{0, 1})
196 prex 4939 . . . . . . . . 9 {0, 1} ∈ V
197196, 26elmap 7928 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℙ) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)):ℙ⟶{0, 1})
198195, 197sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℙ))
199198biantrurd 528 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℙ) ∧ 𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}))))
200166, 172, 1993bitr4d 300 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ 𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1})))
201193mptiniseg 5667 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ0 → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1})
20230, 201ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1}
203 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 → (𝑝 pCnt 𝑛) = 1)
204 1nn 11069 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
205203, 204syl6eqel 2738 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ)
206205, 187impbid2 216 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ))
207 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
208 pcelnn 15621 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ↔ 𝑝𝑛))
209207, 15, 208syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ↔ 𝑝𝑛))
210206, 209bitrd 268 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 ↔ 𝑝𝑛))
211210rabbidva 3219 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
212211adantrr 753 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
213202, 212syl5eq 2697 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
214213eqeq2d 2661 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛}))
215200, 214bitrd 268 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛}))
216156, 160, 2153bitr3d 298 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) = 𝑛𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛}))
217150, 216syl5bb 272 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑛 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛}))
2181, 29, 149, 217f1o2d 6929 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝑆1-1-onto→𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  ifcif 4119  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ◡ccnv 5142   “ cima 5146   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   ≤ cle 10113  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ...cfz 12364   ∥ cdvds 15027  ℙcprime 15432   pCnt cpc 15588  μcmu 24866 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-mu 24872 This theorem is referenced by:  musum  24962
 Copyright terms: Public domain W3C validator