MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqff1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqff1o 24653
Description: There is a bijection from the squarefree divisors of a number 𝑁 to the powerset of the prime divisors of 𝑁. Among other things, this implies that a number has 2↑𝑘 squarefree divisors where 𝑘 is the number of prime divisors, and a squarefree number has 2↑𝑘 divisors (because all divisors of a squarefree number are squarefree). The inverse function to 𝐹 takes the product of all the primes in some subset of prime divisors of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqff1o.1 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥𝑁)}
sqff1o.2 𝐹 = (𝑛𝑆 ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
sqff1o.3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
sqff1o (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝑆1-1-onto→𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝑥,𝐺   𝑛,𝑁,𝑝,𝑥   𝑆,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem sqff1o
Dummy variables 𝑘 𝑞 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqff1o.2 . 2 𝐹 = (𝑛𝑆 ↦ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
2 fveq2 6088 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑛 → (μ‘𝑥) = (μ‘𝑛))
32neeq1d 2840 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑛 → ((μ‘𝑥) ≠ 0 ↔ (μ‘𝑛) ≠ 0))
4 breq1 4580 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥𝑁𝑛𝑁))
53, 4anbi12d 742 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥𝑁) ↔ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)))
6 sqff1o.1 . . . . . . . . 9 𝑆 = {𝑥 ∈ ℕ ∣ ((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥𝑁)}
75, 6elrab2 3332 . . . . . . . 8 (𝑛𝑆 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)))
87simprbi 478 . . . . . . 7 (𝑛𝑆 → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁))
98simprd 477 . . . . . 6 (𝑛𝑆𝑛𝑁)
109ad2antlr 758 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛𝑁)
11 prmz 15176 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
1211adantl 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
13 simplr 787 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛𝑆)
1413, 7sylib 206 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((μ‘𝑛) ≠ 0 ∧ 𝑛𝑁)))
1514simpld 473 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℕ)
1615nnzd 11316 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℤ)
17 nnz 11235 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
1817ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 dvdstr 14805 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝𝑛𝑛𝑁) → 𝑝𝑁))
2012, 16, 18, 19syl3anc 1317 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑛𝑛𝑁) → 𝑝𝑁))
2110, 20mpan2d 705 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑛𝑝𝑁))
2221ss2rabdv 3645 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
23 nnex 10876 . . . . . 6 ℕ ∈ V
24 prmnn 15175 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
2524ssriv 3571 . . . . . 6 ℙ ⊆ ℕ
2623, 25ssexi 4726 . . . . 5 ℙ ∈ V
2726rabex 4735 . . . 4 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ∈ V
2827elpw 4113 . . 3 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
2922, 28sylibr 222 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛} ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
30 1nn0 11158 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
31 0nn0 11157 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
3230, 31keepel 4104 . . . . . . . . 9 if(𝑘𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
3332rgenw 2907 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ℙ if(𝑘𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
34 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))
3534fmpt 6274 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ ℙ if(𝑘𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0)
3633, 35mpbi 218 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0
3736a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0)
38 nn0ex 11148 . . . . . . 7 0 ∈ V
3938, 26elmap 7750 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ↔ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0)
4037, 39sylibr 222 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ (ℕ0𝑚 ℙ))
41 fzfi 12591 . . . . . 6 (1...𝑁) ∈ Fin
42 ffn 5944 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)):ℙ⟶ℕ0 → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) Fn ℙ)
43 elpreima 6230 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) Fn ℙ → (𝑥 ∈ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ)))
4436, 42, 43mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ))
45 elequ1 1983 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘𝑧𝑥𝑧))
4645ifbid 4057 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑥 → if(𝑘𝑧, 1, 0) = if(𝑥𝑧, 1, 0))
4730, 31keepel 4104 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
4847elexi 3185 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ V
4946, 34, 48fvmpt 6176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) = if(𝑥𝑧, 1, 0))
5049eleq1d 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℙ → (((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ ↔ if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ))
5150biimpa 499 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑥) ∈ ℕ) → if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ)
5244, 51sylbi 205 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) → if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ)
53 0nnn 10902 . . . . . . . . . . 11 ¬ 0 ∈ ℕ
54 iffalse 4044 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑧 → if(𝑥𝑧, 1, 0) = 0)
5554eleq1d 2671 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑧 → (if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
5653, 55mtbiri 315 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑧 → ¬ if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ)
5756con4i 111 . . . . . . . . 9 (if(𝑥𝑧, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥𝑧)
5852, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) → 𝑥𝑧)
5958ssriv 3571 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ⊆ 𝑧
60 elpwi 4116 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} → 𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
6160adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑧 ⊆ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
62 rabss2 3647 . . . . . . . . . 10 (ℙ ⊆ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑁})
6325, 62ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑁}
64 dvdsssfz1 14827 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ (1...𝑁))
6564adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ (1...𝑁))
6663, 65syl5ss 3578 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ (1...𝑁))
6761, 66sstrd 3577 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑧 ⊆ (1...𝑁))
6859, 67syl5ss 3578 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ⊆ (1...𝑁))
69 ssfi 8043 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ⊆ (1...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
7041, 68, 69sylancr 693 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
71 cnveq 5206 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) → 𝑦 = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))
7271imaeq1d 5371 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) → (𝑦 “ ℕ) = ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ))
7372eleq1d 2671 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) → ((𝑦 “ ℕ) ∈ Fin ↔ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
7473elrab 3330 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ↔ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∧ ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin))
7540, 70, 74sylanbrc 694 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin})
76 sqff1o.3 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
77 eqid 2609 . . . . . . 7 {𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
7876, 771arith 15418 . . . . . 6 𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}
79 f1ocnv 6047 . . . . . 6 (𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} → 𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}–1-1-onto→ℕ)
80 f1of 6035 . . . . . 6 (𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}–1-1-onto→ℕ → 𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ)
8178, 79, 80mp2b 10 . . . . 5 𝐺:{𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ
8281ffvelrni 6251 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ)
8375, 82syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ)
84 f1ocnvfv2 6411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))
8578, 75, 84sylancr 693 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))
86761arithlem1 15414 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ → (𝐺‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))))
8783, 86syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))))
8885, 87eqtr3d 2645 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))))
8988fveq1d 6090 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑞) = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))‘𝑞))
90 elequ1 1983 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑞 → (𝑘𝑧𝑞𝑧))
9190ifbid 4057 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑞 → if(𝑘𝑧, 1, 0) = if(𝑞𝑧, 1, 0))
9230, 31keepel 4104 . . . . . . . . . . 11 if(𝑞𝑧, 1, 0) ∈ ℕ0
9392elexi 3185 . . . . . . . . . 10 if(𝑞𝑧, 1, 0) ∈ V
9491, 34, 93fvmpt 6176 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))‘𝑞) = if(𝑞𝑧, 1, 0))
9589, 94sylan9req 2664 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))‘𝑞) = if(𝑞𝑧, 1, 0))
96 oveq1 6534 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) = (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
97 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
98 ovex 6555 . . . . . . . . . 10 (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ∈ V
9996, 97, 98fvmpt 6176 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
10099adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))‘𝑞) = (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
10195, 100eqtr3d 2645 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → if(𝑞𝑧, 1, 0) = (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
102 breq1 4580 . . . . . . . 8 (1 = if(𝑞𝑧, 1, 0) → (1 ≤ 1 ↔ if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ 1))
103 breq1 4580 . . . . . . . 8 (0 = if(𝑞𝑧, 1, 0) → (0 ≤ 1 ↔ if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ 1))
104 1le1 10507 . . . . . . . 8 1 ≤ 1
105 0le1 10403 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
106102, 103, 104, 105keephyp 4101 . . . . . . 7 if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ 1
107101, 106syl6eqbrr 4617 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ 1)
108107ralrimiva 2948 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ 1)
109 issqf 24607 . . . . . 6 ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ → ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ 1))
11083, 109syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ 1))
111108, 110mpbird 245 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0)
112 iftrue 4041 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) = 1)
113112adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → if(𝑞𝑧, 1, 0) = 1)
11461sselda 3567 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
115 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝑁𝑞𝑁))
116115elrab 3330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁))
117114, 116sylib 206 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁))
118117simprd 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 𝑞𝑁)
119117simpld 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 𝑞 ∈ ℙ)
120 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 𝑁 ∈ ℕ)
121 pcelnn 15361 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑞 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑞𝑁))
122119, 120, 121syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → ((𝑞 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑞𝑁))
123118, 122mpbird 245 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → (𝑞 pCnt 𝑁) ∈ ℕ)
124123nnge1d 10913 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → 1 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
125113, 124eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞𝑧) → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
126125ex 448 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
127126adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
128 simpr 475 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
12917ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
130 pcge0 15353 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
131128, 129, 130syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
132 iffalse 4044 . . . . . . . . . 10 𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) = 0)
133132breq1d 4587 . . . . . . . . 9 𝑞𝑧 → (if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁) ↔ 0 ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
134131, 133syl5ibrcom 235 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (¬ 𝑞𝑧 → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
135127, 134pm2.61d 168 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → if(𝑞𝑧, 1, 0) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
136101, 135eqbrtrrd 4601 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
137136ralrimiva 2948 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁))
13883nnzd 11316 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℤ)
13917adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → 𝑁 ∈ ℤ)
140 pc2dvds 15370 . . . . . 6 (((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
141138, 139, 140syl2anc 690 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁 ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 pCnt (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≤ (𝑞 pCnt 𝑁)))
142137, 141mpbird 245 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁)
143111, 142jca 552 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ∧ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁))
144 fveq2 6088 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) → (μ‘𝑥) = (μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
145144neeq1d 2840 . . . . 5 (𝑥 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) → ((μ‘𝑥) ≠ 0 ↔ (μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0))
146 breq1 4580 . . . . 5 (𝑥 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) → (𝑥𝑁 ↔ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁))
147145, 146anbi12d 742 . . . 4 (𝑥 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) → (((μ‘𝑥) ≠ 0 ∧ 𝑥𝑁) ↔ ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ∧ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁)))
148147, 6elrab2 3332 . . 3 ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ ℕ ∧ ((μ‘(𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))) ≠ 0 ∧ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∥ 𝑁)))
14983, 143, 148sylanbrc 694 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁}) → (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ∈ 𝑆)
150 eqcom 2616 . . 3 (𝑛 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ↔ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) = 𝑛)
1517simplbi 474 . . . . . . 7 (𝑛𝑆𝑛 ∈ ℕ)
152151ad2antrl 759 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑛 ∈ ℕ)
15326mptex 6368 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ V
15476fvmpt2 6185 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ V) → (𝐺𝑛) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
155152, 153, 154sylancl 692 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝐺𝑛) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
156155eqeq1d 2611 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝐺𝑛) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))))
15778a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin})
15875adantrl 747 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin})
159 f1ocnvfvb 6413 . . . . 5 ((𝐺:ℕ–1-1-onto→{𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ 𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ∈ {𝑦 ∈ (ℕ0𝑚 ℙ) ∣ (𝑦 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐺𝑛) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) = 𝑛))
160157, 152, 158, 159syl3anc 1317 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝐺𝑛) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) = 𝑛))
16126a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ℙ ∈ V)
162 0cnd 9890 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 0 ∈ ℂ)
163 1cnd 9913 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 1 ∈ ℂ)
164 0ne1 10938 . . . . . . . 8 0 ≠ 1
165164a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 0 ≠ 1)
166161, 162, 163, 165pw2f1olem 7927 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑧 ∈ 𝒫 ℙ ∧ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℙ) ∧ 𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}))))
167 ssrab2 3649 . . . . . . . . 9 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ ℙ
168 sspwb 4838 . . . . . . . . 9 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ ℙ ↔ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ 𝒫 ℙ)
169167, 168mpbi 218 . . . . . . . 8 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁} ⊆ 𝒫 ℙ
170 simprr 791 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
171169, 170sseldi 3565 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → 𝑧 ∈ 𝒫 ℙ)
172171biantrurd 527 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 ℙ ∧ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)))))
173 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
174151adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → 𝑛 ∈ ℕ)
175 pccl 15341 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ0)
176173, 174, 175syl2anr 493 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ0)
177 elnn0 11144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 0))
178176, 177sylib 206 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 0))
179178orcomd 401 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ))
1808simpld 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑆 → (μ‘𝑛) ≠ 0)
181180adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → (μ‘𝑛) ≠ 0)
182 issqf 24607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1))
183174, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → ((μ‘𝑛) ≠ 0 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1))
184181, 183mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1)
185184r19.21bi 2915 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1)
186 nnle1eq1 10898 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ → ((𝑝 pCnt 𝑛) ≤ 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
187185, 186syl5ibcom 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ → (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
188187orim2d 880 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1)))
189179, 188mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
190 ovex 6555 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ V
191190elpr 4145 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ {0, 1} ↔ ((𝑝 pCnt 𝑛) = 0 ∨ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1))
192189, 191sylibr 222 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ {0, 1})
193 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛))
194192, 193fmptd 6277 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)):ℙ⟶{0, 1})
195194adantrr 748 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)):ℙ⟶{0, 1})
196 prex 4831 . . . . . . . . 9 {0, 1} ∈ V
197196, 26elmap 7750 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℙ) ↔ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)):ℙ⟶{0, 1})
198195, 197sylibr 222 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℙ))
199198biantrurd 527 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) ∈ ({0, 1} ↑𝑚 ℙ) ∧ 𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}))))
200166, 172, 1993bitr4d 298 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ 𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1})))
201193mptiniseg 5532 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ0 → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1})
20230, 201ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1}
203 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 → (𝑝 pCnt 𝑛) = 1)
204 1nn 10881 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
205203, 204syl6eqel 2695 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 → (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ)
206205, 187impbid2 214 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 ↔ (𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ))
207 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
208 pcelnn 15361 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ↔ 𝑝𝑛))
209207, 15, 208syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) ∈ ℕ ↔ 𝑝𝑛))
210206, 209bitrd 266 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝑛) = 1 ↔ 𝑝𝑛))
211210rabbidva 3162 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑆) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
212211adantrr 748 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑝 pCnt 𝑛) = 1} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
213202, 212syl5eq 2655 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛})
214213eqeq2d 2619 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑧 = ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) “ {1}) ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛}))
215200, 214bitrd 266 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)) = (𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0)) ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛}))
216156, 160, 2153bitr3d 296 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → ((𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) = 𝑛𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛}))
217150, 216syl5bb 270 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑛𝑆𝑧 ∈ 𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})) → (𝑛 = (𝐺‘(𝑘 ∈ ℙ ↦ if(𝑘𝑧, 1, 0))) ↔ 𝑧 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑛}))
2181, 29, 149, 217f1o2d 6763 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐹:𝑆1-1-onto→𝒫 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑁})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  {crab 2899  Vcvv 3172  wss 3539  ifcif 4035  𝒫 cpw 4107  {csn 4124  {cpr 4126   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ccnv 5027  cima 5031   Fn wfn 5785  wf 5786  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7722  Fincfn 7819  cc 9791  0cc0 9793  1c1 9794  cle 9932  cn 10870  0cn0 11142  cz 11213  ...cfz 12155  cdvds 14770  cprime 15172   pCnt cpc 15328  μcmu 24566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-fz 12156  df-fl 12413  df-mod 12489  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-dvds 14771  df-gcd 15004  df-prm 15173  df-pc 15329  df-mu 24572
This theorem is referenced by:  musum  24662
  Copyright terms: Public domain W3C validator