ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2addsubd Unicode version

Theorem 2addsubd 8146
Description: Law for subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subaddd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
addsub4d.4  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
2addsubd  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  -  D
)  =  ( ( ( A  +  C
)  -  D )  +  B ) )

Proof of Theorem 2addsubd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subaddd.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 addsub4d.4 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
5 2addsub 7999 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( ( ( A  +  B )  +  C )  -  D
)  =  ( ( ( A  +  C
)  -  D )  +  B ) )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1218 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  B )  +  C )  -  D
)  =  ( ( ( A  +  C
)  -  D )  +  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1332    e. wcel 1481  (class class class)co 5781   CCcc 7641    + caddc 7646    - cmin 7956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-setind 4459  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-sub 7958
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator