Theorem bastop1 12723

Description: A subset of a topology is a basis for the topology iff every member of the topology is a union of members of the basis. We use the idiom " ( topGen ` B ) = J " to express " B is a basis for topology J " since we do not have a separate notation for this. Definition 15.35 of [Schechter] p. 428. (Contributed by NM, 2-Feb-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bastop1	|- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( ( topGen ` B ) = J <-> A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, J, y

Proof of Theorem bastop1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgss 12703	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` J ) )
2		tgtop 12708	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )
3	2	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( topGen ` J ) = J )
4	1, 3	sseqtrd 3180	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( topGen ` B ) C_ J )
5		eqss 3157	. . . . 5 |- ( ( topGen ` B ) = J <-> ( ( topGen ` B ) C_ J /\ J C_ ( topGen ` B ) ) )
6	5	baib 909	. . . 4 |- ( ( topGen ` B ) C_ J -> ( ( topGen ` B ) = J <-> J C_ ( topGen ` B ) ) )
7	4, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( ( topGen ` B ) = J <-> J C_ ( topGen ` B ) ) )
8		dfss3 3132	. . 3 |- ( J C_ ( topGen ` B ) <-> A. x e. J x e. ( topGen ` B ) )
9	7, 8	bitrdi 195	. 2 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( ( topGen ` B ) = J <-> A. x e. J x e. ( topGen ` B ) ) )
10		ssexg 4121	. . . . 5 |- ( ( B C_ J /\ J e. Top ) -> B e. _V )
11	10	ancoms 266	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> B e. _V )
12		eltg3 12697	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) )
14	13	ralbidv 2466	. 2 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( A. x e. J x e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) )
15	9, 14	bitrd 187	1 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( ( topGen ` B ) = J <-> A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   U.cuni 3789   ` cfv 5188   topGenctg 12571   Topctop 12635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-topgen 12577  df-top 12636

This theorem is referenced by:  bastop2  12724