Theorem tgss3 12872

Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80 using abbreviations. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgss3	|- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )

Proof of Theorem tgss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bastg 12855	. . . 4 |- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> B C_ ( topGen ` B ) )
3		sstr2 3154	. . 3 |- ( B C_ ( topGen ` B ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) -> B C_ ( topGen ` C ) ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) -> B C_ ( topGen ` C ) ) )
5		tgvalex 12844	. . . . . 6 |- ( C e. W -> ( topGen ` C ) e. _V )
6		tgss 12857	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` C ) e. _V /\ B C_ ( topGen ` C ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) )
7	5, 6	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( C e. W /\ B C_ ( topGen ` C ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) )
8	7	ex 114	. . . 4 |- ( C e. W -> ( B C_ ( topGen ` C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) ) )
9	8	adantl 275	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( B C_ ( topGen ` C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) ) )
10		tgidm 12868	. . . . 5 |- ( C e. W -> ( topGen ` ( topGen ` C ) ) = ( topGen ` C ) )
11	10	adantl 275	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( topGen ` ( topGen ` C ) ) = ( topGen ` C ) )
12	11	sseq2d 3177	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) <-> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) ) )
13	9, 12	sylibd 148	. 2 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( B C_ ( topGen ` C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) ) )
14	4, 13	impbid 128	1 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   ` cfv 5198   topGenctg 12594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-topgen 12600

This theorem is referenced by:  tgss2  12873  2basgeng  12876  xmettxlem  13303  xmettx  13304