Theorem tgss3 14889

Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80 using abbreviations. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgss3	|- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )

Proof of Theorem tgss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bastg 14872	. . . 4 |- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> B C_ ( topGen ` B ) )
3		sstr2 3235	. . 3 |- ( B C_ ( topGen ` B ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) -> B C_ ( topGen ` C ) ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) -> B C_ ( topGen ` C ) ) )
5		tgvalex 13426	. . . . . 6 |- ( C e. W -> ( topGen ` C ) e. _V )
6		tgss 14874	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` C ) e. _V /\ B C_ ( topGen ` C ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) )
7	5, 6	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( C e. W /\ B C_ ( topGen ` C ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) )
8	7	ex 115	. . . 4 |- ( C e. W -> ( B C_ ( topGen ` C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) ) )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( B C_ ( topGen ` C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) ) )
10		tgidm 14885	. . . . 5 |- ( C e. W -> ( topGen ` ( topGen ` C ) ) = ( topGen ` C ) )
11	10	adantl 277	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( topGen ` ( topGen ` C ) ) = ( topGen ` C ) )
12	11	sseq2d 3258	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) <-> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) ) )
13	9, 12	sylibd 149	. 2 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( B C_ ( topGen ` C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) ) )
14	4, 13	impbid 129	1 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   ` cfv 5333   topGenctg 13417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-topgen 13423

This theorem is referenced by:  tgss2  14890  2basgeng  14893  xmettxlem  15320  xmettx  15321