Theorem tgss3 14257

Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80 using abbreviations. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgss3	|- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )

Proof of Theorem tgss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bastg 14240	. . . 4 |- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> B C_ ( topGen ` B ) )
3		sstr2 3187	. . 3 |- ( B C_ ( topGen ` B ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) -> B C_ ( topGen ` C ) ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) -> B C_ ( topGen ` C ) ) )
5		tgvalex 12877	. . . . . 6 |- ( C e. W -> ( topGen ` C ) e. _V )
6		tgss 14242	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` C ) e. _V /\ B C_ ( topGen ` C ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) )
7	5, 6	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( C e. W /\ B C_ ( topGen ` C ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) )
8	7	ex 115	. . . 4 |- ( C e. W -> ( B C_ ( topGen ` C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) ) )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( B C_ ( topGen ` C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) ) )
10		tgidm 14253	. . . . 5 |- ( C e. W -> ( topGen ` ( topGen ` C ) ) = ( topGen ` C ) )
11	10	adantl 277	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( topGen ` ( topGen ` C ) ) = ( topGen ` C ) )
12	11	sseq2d 3210	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) <-> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) ) )
13	9, 12	sylibd 149	. 2 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( B C_ ( topGen ` C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) ) )
14	4, 13	impbid 129	1 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   C_ wss 3154   ` cfv 5255   topGenctg 12868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 12874

This theorem is referenced by:  tgss2  14258  2basgeng  14261  xmettxlem  14688  xmettx  14689