ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgss3 Unicode version

Theorem tgss3 12174
Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80 using abbreviations. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgss3  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  C )  <->  B  C_  ( topGen `
 C ) ) )

Proof of Theorem tgss3
StepHypRef Expression
1 bastg 12157 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
21adantr 274 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  B  C_  ( topGen `  B ) )
3 sstr2 3074 . . 3  |-  ( B 
C_  ( topGen `  B
)  ->  ( ( topGen `
 B )  C_  ( topGen `  C )  ->  B  C_  ( topGen `  C ) ) )
42, 3syl 14 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  C )  ->  B  C_  ( topGen `  C )
) )
5 tgvalex 12146 . . . . . 6  |-  ( C  e.  W  ->  ( topGen `
 C )  e. 
_V )
6 tgss 12159 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  C )  e.  _V  /\  B  C_  ( topGen `  C )
)  ->  ( topGen `  B )  C_  ( topGen `
 ( topGen `  C
) ) )
75, 6sylan 281 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  W  /\  B  C_  ( topGen `  C
) )  ->  ( topGen `
 B )  C_  ( topGen `  ( topGen `  C ) ) )
87ex 114 . . . 4  |-  ( C  e.  W  ->  ( B  C_  ( topGen `  C
)  ->  ( topGen `  B )  C_  ( topGen `
 ( topGen `  C
) ) ) )
98adantl 275 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( B  C_  ( topGen `
 C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  ( topGen `  C ) ) ) )
10 tgidm 12170 . . . . 5  |-  ( C  e.  W  ->  ( topGen `
 ( topGen `  C
) )  =  (
topGen `  C ) )
1110adantl 275 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( topGen `  ( topGen `  C ) )  =  ( topGen `  C )
)
1211sseq2d 3097 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  ( topGen `  C )
)  <->  ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  C ) ) )
139, 12sylibd 148 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( B  C_  ( topGen `
 C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
) )
144, 13impbid 128 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  C )  <->  B  C_  ( topGen `
 C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   _Vcvv 2660    C_ wss 3041   ` cfv 5093   topGenctg 12062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-sbc 2883  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-topgen 12068
This theorem is referenced by:  tgss2  12175  2basgeng  12178  xmettxlem  12605  xmettx  12606
  Copyright terms: Public domain W3C validator