Theorem tgss3 14398

Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80 using abbreviations. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgss3	|- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )

Proof of Theorem tgss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bastg 14381	. . . 4 |- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> B C_ ( topGen ` B ) )
3		sstr2 3191	. . 3 |- ( B C_ ( topGen ` B ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) -> B C_ ( topGen ` C ) ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) -> B C_ ( topGen ` C ) ) )
5		tgvalex 12965	. . . . . 6 |- ( C e. W -> ( topGen ` C ) e. _V )
6		tgss 14383	. . . . . 6 |- ( ( ( topGen ` C ) e. _V /\ B C_ ( topGen ` C ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) )
7	5, 6	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( C e. W /\ B C_ ( topGen ` C ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) )
8	7	ex 115	. . . 4 |- ( C e. W -> ( B C_ ( topGen ` C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) ) )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( B C_ ( topGen ` C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) ) )
10		tgidm 14394	. . . . 5 |- ( C e. W -> ( topGen ` ( topGen ` C ) ) = ( topGen ` C ) )
11	10	adantl 277	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( topGen ` ( topGen ` C ) ) = ( topGen ` C ) )
12	11	sseq2d 3214	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) <-> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) ) )
13	9, 12	sylibd 149	. 2 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( B C_ ( topGen ` C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) ) )
14	4, 13	impbid 129	1 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   ` cfv 5259   topGenctg 12956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-topgen 12962

This theorem is referenced by:  tgss2  14399  2basgeng  14402  xmettxlem  14829  xmettx  14830