ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2basgeng GIF version

Theorem 2basgeng 14034
Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
2basgeng ((𝐵𝑉𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = (topGen‘𝐶))

Proof of Theorem 2basgeng
StepHypRef Expression
1 tgvalex 12765 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (topGen‘𝐵) ∈ V)
213ad2ant1 1020 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) ∈ V)
3 simp3 1001 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵))
42, 3ssexd 4158 . . 3 ((𝐵𝑉𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐶 ∈ V)
5 simp2 1000 . . 3 ((𝐵𝑉𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵𝐶)
6 tgss 14015 . . 3 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
74, 5, 6syl2anc 411 . 2 ((𝐵𝑉𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
8 simp1 999 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵𝑉)
9 tgss3 14030 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → ((topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)))
104, 8, 9syl2anc 411 . . 3 ((𝐵𝑉𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ((topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)))
113, 10mpbird 167 . 2 ((𝐵𝑉𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵))
127, 11eqssd 3187 1 ((𝐵𝑉𝐵𝐶𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = (topGen‘𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  Vcvv 2752  wss 3144  cfv 5235  topGenctg 12756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-topgen 12762
This theorem is referenced by:  txbasval  14219  tgioo  14498  tgqioo  14499
  Copyright terms: Public domain W3C validator