Theorem 2basgeng 14715

Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
2basgeng	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = (topGen‘𝐶))

Proof of Theorem 2basgeng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgvalex 13256	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (topGen‘𝐵) ∈ V)
2	1	3ad2ant1 1021	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) ∈ V)
3		simp3 1002	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵))
4	2, 3	ssexd 4201	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐶 ∈ V)
5		simp2 1001	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
6		tgss 14696	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) ⊆ (topGen‘𝐶))
8		simp1 1000	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
9		tgss3 14711	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)))
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → ((topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)))
11	3, 10	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐶) ⊆ (topGen‘𝐵))
12	7, 11	eqssd 3219	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = (topGen‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  Vcvv 2777   ⊆ wss 3175  ‘cfv 5291  topGenctg 13247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2779  df-sbc 3007  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fv 5299  df-topgen 13253

This theorem is referenced by:  txbasval  14900  tgioo  15187  tgqioo  15188