Theorem tgvalex 12001

Description: The topology generated by a basis is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
tgvalex	|- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )

Proof of Theorem tgvalex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval 12000	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } )
2		inss1 3243	. . . . . . 7 |- ( B i^i ~P y ) C_ B
3	2	unissi 3706	. . . . . 6 |- U. ( B i^i ~P y ) C_ U. B
4		sstr 3055	. . . . . 6 |- ( ( y C_ U. ( B i^i ~P y ) /\ U. ( B i^i ~P y ) C_ U. B ) -> y C_ U. B )
5	3, 4	mpan2 419	. . . . 5 |- ( y C_ U. ( B i^i ~P y ) -> y C_ U. B )
6	5	ss2abi 3116	. . . 4 |- { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } C_ { y | y C_ U. B }
7		df-pw 3459	. . . 4 |- ~P U. B = { y | y C_ U. B }
8	6, 7	sseqtr4i 3082	. . 3 |- { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } C_ ~P U. B
9		uniexg 4299	. . . 4 |- ( B e. V -> U. B e. _V )
10	9	pwexd 4045	. . 3 |- ( B e. V -> ~P U. B e. _V )
11		ssexg 4007	. . 3 |- ( ( { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } C_ ~P U. B /\ ~P U. B e. _V ) -> { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } e. _V )
12	8, 10, 11	sylancr 408	. 2 |- ( B e. V -> { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } e. _V )
13	1, 12	eqeltrd 2176	1 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1448   {cab 2086   _Vcvv 2641   i^i cin 3020   C_ wss 3021   ~Pcpw 3457   U.cuni 3683   ` cfv 5059   topGenctg 11917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-sbc 2863  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-topgen 11923

This theorem is referenced by:  tgcl  12015  tgidm  12025  tgss3  12029  2basgeng  12033  tgrest  12120  txvalex  12204  txval  12205  txbasval  12217