Theorem tgvalex 13336

Description: The topology generated by a basis is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
tgvalex	|- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )

Proof of Theorem tgvalex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval 13335	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } )
2		inss1 3425	. . . . . . 7 |- ( B i^i ~P y ) C_ B
3	2	unissi 3914	. . . . . 6 |- U. ( B i^i ~P y ) C_ U. B
4		sstr 3233	. . . . . 6 |- ( ( y C_ U. ( B i^i ~P y ) /\ U. ( B i^i ~P y ) C_ U. B ) -> y C_ U. B )
5	3, 4	mpan2 425	. . . . 5 |- ( y C_ U. ( B i^i ~P y ) -> y C_ U. B )
6	5	ss2abi 3297	. . . 4 |- { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } C_ { y | y C_ U. B }
7		df-pw 3652	. . . 4 |- ~P U. B = { y | y C_ U. B }
8	6, 7	sseqtrri 3260	. . 3 |- { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } C_ ~P U. B
9		uniexg 4534	. . . 4 |- ( B e. V -> U. B e. _V )
10	9	pwexd 4269	. . 3 |- ( B e. V -> ~P U. B e. _V )
11		ssexg 4226	. . 3 |- ( ( { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } C_ ~P U. B /\ ~P U. B e. _V ) -> { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } e. _V )
12	8, 10, 11	sylancr 414	. 2 |- ( B e. V -> { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } e. _V )
13	1, 12	eqeltrd 2306	1 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   {cab 2215   _Vcvv 2800   i^i cin 3197   C_ wss 3198   ~Pcpw 3650   U.cuni 3891   ` cfv 5324   topGenctg 13327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-topgen 13333

This theorem is referenced by:  ptex  13337  mopnset  14556  tgcl  14778  tgidm  14788  tgss3  14792  2basgeng  14796  tgrest  14883  txvalex  14968  txval  14969  txbasval  14981