Theorem tgvalex 12844

Description: The topology generated by a basis is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
tgvalex	|- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )

Proof of Theorem tgvalex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval 12843	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } )
2		inss1 3347	. . . . . . 7 |- ( B i^i ~P y ) C_ B
3	2	unissi 3819	. . . . . 6 |- U. ( B i^i ~P y ) C_ U. B
4		sstr 3155	. . . . . 6 |- ( ( y C_ U. ( B i^i ~P y ) /\ U. ( B i^i ~P y ) C_ U. B ) -> y C_ U. B )
5	3, 4	mpan2 423	. . . . 5 |- ( y C_ U. ( B i^i ~P y ) -> y C_ U. B )
6	5	ss2abi 3219	. . . 4 |- { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } C_ { y | y C_ U. B }
7		df-pw 3568	. . . 4 |- ~P U. B = { y | y C_ U. B }
8	6, 7	sseqtrri 3182	. . 3 |- { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } C_ ~P U. B
9		uniexg 4424	. . . 4 |- ( B e. V -> U. B e. _V )
10	9	pwexd 4167	. . 3 |- ( B e. V -> ~P U. B e. _V )
11		ssexg 4128	. . 3 |- ( ( { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } C_ ~P U. B /\ ~P U. B e. _V ) -> { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } e. _V )
12	8, 10, 11	sylancr 412	. 2 |- ( B e. V -> { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } e. _V )
13	1, 12	eqeltrd 2247	1 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2141   {cab 2156   _Vcvv 2730   i^i cin 3120   C_ wss 3121   ~Pcpw 3566   U.cuni 3796   ` cfv 5198   topGenctg 12594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-topgen 12600

This theorem is referenced by:  tgcl  12858  tgidm  12868  tgss3  12872  2basgeng  12876  tgrest  12963  txvalex  13048  txval  13049  txbasval  13061