ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgvalex Unicode version

Theorem tgvalex 12001
Description: The topology generated by a basis is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
tgvalex  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  e. 
_V )

Proof of Theorem tgvalex
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgval 12000 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  =  { y  |  y 
C_  U. ( B  i^i  ~P y ) } )
2 inss1 3243 . . . . . . 7  |-  ( B  i^i  ~P y ) 
C_  B
32unissi 3706 . . . . . 6  |-  U. ( B  i^i  ~P y ) 
C_  U. B
4 sstr 3055 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  U. ( B  i^i  ~P y )  /\  U. ( B  i^i  ~P y ) 
C_  U. B )  -> 
y  C_  U. B )
53, 4mpan2 419 . . . . 5  |-  ( y 
C_  U. ( B  i^i  ~P y )  ->  y  C_ 
U. B )
65ss2abi 3116 . . . 4  |-  { y  |  y  C_  U. ( B  i^i  ~P y ) }  C_  { y  |  y  C_  U. B }
7 df-pw 3459 . . . 4  |-  ~P U. B  =  { y  |  y  C_  U. B }
86, 7sseqtr4i 3082 . . 3  |-  { y  |  y  C_  U. ( B  i^i  ~P y ) }  C_  ~P U. B
9 uniexg 4299 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  U. B  e.  _V )
109pwexd 4045 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ~P U. B  e.  _V )
11 ssexg 4007 . . 3  |-  ( ( { y  |  y 
C_  U. ( B  i^i  ~P y ) }  C_  ~P U. B  /\  ~P U. B  e.  _V )  ->  { y  |  y 
C_  U. ( B  i^i  ~P y ) }  e.  _V )
128, 10, 11sylancr 408 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  { y  |  y  C_  U. ( B  i^i  ~P y ) }  e.  _V )
131, 12eqeltrd 2176 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  e. 
_V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1448   {cab 2086   _Vcvv 2641    i^i cin 3020    C_ wss 3021   ~Pcpw 3457   U.cuni 3683   ` cfv 5059   topGenctg 11917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-sbc 2863  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-topgen 11923
This theorem is referenced by:  tgcl  12015  tgidm  12025  tgss3  12029  2basgeng  12033  tgrest  12120  txvalex  12204  txval  12205  txbasval  12217
  Copyright terms: Public domain W3C validator