ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgvalex Unicode version

Theorem tgvalex 12734
Description: The topology generated by a basis is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
tgvalex  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  e. 
_V )

Proof of Theorem tgvalex
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgval 12733 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  =  { y  |  y 
C_  U. ( B  i^i  ~P y ) } )
2 inss1 3370 . . . . . . 7  |-  ( B  i^i  ~P y ) 
C_  B
32unissi 3847 . . . . . 6  |-  U. ( B  i^i  ~P y ) 
C_  U. B
4 sstr 3178 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  U. ( B  i^i  ~P y )  /\  U. ( B  i^i  ~P y ) 
C_  U. B )  -> 
y  C_  U. B )
53, 4mpan2 425 . . . . 5  |-  ( y 
C_  U. ( B  i^i  ~P y )  ->  y  C_ 
U. B )
65ss2abi 3242 . . . 4  |-  { y  |  y  C_  U. ( B  i^i  ~P y ) }  C_  { y  |  y  C_  U. B }
7 df-pw 3592 . . . 4  |-  ~P U. B  =  { y  |  y  C_  U. B }
86, 7sseqtrri 3205 . . 3  |-  { y  |  y  C_  U. ( B  i^i  ~P y ) }  C_  ~P U. B
9 uniexg 4454 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  U. B  e.  _V )
109pwexd 4196 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ~P U. B  e.  _V )
11 ssexg 4157 . . 3  |-  ( ( { y  |  y 
C_  U. ( B  i^i  ~P y ) }  C_  ~P U. B  /\  ~P U. B  e.  _V )  ->  { y  |  y 
C_  U. ( B  i^i  ~P y ) }  e.  _V )
128, 10, 11sylancr 414 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  { y  |  y  C_  U. ( B  i^i  ~P y ) }  e.  _V )
131, 12eqeltrd 2266 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( topGen `
 B )  e. 
_V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 2160   {cab 2175   _Vcvv 2752    i^i cin 3143    C_ wss 3144   ~Pcpw 3590   U.cuni 3824   ` cfv 5231   topGenctg 12725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-topgen 12731
This theorem is referenced by:  ptex  12735  tgcl  13961  tgidm  13971  tgss3  13975  2basgeng  13979  tgrest  14066  txvalex  14151  txval  14152  txbasval  14164
  Copyright terms: Public domain W3C validator