Theorem tgvalex 13468

Description: The topology generated by a basis is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
tgvalex	|- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )

Proof of Theorem tgvalex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval 13467	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } )
2		inss1 3440	. . . . . . 7 |- ( B i^i ~P y ) C_ B
3	2	unissi 3936	. . . . . 6 |- U. ( B i^i ~P y ) C_ U. B
4		sstr 3245	. . . . . 6 |- ( ( y C_ U. ( B i^i ~P y ) /\ U. ( B i^i ~P y ) C_ U. B ) -> y C_ U. B )
5	3, 4	mpan2 425	. . . . 5 |- ( y C_ U. ( B i^i ~P y ) -> y C_ U. B )
6	5	ss2abi 3309	. . . 4 |- { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } C_ { y | y C_ U. B }
7		df-pw 3670	. . . 4 |- ~P U. B = { y | y C_ U. B }
8	6, 7	sseqtrri 3272	. . 3 |- { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } C_ ~P U. B
9		uniexg 4559	. . . 4 |- ( B e. V -> U. B e. _V )
10	9	pwexd 4293	. . 3 |- ( B e. V -> ~P U. B e. _V )
11		ssexg 4248	. . 3 |- ( ( { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } C_ ~P U. B /\ ~P U. B e. _V ) -> { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } e. _V )
12	8, 10, 11	sylancr 414	. 2 |- ( B e. V -> { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } e. _V )
13	1, 12	eqeltrd 2309	1 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   {cab 2218   _Vcvv 2812   i^i cin 3209   C_ wss 3210   ~Pcpw 3668   U.cuni 3913   ` cfv 5351   topGenctg 13459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-topgen 13465

This theorem is referenced by:  ptex  13469  mopnset  14692  tgcl  14921  tgidm  14931  tgss3  14935  2basgeng  14939  tgrest  15026  txvalex  15111  txval  15112  txbasval  15124