Theorem tgvalex 12712

Description: The topology generated by a basis is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
tgvalex	|- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )

Proof of Theorem tgvalex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval 12711	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } )
2		inss1 3356	. . . . . . 7 |- ( B i^i ~P y ) C_ B
3	2	unissi 3833	. . . . . 6 |- U. ( B i^i ~P y ) C_ U. B
4		sstr 3164	. . . . . 6 |- ( ( y C_ U. ( B i^i ~P y ) /\ U. ( B i^i ~P y ) C_ U. B ) -> y C_ U. B )
5	3, 4	mpan2 425	. . . . 5 |- ( y C_ U. ( B i^i ~P y ) -> y C_ U. B )
6	5	ss2abi 3228	. . . 4 |- { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } C_ { y | y C_ U. B }
7		df-pw 3578	. . . 4 |- ~P U. B = { y | y C_ U. B }
8	6, 7	sseqtrri 3191	. . 3 |- { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } C_ ~P U. B
9		uniexg 4440	. . . 4 |- ( B e. V -> U. B e. _V )
10	9	pwexd 4182	. . 3 |- ( B e. V -> ~P U. B e. _V )
11		ssexg 4143	. . 3 |- ( ( { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } C_ ~P U. B /\ ~P U. B e. _V ) -> { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } e. _V )
12	8, 10, 11	sylancr 414	. 2 |- ( B e. V -> { y | y C_ U. ( B i^i ~P y ) } e. _V )
13	1, 12	eqeltrd 2254	1 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   {cab 2163   _Vcvv 2738   i^i cin 3129   C_ wss 3130   ~Pcpw 3576   U.cuni 3810   ` cfv 5217   topGenctg 12703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-topgen 12709

This theorem is referenced by:  ptex  12713  tgcl  13567  tgidm  13577  tgss3  13581  2basgeng  13585  tgrest  13672  txvalex  13757  txval  13758  txbasval  13770