ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2onetap Unicode version

Theorem 2onetap 7309
Description: Negated equality is a tight apartness on  2o. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2025.)
Assertion
Ref Expression
2onetap  |-  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  2o  /\  v  e.  2o )  /\  u  =/=  v
) } TAp  2o
Distinct variable group:    v, u

Proof of Theorem 2onetap
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2onn 6569 . . . . 5  |-  2o  e.  om
2 elnn 4636 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  2o  /\  2o  e.  om )  ->  x  e.  om )
31, 2mpan2 425 . . . 4  |-  ( x  e.  2o  ->  x  e.  om )
4 elnn 4636 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  2o  /\  2o  e.  om )  -> 
y  e.  om )
51, 4mpan2 425 . . . 4  |-  ( y  e.  2o  ->  y  e.  om )
6 nndceq 6547 . . . 4  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  -> DECID  x  =  y )
73, 5, 6syl2an 289 . . 3  |-  ( ( x  e.  2o  /\  y  e.  2o )  -> DECID  x  =  y )
87rgen2 2580 . 2  |-  A. x  e.  2o  A. y  e.  2o DECID  x  =  y
9 netap 7308 . 2  |-  ( A. x  e.  2o  A. y  e.  2o DECID  x  =  y  ->  { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  2o  /\  v  e.  2o )  /\  u  =/=  v
) } TAp  2o )
108, 9ax-mp 5 1  |-  { <. u ,  v >.  |  ( ( u  e.  2o  /\  v  e.  2o )  /\  u  =/=  v
) } TAp  2o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104  DECID wdc 835    e. wcel 2164    =/= wne 2364   A.wral 2472   {copab 4089   omcom 4620   2oc2o 6458   TAp wtap 7303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4567  ax-iinf 4618
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-iord 4395  df-on 4397  df-suc 4400  df-iom 4621  df-xp 4663  df-1o 6464  df-2o 6465  df-pap 7302  df-tap 7304
This theorem is referenced by:  2omotaplemst  7312
  Copyright terms: Public domain W3C validator