Theorem 2onetap 7283

Description: Negated equality is a tight apartness on 2o. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2onetap	|- { <. u , v >. | ( ( u e. 2o /\ v e. 2o ) /\ u =/= v ) } TAp 2o

Distinct variable group:   v, u

Proof of Theorem 2onetap

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6545	. . . . 5 |- 2o e. om
2		elnn 4623	. . . . 5 |- ( ( x e. 2o /\ 2o e. om ) -> x e. om )
3	1, 2	mpan2 425	. . . 4 |- ( x e. 2o -> x e. om )
4		elnn 4623	. . . . 5 |- ( ( y e. 2o /\ 2o e. om ) -> y e. om )
5	1, 4	mpan2 425	. . . 4 |- ( y e. 2o -> y e. om )
6		nndceq 6523	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> DECID x = y )
7	3, 5, 6	syl2an 289	. . 3 |- ( ( x e. 2o /\ y e. 2o ) -> DECID x = y )
8	7	rgen2 2576	. 2 |- A. x e. 2o A. y e. 2o DECID x = y
9		netap 7282	. 2 |- ( A. x e. 2o A. y e. 2o DECID x = y -> { <. u , v >. | ( ( u e. 2o /\ v e. 2o ) /\ u =/= v ) } TAp 2o )
10	8, 9	ax-mp 5	1 |- { <. u , v >. | ( ( u e. 2o /\ v e. 2o ) /\ u =/= v ) } TAp 2o

Syntax hints:   /\ wa 104  DECID wdc 835   e. wcel 2160   =/= wne 2360   A.wral 2468   {copab 4078   omcom 4607   2oc2o 6434   TAp wtap 7277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-tr 4117  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-1o 6440  df-2o 6441  df-pap 7276  df-tap 7278

This theorem is referenced by:  2omotaplemst  7286