Theorem 2onetap 7369

Description: Negated equality is a tight apartness on 2o. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2onetap	|- { <. u , v >. | ( ( u e. 2o /\ v e. 2o ) /\ u =/= v ) } TAp 2o

Distinct variable group:   v, u

Proof of Theorem 2onetap

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6609	. . . . 5 |- 2o e. om
2		elnn 4655	. . . . 5 |- ( ( x e. 2o /\ 2o e. om ) -> x e. om )
3	1, 2	mpan2 425	. . . 4 |- ( x e. 2o -> x e. om )
4		elnn 4655	. . . . 5 |- ( ( y e. 2o /\ 2o e. om ) -> y e. om )
5	1, 4	mpan2 425	. . . 4 |- ( y e. 2o -> y e. om )
6		nndceq 6587	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> DECID x = y )
7	3, 5, 6	syl2an 289	. . 3 |- ( ( x e. 2o /\ y e. 2o ) -> DECID x = y )
8	7	rgen2 2592	. 2 |- A. x e. 2o A. y e. 2o DECID x = y
9		netap 7368	. 2 |- ( A. x e. 2o A. y e. 2o DECID x = y -> { <. u , v >. | ( ( u e. 2o /\ v e. 2o ) /\ u =/= v ) } TAp 2o )
10	8, 9	ax-mp 5	1 |- { <. u , v >. | ( ( u e. 2o /\ v e. 2o ) /\ u =/= v ) } TAp 2o

Syntax hints:   /\ wa 104  DECID wdc 836   e. wcel 2176   =/= wne 2376   A.wral 2484   {copab 4105   omcom 4639   2oc2o 6498   TAp wtap 7363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-tr 4144  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-1o 6504  df-2o 6505  df-pap 7362  df-tap 7364

This theorem is referenced by:  2omotaplemst  7372