Theorem 2onetap 7574

Description: Negated equality is a tight apartness on 2o. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2onetap	|- { <. u , v >. | ( ( u e. 2o /\ v e. 2o ) /\ u =/= v ) } TAp 2o

Distinct variable group:   v, u

Proof of Theorem 2onetap

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6756	. . . . 5 |- 2o e. om
2		elnn 4730	. . . . 5 |- ( ( x e. 2o /\ 2o e. om ) -> x e. om )
3	1, 2	mpan2 425	. . . 4 |- ( x e. 2o -> x e. om )
4		elnn 4730	. . . . 5 |- ( ( y e. 2o /\ 2o e. om ) -> y e. om )
5	1, 4	mpan2 425	. . . 4 |- ( y e. 2o -> y e. om )
6		nndceq 6734	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> DECID x = y )
7	3, 5, 6	syl2an 289	. . 3 |- ( ( x e. 2o /\ y e. 2o ) -> DECID x = y )
8	7	rgen2 2630	. 2 |- A. x e. 2o A. y e. 2o DECID x = y
9		netap 7573	. 2 |- ( A. x e. 2o A. y e. 2o DECID x = y -> { <. u , v >. | ( ( u e. 2o /\ v e. 2o ) /\ u =/= v ) } TAp 2o )
10	8, 9	ax-mp 5	1 |- { <. u , v >. | ( ( u e. 2o /\ v e. 2o ) /\ u =/= v ) } TAp 2o

Syntax hints:   /\ wa 104  DECID wdc 842   e. wcel 2205   =/= wne 2414   A.wral 2522   {copab 4172   omcom 4714   2oc2o 6643   TAp wtap 7567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-tr 4211  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-1o 6649  df-2o 6650  df-pap 7561  df-tap 7568

This theorem is referenced by:  2omotaplemst  7577