Theorem 2onetap 7474

Description: Negated equality is a tight apartness on 2o. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2onetap	|- { <. u , v >. | ( ( u e. 2o /\ v e. 2o ) /\ u =/= v ) } TAp 2o

Distinct variable group:   v, u

Proof of Theorem 2onetap

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6689	. . . . 5 |- 2o e. om
2		elnn 4704	. . . . 5 |- ( ( x e. 2o /\ 2o e. om ) -> x e. om )
3	1, 2	mpan2 425	. . . 4 |- ( x e. 2o -> x e. om )
4		elnn 4704	. . . . 5 |- ( ( y e. 2o /\ 2o e. om ) -> y e. om )
5	1, 4	mpan2 425	. . . 4 |- ( y e. 2o -> y e. om )
6		nndceq 6667	. . . 4 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> DECID x = y )
7	3, 5, 6	syl2an 289	. . 3 |- ( ( x e. 2o /\ y e. 2o ) -> DECID x = y )
8	7	rgen2 2618	. 2 |- A. x e. 2o A. y e. 2o DECID x = y
9		netap 7473	. 2 |- ( A. x e. 2o A. y e. 2o DECID x = y -> { <. u , v >. | ( ( u e. 2o /\ v e. 2o ) /\ u =/= v ) } TAp 2o )
10	8, 9	ax-mp 5	1 |- { <. u , v >. | ( ( u e. 2o /\ v e. 2o ) /\ u =/= v ) } TAp 2o

Syntax hints:   /\ wa 104  DECID wdc 841   e. wcel 2202   =/= wne 2402   A.wral 2510   {copab 4149   omcom 4688   2oc2o 6576   TAp wtap 7468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-tr 4188  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-1o 6582  df-2o 6583  df-pap 7467  df-tap 7469

This theorem is referenced by:  2omotaplemst  7477