Theorem 2oneel 7403

Description: (/) and 1o are two unequal elements of 2o. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
2oneel	|- <. (/) , 1o >. e. { <. u , v >. | ( ( u e. 2o /\ v e. 2o ) /\ u =/= v ) }

Distinct variable group:   v, u

Proof of Theorem 2oneel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1n0 6541	. . 3 |- 1o =/= (/)
2	1	necomi 2463	. 2 |- (/) =/= 1o
3		0lt2o 6550	. . 3 |- (/) e. 2o
4		1lt2o 6551	. . 3 |- 1o e. 2o
5		neeq1 2391	. . . 4 |- ( u = (/) -> ( u =/= v <-> (/) =/= v ) )
6		neeq2 2392	. . . 4 |- ( v = 1o -> ( (/) =/= v <-> (/) =/= 1o ) )
7	5, 6	opelopab2 4335	. . 3 |- ( ( (/) e. 2o /\ 1o e. 2o ) -> ( <. (/) , 1o >. e. { <. u , v >. | ( ( u e. 2o /\ v e. 2o ) /\ u =/= v ) } <-> (/) =/= 1o ) )
8	3, 4, 7	mp2an 426	. 2 |- ( <. (/) , 1o >. e. { <. u , v >. | ( ( u e. 2o /\ v e. 2o ) /\ u =/= v ) } <-> (/) =/= 1o )
9	2, 8	mpbir 146	1 |- <. (/) , 1o >. e. { <. u , v >. | ( ( u e. 2o /\ v e. 2o ) /\ u =/= v ) }

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2178   =/= wne 2378   (/)c0 3468   <.cop 3646   {copab 4120   1oc1o 6518   2oc2o 6519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-opab 4122  df-tr 4159  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-1o 6525  df-2o 6526

This theorem is referenced by:  2omotaplemst  7405