Theorem bastop2 14527

Description: A version of bastop1 14526 that doesn't have B C_ J in the antecedent. (Contributed by NM, 3-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
bastop2	|- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J <-> ( B C_ J /\ A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, J, y

Proof of Theorem bastop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2267	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` B ) = J -> ( ( topGen ` B ) e. Top <-> J e. Top ) )
2	1	biimparc 299	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> ( topGen ` B ) e. Top )
3		tgclb 14508	. . . . . . 7 |- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )
4	2, 3	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> B e. TopBases )
5		bastg 14504	. . . . . 6 |- ( B e. TopBases -> B C_ ( topGen ` B ) )
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> B C_ ( topGen ` B ) )
7		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> ( topGen ` B ) = J )
8	6, 7	sseqtrd 3230	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> B C_ J )
9	8	ex 115	. . 3 |- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J -> B C_ J ) )
10	9	pm4.71rd 394	. 2 |- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J <-> ( B C_ J /\ ( topGen ` B ) = J ) ) )
11		bastop1 14526	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( ( topGen ` B ) = J <-> A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) )
12	11	pm5.32da 452	. 2 |- ( J e. Top -> ( ( B C_ J /\ ( topGen ` B ) = J ) <-> ( B C_ J /\ A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) ) )
13	10, 12	bitrd 188	1 |- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J <-> ( B C_ J /\ A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   E.wex 1514   e. wcel 2175   A.wral 2483   C_ wss 3165   U.cuni 3849   ` cfv 5270   topGenctg 13057   Topctop 14440   TopBasesctb 14485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-topgen 13063  df-top 14441  df-bases 14486

This theorem is referenced by: (None)