Theorem bastop2 11951

Description: A version of bastop1 11950 that doesn't have B C_ J in the antecedent. (Contributed by NM, 3-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
bastop2	|- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J <-> ( B C_ J /\ A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, J, y

Proof of Theorem bastop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2157	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` B ) = J -> ( ( topGen ` B ) e. Top <-> J e. Top ) )
2	1	biimparc 294	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> ( topGen ` B ) e. Top )
3		tgclb 11932	. . . . . . 7 |- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )
4	2, 3	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> B e. TopBases )
5		bastg 11928	. . . . . 6 |- ( B e. TopBases -> B C_ ( topGen ` B ) )
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> B C_ ( topGen ` B ) )
7		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> ( topGen ` B ) = J )
8	6, 7	sseqtrd 3077	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> B C_ J )
9	8	ex 114	. . 3 |- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J -> B C_ J ) )
10	9	pm4.71rd 387	. 2 |- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J <-> ( B C_ J /\ ( topGen ` B ) = J ) ) )
11		bastop1 11950	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( ( topGen ` B ) = J <-> A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) )
12	11	pm5.32da 441	. 2 |- ( J e. Top -> ( ( B C_ J /\ ( topGen ` B ) = J ) <-> ( B C_ J /\ A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) ) )
13	10, 12	bitrd 187	1 |- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J <-> ( B C_ J /\ A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1296   E.wex 1433   e. wcel 1445   A.wral 2370   C_ wss 3013   U.cuni 3675   ` cfv 5049   topGenctg 11834   Topctop 11863   TopBasesctb 11907

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-topgen 11840  df-top 11864  df-bases 11908

This theorem is referenced by: (None)