ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bastop2 Unicode version

Theorem bastop2 11951
Description: A version of bastop1 11950 that doesn't have  B  C_  J in the antecedent. (Contributed by NM, 3-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
bastop2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( topGen `  B )  =  J  <->  ( B  C_  J  /\  A. x  e.  J  E. y ( y  C_  B  /\  x  =  U. y
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B   
x, J, y

Proof of Theorem bastop2
StepHypRef Expression
1 eleq1 2157 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  B )  =  J  ->  ( ( topGen `
 B )  e. 
Top 
<->  J  e.  Top )
)
21biimparc 294 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( topGen `  B )  =  J )  ->  ( topGen `
 B )  e. 
Top )
3 tgclb 11932 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )
42, 3sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( topGen `  B )  =  J )  ->  B  e. 
TopBases )
5 bastg 11928 . . . . . 6  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
64, 5syl 14 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( topGen `  B )  =  J )  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
7 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( topGen `  B )  =  J )  ->  ( topGen `
 B )  =  J )
86, 7sseqtrd 3077 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( topGen `  B )  =  J )  ->  B  C_  J )
98ex 114 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( topGen `  B )  =  J  ->  B  C_  J ) )
109pm4.71rd 387 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( topGen `  B )  =  J  <->  ( B  C_  J  /\  ( topGen `  B
)  =  J ) ) )
11 bastop1 11950 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  -> 
( ( topGen `  B
)  =  J  <->  A. x  e.  J  E. y
( y  C_  B  /\  x  =  U. y ) ) )
1211pm5.32da 441 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( B  C_  J  /\  ( topGen `  B )  =  J )  <->  ( B  C_  J  /\  A. x  e.  J  E. y
( y  C_  B  /\  x  =  U. y ) ) ) )
1310, 12bitrd 187 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( topGen `  B )  =  J  <->  ( B  C_  J  /\  A. x  e.  J  E. y ( y  C_  B  /\  x  =  U. y
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1296   E.wex 1433    e. wcel 1445   A.wral 2370    C_ wss 3013   U.cuni 3675   ` cfv 5049   topGenctg 11834   Topctop 11863   TopBasesctb 11907
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-topgen 11840  df-top 11864  df-bases 11908
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator