ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bastop2 Unicode version

Theorem bastop2 13967
Description: A version of bastop1 13966 that doesn't have  B  C_  J in the antecedent. (Contributed by NM, 3-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
bastop2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( topGen `  B )  =  J  <->  ( B  C_  J  /\  A. x  e.  J  E. y ( y  C_  B  /\  x  =  U. y
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B   
x, J, y

Proof of Theorem bastop2
StepHypRef Expression
1 eleq1 2251 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  B )  =  J  ->  ( ( topGen `
 B )  e. 
Top 
<->  J  e.  Top )
)
21biimparc 299 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( topGen `  B )  =  J )  ->  ( topGen `
 B )  e. 
Top )
3 tgclb 13948 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )
42, 3sylibr 134 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( topGen `  B )  =  J )  ->  B  e. 
TopBases )
5 bastg 13944 . . . . . 6  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
64, 5syl 14 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( topGen `  B )  =  J )  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
7 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( topGen `  B )  =  J )  ->  ( topGen `
 B )  =  J )
86, 7sseqtrd 3207 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( topGen `  B )  =  J )  ->  B  C_  J )
98ex 115 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( topGen `  B )  =  J  ->  B  C_  J ) )
109pm4.71rd 394 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( topGen `  B )  =  J  <->  ( B  C_  J  /\  ( topGen `  B
)  =  J ) ) )
11 bastop1 13966 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  J )  -> 
( ( topGen `  B
)  =  J  <->  A. x  e.  J  E. y
( y  C_  B  /\  x  =  U. y ) ) )
1211pm5.32da 452 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( B  C_  J  /\  ( topGen `  B )  =  J )  <->  ( B  C_  J  /\  A. x  e.  J  E. y
( y  C_  B  /\  x  =  U. y ) ) ) )
1310, 12bitrd 188 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( topGen `  B )  =  J  <->  ( B  C_  J  /\  A. x  e.  J  E. y ( y  C_  B  /\  x  =  U. y
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1363   E.wex 1502    e. wcel 2159   A.wral 2467    C_ wss 3143   U.cuni 3823   ` cfv 5230   topGenctg 12724   Topctop 13880   TopBasesctb 13925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rex 2473  df-v 2753  df-sbc 2977  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fv 5238  df-topgen 12730  df-top 13881  df-bases 13926
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator