Theorem bastop2 14252

Description: A version of bastop1 14251 that doesn't have B C_ J in the antecedent. (Contributed by NM, 3-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
bastop2	|- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J <-> ( B C_ J /\ A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, J, y

Proof of Theorem bastop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2256	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` B ) = J -> ( ( topGen ` B ) e. Top <-> J e. Top ) )
2	1	biimparc 299	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> ( topGen ` B ) e. Top )
3		tgclb 14233	. . . . . . 7 |- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )
4	2, 3	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> B e. TopBases )
5		bastg 14229	. . . . . 6 |- ( B e. TopBases -> B C_ ( topGen ` B ) )
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> B C_ ( topGen ` B ) )
7		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> ( topGen ` B ) = J )
8	6, 7	sseqtrd 3217	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> B C_ J )
9	8	ex 115	. . 3 |- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J -> B C_ J ) )
10	9	pm4.71rd 394	. 2 |- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J <-> ( B C_ J /\ ( topGen ` B ) = J ) ) )
11		bastop1 14251	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( ( topGen ` B ) = J <-> A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) )
12	11	pm5.32da 452	. 2 |- ( J e. Top -> ( ( B C_ J /\ ( topGen ` B ) = J ) <-> ( B C_ J /\ A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) ) )
13	10, 12	bitrd 188	1 |- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J <-> ( B C_ J /\ A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   C_ wss 3153   U.cuni 3835   ` cfv 5254   topGenctg 12865   Topctop 14165   TopBasesctb 14210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-topgen 12871  df-top 14166  df-bases 14211

This theorem is referenced by: (None)