Theorem bastop2 12878

Description: A version of bastop1 12877 that doesn't have B C_ J in the antecedent. (Contributed by NM, 3-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
bastop2	|- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J <-> ( B C_ J /\ A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, J, y

Proof of Theorem bastop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2233	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` B ) = J -> ( ( topGen ` B ) e. Top <-> J e. Top ) )
2	1	biimparc 297	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> ( topGen ` B ) e. Top )
3		tgclb 12859	. . . . . . 7 |- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )
4	2, 3	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> B e. TopBases )
5		bastg 12855	. . . . . 6 |- ( B e. TopBases -> B C_ ( topGen ` B ) )
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> B C_ ( topGen ` B ) )
7		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> ( topGen ` B ) = J )
8	6, 7	sseqtrd 3185	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( topGen ` B ) = J ) -> B C_ J )
9	8	ex 114	. . 3 |- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J -> B C_ J ) )
10	9	pm4.71rd 392	. 2 |- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J <-> ( B C_ J /\ ( topGen ` B ) = J ) ) )
11		bastop1 12877	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ B C_ J ) -> ( ( topGen ` B ) = J <-> A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) )
12	11	pm5.32da 449	. 2 |- ( J e. Top -> ( ( B C_ J /\ ( topGen ` B ) = J ) <-> ( B C_ J /\ A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) ) )
13	10, 12	bitrd 187	1 |- ( J e. Top -> ( ( topGen ` B ) = J <-> ( B C_ J /\ A. x e. J E. y ( y C_ B /\ x = U. y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   C_ wss 3121   U.cuni 3796   ` cfv 5198   topGenctg 12594   Topctop 12789   TopBasesctb 12834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-topgen 12600  df-top 12790  df-bases 12835

This theorem is referenced by: (None)