Theorem bastop2 14875

Description: A version of bastop1 14874 that doesn't have 𝐵 ⊆ 𝐽 in the antecedent. (Contributed by NM, 3-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
bastop2	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem bastop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2294	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘𝐵) = 𝐽 → ((topGen‘𝐵) ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Top))
2	1	biimparc 299	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
3		tgclb 14856	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
4	2, 3	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ∈ TopBases)
5		bastg 14852	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
7		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)
8	6, 7	sseqtrd 3266	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝐽)
9	8	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝐽))
10	9	pm4.71rd 394	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽)))
11		bastop1 14874	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽) → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦)))
12	11	pm5.32da 452	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦))))
13	10, 12	bitrd 188	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511   ⊆ wss 3201  ∪ cuni 3898  ‘cfv 5333  topGenctg 13398  Topctop 14788  TopBasesctb 14833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-topgen 13404  df-top 14789  df-bases 14834

This theorem is referenced by: (None)