Theorem bastop2 14320

Description: A version of bastop1 14319 that doesn't have 𝐵 ⊆ 𝐽 in the antecedent. (Contributed by NM, 3-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
bastop2	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem bastop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2259	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘𝐵) = 𝐽 → ((topGen‘𝐵) ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Top))
2	1	biimparc 299	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
3		tgclb 14301	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
4	2, 3	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ∈ TopBases)
5		bastg 14297	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
6	4, 5	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
7		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)
8	6, 7	sseqtrd 3221	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝐽)
9	8	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝐽))
10	9	pm4.71rd 394	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽)))
11		bastop1 14319	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽) → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦)))
12	11	pm5.32da 452	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) ↔ (𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦))))
13	10, 12	bitrd 188	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦(𝑦 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = ∪ 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   ⊆ wss 3157  ∪ cuni 3839  ‘cfv 5258  topGenctg 12925  Topctop 14233  TopBasesctb 14278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-topgen 12931  df-top 14234  df-bases 14279

This theorem is referenced by: (None)