Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bastop2 GIF version

Theorem bastop2 12262
 Description: A version of bastop1 12261 that doesn't have 𝐵 ⊆ 𝐽 in the antecedent. (Contributed by NM, 3-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
bastop2 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵𝐽 ∧ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem bastop2
StepHypRef Expression
1 eleq1 2202 . . . . . . . 8 ((topGen‘𝐵) = 𝐽 → ((topGen‘𝐵) ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Top))
21biimparc 297 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
3 tgclb 12243 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
42, 3sylibr 133 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ∈ TopBases)
5 bastg 12239 . . . . . 6 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
64, 5syl 14 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
7 simpr 109 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)
86, 7sseqtrd 3135 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵𝐽)
98ex 114 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽𝐵𝐽))
109pm4.71rd 391 . 2 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵𝐽 ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽)))
11 bastop1 12261 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝐽) → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦)))
1211pm5.32da 447 . 2 (𝐽 ∈ Top → ((𝐵𝐽 ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) ↔ (𝐵𝐽 ∧ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦))))
1310, 12bitrd 187 1 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵𝐽 ∧ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416   ⊆ wss 3071  ∪ cuni 3736  ‘cfv 5123  topGenctg 12144  Topctop 12173  TopBasesctb 12218 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topgen 12150  df-top 12174  df-bases 12219 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator