ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bastop2 GIF version

Theorem bastop2 12180
Description: A version of bastop1 12179 that doesn't have 𝐵𝐽 in the antecedent. (Contributed by NM, 3-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
bastop2 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵𝐽 ∧ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦

Proof of Theorem bastop2
StepHypRef Expression
1 eleq1 2180 . . . . . . . 8 ((topGen‘𝐵) = 𝐽 → ((topGen‘𝐵) ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Top))
21biimparc 297 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
3 tgclb 12161 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
42, 3sylibr 133 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ∈ TopBases)
5 bastg 12157 . . . . . 6 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
64, 5syl 14 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
7 simpr 109 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)
86, 7sseqtrd 3105 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) → 𝐵𝐽)
98ex 114 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽𝐵𝐽))
109pm4.71rd 391 . 2 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵𝐽 ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽)))
11 bastop1 12179 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝐽) → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦)))
1211pm5.32da 447 . 2 (𝐽 ∈ Top → ((𝐵𝐽 ∧ (topGen‘𝐵) = 𝐽) ↔ (𝐵𝐽 ∧ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦))))
1310, 12bitrd 187 1 (𝐽 ∈ Top → ((topGen‘𝐵) = 𝐽 ↔ (𝐵𝐽 ∧ ∀𝑥𝐽𝑦(𝑦𝐵𝑥 = 𝑦))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wex 1453  wcel 1465  wral 2393  wss 3041   cuni 3706  cfv 5093  topGenctg 12062  Topctop 12091  TopBasesctb 12136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-topgen 12068  df-top 12092  df-bases 12137
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator