ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bastop2 GIF version
Theorem bastop2 13724
Description: A version of bastop1 13723 that doesn't have 𝐡 βŠ† 𝐽 in the antecedent. (Contributed by NM, 3-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
bastop2 (𝐽 ∈ Top β†’ ((topGenβ€˜π΅) = 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝐽 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† 𝐡 ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐽,𝑦
Proof of Theorem bastop2
StepHypRef Expression
1 eleq1 2240 . . . . . . . 8 ((topGenβ€˜π΅) = 𝐽 β†’ ((topGenβ€˜π΅) ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Top))
21biimparc 299 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGenβ€˜π΅) = 𝐽) β†’ (topGenβ€˜π΅) ∈ Top)
3 tgclb 13705 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ TopBases ↔ (topGenβ€˜π΅) ∈ Top)
42, 3sylibr 134 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGenβ€˜π΅) = 𝐽) β†’ 𝐡 ∈ TopBases)
5 bastg 13701 . . . . . 6 (𝐡 ∈ TopBases β†’ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜π΅))
64, 5syl 14 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGenβ€˜π΅) = 𝐽) β†’ 𝐡 βŠ† (topGenβ€˜π΅))
7 simpr 110 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGenβ€˜π΅) = 𝐽) β†’ (topGenβ€˜π΅) = 𝐽)
86, 7sseqtrd 3195 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (topGenβ€˜π΅) = 𝐽) β†’ 𝐡 βŠ† 𝐽)
98ex 115 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ ((topGenβ€˜π΅) = 𝐽 β†’ 𝐡 βŠ† 𝐽))
109pm4.71rd 394 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ ((topGenβ€˜π΅) = 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝐽 ∧ (topGenβ€˜π΅) = 𝐽)))
11 bastop1 13723 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐡 βŠ† 𝐽) β†’ ((topGenβ€˜π΅) = 𝐽 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† 𝐡 ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦)))
1211pm5.32da 452 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ ((𝐡 βŠ† 𝐽 ∧ (topGenβ€˜π΅) = 𝐽) ↔ (𝐡 βŠ† 𝐽 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† 𝐡 ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦))))
1310, 12bitrd 188 1 (𝐽 ∈ Top β†’ ((topGenβ€˜π΅) = 𝐽 ↔ (𝐡 βŠ† 𝐽 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦(𝑦 βŠ† 𝐡 ∧ π‘₯ = βˆͺ 𝑦))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455   βŠ† wss 3131  βˆͺ cuni 3811  β€˜cfv 5218  topGenctg 12709  Topctop 13637  TopBasesctb 13682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-topgen 12715  df-top 13638  df-bases 13683
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator