Theorem breqtrdi 4172

Description: A chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
breqtrdi.1	|- ( ph -> A R B )
breqtrdi.2	|- B = C

Assertion

Ref	Expression
breqtrdi	|- ( ph -> A R C )

Proof of Theorem breqtrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breqtrdi.1	. 2 |- ( ph -> A R B )
2		eqid 2238	. 2 |- A = A
3		breqtrdi.2	. 2 |- B = C
4	1, 2, 3	3brtr3g 4164	1 |- ( ph -> A R C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132

This theorem is used by:  breqtrrdi  4173  en2eleq  7554  en2other2  7555  dju0en  7577  ltm1sr  8151  maxle2  12002  xrmax2sup  12046  mertenslem2  12329  ege2le3  12464  cos01gt0  12556  sin02gt0  12557  cos12dec  12561  bitsfzolem  12747  bitsmod  12749  unennn  13347  dvef  15965  sin0pilem2  16021  cosq23lt0  16072  cosq34lt1  16090  cos02pilt1  16091  logbgcd1irraplemexp  16216  pellexlem2  16242  ppiqeq0  16292  ppiqub  16305  bposlem1  16323  bposlem2  16324  lgslem3  16338  lgsquadlem1  16413  lgsquadlem3  16415  trilpolemeq1  17308