ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unennn Unicode version

Theorem unennn 11805
Description: The union of two disjoint countably infinite sets is countably infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
unennn  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  ~~  NN )

Proof of Theorem unennn
StepHypRef Expression
1 oddennn 11800 . . . . . 6  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ~~  NN
21ensymi 6642 . . . . 5  |-  NN  ~~  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
3 entr 6644 . . . . 5  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  NN  ~~  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  ->  A  ~~  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )
42, 3mpan2 419 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  A  ~~  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )
543ad2ant1 985 . . 3  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A  ~~  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )
6 evenennn 11801 . . . . . 6  |-  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  ~~  NN
76ensymi 6642 . . . . 5  |-  NN  ~~  { z  e.  NN  | 
2  ||  z }
8 entr 6644 . . . . 5  |-  ( ( B  ~~  NN  /\  NN  ~~  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )  ->  B  ~~  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )
97, 8mpan2 419 . . . 4  |-  ( B 
~~  NN  ->  B  ~~  { z  e.  NN  | 
2  ||  z }
)
1093ad2ant2 986 . . 3  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  ~~  { z  e.  NN  | 
2  ||  z }
)
11 simp3 966 . . 3  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
12 inrab 3316 . . . . 5  |-  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  i^i  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )  =  {
z  e.  NN  | 
( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z
) }
13 pm3.24 665 . . . . . . . 8  |-  -.  (
2  ||  z  /\  -.  2  ||  z )
14 ancom 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  ||  z  /\  -.  2  ||  z )  <-> 
( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z
) )
1513, 14mtbi 642 . . . . . . 7  |-  -.  ( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z )
1615rgenw 2462 . . . . . 6  |-  A. z  e.  NN  -.  ( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z )
17 rabeq0 3360 . . . . . 6  |-  ( { z  e.  NN  | 
( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z
) }  =  (/)  <->  A. z  e.  NN  -.  ( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z
) )
1816, 17mpbir 145 . . . . 5  |-  { z  e.  NN  |  ( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z ) }  =  (/)
1912, 18eqtri 2136 . . . 4  |-  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  i^i  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )  =  (/)
2019a1i 9 . . 3  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  i^i  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )  =  (/) )
21 unen 6676 . . 3  |-  ( ( ( A  ~~  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  B  ~~  {
z  e.  NN  | 
2  ||  z }
)  /\  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  i^i  { z  e.  NN  | 
2  ||  z }
)  =  (/) ) )  ->  ( A  u.  B )  ~~  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  u.  { z  e.  NN  |  2  ||  z } ) )
225, 10, 11, 20, 21syl22anc 1200 . 2  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  ~~  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  u.  { z  e.  NN  |  2  ||  z } ) )
23 unrab 3315 . . 3  |-  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  u.  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )  =  {
z  e.  NN  | 
( -.  2  ||  z  \/  2  ||  z ) }
24 rabid2 2582 . . . 4  |-  ( NN  =  { z  e.  NN  |  ( -.  2  ||  z  \/  2  ||  z ) }  <->  A. z  e.  NN  ( -.  2  ||  z  \/  2  ||  z ) )
25 nnz 9024 . . . . . 6  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  ZZ )
26 2z 9033 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
27 zdvdsdc 11410 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  -> DECID  2 
||  z )
2826, 27mpan 418 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ  -> DECID  2  ||  z )
29 exmiddc 804 . . . . . 6  |-  (DECID  2  ||  z  ->  ( 2  ||  z  \/  -.  2  ||  z ) )
3025, 28, 293syl 17 . . . . 5  |-  ( z  e.  NN  ->  (
2  ||  z  \/  -.  2  ||  z ) )
3130orcomd 701 . . . 4  |-  ( z  e.  NN  ->  ( -.  2  ||  z  \/  2  ||  z ) )
3224, 31mprgbir 2465 . . 3  |-  NN  =  { z  e.  NN  |  ( -.  2  ||  z  \/  2  ||  z ) }
3323, 32eqtr4i 2139 . 2  |-  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  u.  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )  =  NN
3422, 33breqtrdi 3937 1  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  ~~  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 680  DECID wdc 802    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   {crab 2395    u. cun 3037    i^i cin 3038   (/)c0 3331   class class class wbr 3897    ~~ cen 6598   NNcn 8677   2c2 8728   ZZcz 9005    || cdvds 11389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-xor 1337  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-er 6395  df-en 6601  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-n0 8929  df-z 9006  df-q 9361  df-rp 9391  df-fl 9983  df-mod 10036  df-dvds 11390
This theorem is referenced by:  znnen  11806
  Copyright terms: Public domain W3C validator