Theorem unennn 12352

Description: The union of two disjoint countably infinite sets is countably infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unennn	|- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) ~~ NN )

Proof of Theorem unennn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddennn 12347	. . . . . 6 |- { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN
2	1	ensymi 6760	. . . . 5 |- NN ~~ { z e. NN | -. 2 || z }
3		entr 6762	. . . . 5 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ { z e. NN | -. 2 || z } ) -> A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } )
4	2, 3	mpan2 423	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } )
5	4	3ad2ant1 1013	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } )
6		evenennn 12348	. . . . . 6 |- { z e. NN | 2 || z } ~~ NN
7	6	ensymi 6760	. . . . 5 |- NN ~~ { z e. NN | 2 || z }
8		entr 6762	. . . . 5 |- ( ( B ~~ NN /\ NN ~~ { z e. NN | 2 || z } ) -> B ~~ { z e. NN | 2 || z } )
9	7, 8	mpan2 423	. . . 4 |- ( B ~~ NN -> B ~~ { z e. NN | 2 || z } )
10	9	3ad2ant2 1014	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> B ~~ { z e. NN | 2 || z } )
11		simp3 994	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
12		inrab 3399	. . . . 5 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = { z e. NN | ( -. 2 || z /\ 2 || z ) }
13		pm3.24 688	. . . . . . . 8 |- -. ( 2 || z /\ -. 2 || z )
14		ancom 264	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 || z /\ -. 2 || z ) <-> ( -. 2 || z /\ 2 || z ) )
15	13, 14	mtbi 665	. . . . . . 7 |- -. ( -. 2 || z /\ 2 || z )
16	15	rgenw 2525	. . . . . 6 |- A. z e. NN -. ( -. 2 || z /\ 2 || z )
17		rabeq0 3444	. . . . . 6 |- ( { z e. NN | ( -. 2 || z /\ 2 || z ) } = (/) <-> A. z e. NN -. ( -. 2 || z /\ 2 || z ) )
18	16, 17	mpbir 145	. . . . 5 |- { z e. NN | ( -. 2 || z /\ 2 || z ) } = (/)
19	12, 18	eqtri 2191	. . . 4 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = (/)
20	19	a1i 9	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = (/) )
21		unen 6794	. . 3 |- ( ( ( A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } /\ B ~~ { z e. NN | 2 || z } ) /\ ( ( A i^i B ) = (/) /\ ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = (/) ) ) -> ( A u. B ) ~~ ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) )
22	5, 10, 11, 20, 21	syl22anc 1234	. 2 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) ~~ ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) )
23		unrab 3398	. . 3 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) = { z e. NN | ( -. 2 || z \/ 2 || z ) }
24		rabid2 2646	. . . 4 |- ( NN = { z e. NN | ( -. 2 || z \/ 2 || z ) } <-> A. z e. NN ( -. 2 || z \/ 2 || z ) )
25		nnz 9231	. . . . . 6 |- ( z e. NN -> z e. ZZ )
26		2z 9240	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
27		zdvdsdc 11774	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> DECID 2 || z )
28	26, 27	mpan 422	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ -> DECID 2 || z )
29		exmiddc 831	. . . . . 6 |- (DECID 2 || z -> ( 2 || z \/ -. 2 || z ) )
30	25, 28, 29	3syl 17	. . . . 5 |- ( z e. NN -> ( 2 || z \/ -. 2 || z ) )
31	30	orcomd 724	. . . 4 |- ( z e. NN -> ( -. 2 || z \/ 2 || z ) )
32	24, 31	mprgbir 2528	. . 3 |- NN = { z e. NN | ( -. 2 || z \/ 2 || z ) }
33	23, 32	eqtr4i 2194	. 2 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) = NN
34	22, 33	breqtrdi 4030	1 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) ~~ NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703  DECID wdc 829   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   {crab 2452   u. cun 3119   i^i cin 3120   (/)c0 3414   class class class wbr 3989   ~~ cen 6716   NNcn 8878   2c2 8929   ZZcz 9212   || cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-er 6513  df-en 6719  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-q 9579  df-rp 9611  df-fl 10226  df-mod 10279  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  znnen  12353