ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unennn Unicode version

Theorem unennn 10989
Description: The union of two disjoint countably infinite sets is countably infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
unennn  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  ~~  NN )

Proof of Theorem unennn
StepHypRef Expression
1 oddennn 10984 . . . . . 6  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ~~  NN
21ensymi 6428 . . . . 5  |-  NN  ~~  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
3 entr 6430 . . . . 5  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  NN  ~~  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  ->  A  ~~  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )
42, 3mpan2 416 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  A  ~~  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )
543ad2ant1 960 . . 3  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A  ~~  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )
6 evenennn 10985 . . . . . 6  |-  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  ~~  NN
76ensymi 6428 . . . . 5  |-  NN  ~~  { z  e.  NN  | 
2  ||  z }
8 entr 6430 . . . . 5  |-  ( ( B  ~~  NN  /\  NN  ~~  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )  ->  B  ~~  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )
97, 8mpan2 416 . . . 4  |-  ( B 
~~  NN  ->  B  ~~  { z  e.  NN  | 
2  ||  z }
)
1093ad2ant2 961 . . 3  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  ~~  { z  e.  NN  | 
2  ||  z }
)
11 simp3 941 . . 3  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
12 inrab 3254 . . . . 5  |-  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  i^i  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )  =  {
z  e.  NN  | 
( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z
) }
13 pm3.24 660 . . . . . . . 8  |-  -.  (
2  ||  z  /\  -.  2  ||  z )
14 ancom 262 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  ||  z  /\  -.  2  ||  z )  <-> 
( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z
) )
1513, 14mtbi 628 . . . . . . 7  |-  -.  ( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z )
1615rgenw 2424 . . . . . 6  |-  A. z  e.  NN  -.  ( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z )
17 rabeq0 3295 . . . . . 6  |-  ( { z  e.  NN  | 
( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z
) }  =  (/)  <->  A. z  e.  NN  -.  ( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z
) )
1816, 17mpbir 144 . . . . 5  |-  { z  e.  NN  |  ( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z ) }  =  (/)
1912, 18eqtri 2103 . . . 4  |-  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  i^i  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )  =  (/)
2019a1i 9 . . 3  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  i^i  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )  =  (/) )
21 unen 6462 . . 3  |-  ( ( ( A  ~~  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  B  ~~  {
z  e.  NN  | 
2  ||  z }
)  /\  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  i^i  { z  e.  NN  | 
2  ||  z }
)  =  (/) ) )  ->  ( A  u.  B )  ~~  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  u.  { z  e.  NN  |  2  ||  z } ) )
225, 10, 11, 20, 21syl22anc 1171 . 2  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  ~~  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  u.  { z  e.  NN  |  2  ||  z } ) )
23 unrab 3253 . . 3  |-  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  u.  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )  =  {
z  e.  NN  | 
( -.  2  ||  z  \/  2  ||  z ) }
24 rabid2 2536 . . . 4  |-  ( NN  =  { z  e.  NN  |  ( -.  2  ||  z  \/  2  ||  z ) }  <->  A. z  e.  NN  ( -.  2  ||  z  \/  2  ||  z ) )
25 nnz 8664 . . . . . 6  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  ZZ )
26 2z 8673 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
27 zdvdsdc 10596 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  -> DECID  2 
||  z )
2826, 27mpan 415 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ  -> DECID  2  ||  z )
29 exmiddc 778 . . . . . 6  |-  (DECID  2  ||  z  ->  ( 2  ||  z  \/  -.  2  ||  z ) )
3025, 28, 293syl 17 . . . . 5  |-  ( z  e.  NN  ->  (
2  ||  z  \/  -.  2  ||  z ) )
3130orcomd 681 . . . 4  |-  ( z  e.  NN  ->  ( -.  2  ||  z  \/  2  ||  z ) )
3224, 31mprgbir 2427 . . 3  |-  NN  =  { z  e.  NN  |  ( -.  2  ||  z  \/  2  ||  z ) }
3323, 32eqtr4i 2106 . 2  |-  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  u.  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )  =  NN
3422, 33syl6breq 3850 1  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  ~~  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 662  DECID wdc 776    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   {crab 2357    u. cun 2982    i^i cin 2983   (/)c0 3269   class class class wbr 3811    ~~ cen 6384   NNcn 8315   2c2 8365   ZZcz 8645    || cdvds 10575
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-mulrcl 7346  ax-addcom 7347  ax-mulcom 7348  ax-addass 7349  ax-mulass 7350  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-1rid 7354  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-precex 7357  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-ltwlin 7360  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-apti 7362  ax-pre-ltadd 7363  ax-pre-mulgt0 7364  ax-pre-mulext 7365  ax-arch 7366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-xor 1308  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-rn 4411  df-res 4412  df-ima 4413  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-f 4972  df-f1 4973  df-fo 4974  df-f1o 4975  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-1st 5845  df-2nd 5846  df-er 6221  df-en 6387  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-xr 7428  df-ltxr 7429  df-le 7430  df-sub 7557  df-neg 7558  df-reap 7951  df-ap 7958  df-div 8037  df-inn 8316  df-2 8374  df-n0 8565  df-z 8646  df-q 8999  df-rp 9029  df-fl 9565  df-mod 9618  df-dvds 10576
This theorem is referenced by:  znnen  10990
  Copyright terms: Public domain W3C validator