Theorem unennn 12400

Description: The union of two disjoint countably infinite sets is countably infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unennn	|- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) ~~ NN )

Proof of Theorem unennn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddennn 12395	. . . . . 6 |- { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN
2	1	ensymi 6784	. . . . 5 |- NN ~~ { z e. NN | -. 2 || z }
3		entr 6786	. . . . 5 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ { z e. NN | -. 2 || z } ) -> A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } )
4	2, 3	mpan2 425	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } )
5	4	3ad2ant1 1018	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } )
6		evenennn 12396	. . . . . 6 |- { z e. NN | 2 || z } ~~ NN
7	6	ensymi 6784	. . . . 5 |- NN ~~ { z e. NN | 2 || z }
8		entr 6786	. . . . 5 |- ( ( B ~~ NN /\ NN ~~ { z e. NN | 2 || z } ) -> B ~~ { z e. NN | 2 || z } )
9	7, 8	mpan2 425	. . . 4 |- ( B ~~ NN -> B ~~ { z e. NN | 2 || z } )
10	9	3ad2ant2 1019	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> B ~~ { z e. NN | 2 || z } )
11		simp3 999	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
12		inrab 3409	. . . . 5 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = { z e. NN | ( -. 2 || z /\ 2 || z ) }
13		pm3.24 693	. . . . . . . 8 |- -. ( 2 || z /\ -. 2 || z )
14		ancom 266	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 || z /\ -. 2 || z ) <-> ( -. 2 || z /\ 2 || z ) )
15	13, 14	mtbi 670	. . . . . . 7 |- -. ( -. 2 || z /\ 2 || z )
16	15	rgenw 2532	. . . . . 6 |- A. z e. NN -. ( -. 2 || z /\ 2 || z )
17		rabeq0 3454	. . . . . 6 |- ( { z e. NN | ( -. 2 || z /\ 2 || z ) } = (/) <-> A. z e. NN -. ( -. 2 || z /\ 2 || z ) )
18	16, 17	mpbir 146	. . . . 5 |- { z e. NN | ( -. 2 || z /\ 2 || z ) } = (/)
19	12, 18	eqtri 2198	. . . 4 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = (/)
20	19	a1i 9	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = (/) )
21		unen 6818	. . 3 |- ( ( ( A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } /\ B ~~ { z e. NN | 2 || z } ) /\ ( ( A i^i B ) = (/) /\ ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = (/) ) ) -> ( A u. B ) ~~ ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) )
22	5, 10, 11, 20, 21	syl22anc 1239	. 2 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) ~~ ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) )
23		unrab 3408	. . 3 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) = { z e. NN | ( -. 2 || z \/ 2 || z ) }
24		rabid2 2654	. . . 4 |- ( NN = { z e. NN | ( -. 2 || z \/ 2 || z ) } <-> A. z e. NN ( -. 2 || z \/ 2 || z ) )
25		nnz 9274	. . . . . 6 |- ( z e. NN -> z e. ZZ )
26		2z 9283	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
27		zdvdsdc 11821	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> DECID 2 || z )
28	26, 27	mpan 424	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ -> DECID 2 || z )
29		exmiddc 836	. . . . . 6 |- (DECID 2 || z -> ( 2 || z \/ -. 2 || z ) )
30	25, 28, 29	3syl 17	. . . . 5 |- ( z e. NN -> ( 2 || z \/ -. 2 || z ) )
31	30	orcomd 729	. . . 4 |- ( z e. NN -> ( -. 2 || z \/ 2 || z ) )
32	24, 31	mprgbir 2535	. . 3 |- NN = { z e. NN | ( -. 2 || z \/ 2 || z ) }
33	23, 32	eqtr4i 2201	. 2 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) = NN
34	22, 33	breqtrdi 4046	1 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) ~~ NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   u. cun 3129   i^i cin 3130   (/)c0 3424   class class class wbr 4005   ~~ cen 6740   NNcn 8921   2c2 8972   ZZcz 9255   || cdvds 11796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-er 6537  df-en 6743  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-q 9622  df-rp 9656  df-fl 10272  df-mod 10325  df-dvds 11797

This theorem is referenced by:  znnen  12401