Theorem unennn 12768

Description: The union of two disjoint countably infinite sets is countably infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unennn	|- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) ~~ NN )

Proof of Theorem unennn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddennn 12763	. . . . . 6 |- { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN
2	1	ensymi 6874	. . . . 5 |- NN ~~ { z e. NN | -. 2 || z }
3		entr 6876	. . . . 5 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ { z e. NN | -. 2 || z } ) -> A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } )
4	2, 3	mpan2 425	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } )
5	4	3ad2ant1 1021	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } )
6		evenennn 12764	. . . . . 6 |- { z e. NN | 2 || z } ~~ NN
7	6	ensymi 6874	. . . . 5 |- NN ~~ { z e. NN | 2 || z }
8		entr 6876	. . . . 5 |- ( ( B ~~ NN /\ NN ~~ { z e. NN | 2 || z } ) -> B ~~ { z e. NN | 2 || z } )
9	7, 8	mpan2 425	. . . 4 |- ( B ~~ NN -> B ~~ { z e. NN | 2 || z } )
10	9	3ad2ant2 1022	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> B ~~ { z e. NN | 2 || z } )
11		simp3 1002	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
12		inrab 3445	. . . . 5 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = { z e. NN | ( -. 2 || z /\ 2 || z ) }
13		pm3.24 695	. . . . . . . 8 |- -. ( 2 || z /\ -. 2 || z )
14		ancom 266	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 || z /\ -. 2 || z ) <-> ( -. 2 || z /\ 2 || z ) )
15	13, 14	mtbi 672	. . . . . . 7 |- -. ( -. 2 || z /\ 2 || z )
16	15	rgenw 2561	. . . . . 6 |- A. z e. NN -. ( -. 2 || z /\ 2 || z )
17		rabeq0 3490	. . . . . 6 |- ( { z e. NN | ( -. 2 || z /\ 2 || z ) } = (/) <-> A. z e. NN -. ( -. 2 || z /\ 2 || z ) )
18	16, 17	mpbir 146	. . . . 5 |- { z e. NN | ( -. 2 || z /\ 2 || z ) } = (/)
19	12, 18	eqtri 2226	. . . 4 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = (/)
20	19	a1i 9	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = (/) )
21		unen 6908	. . 3 |- ( ( ( A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } /\ B ~~ { z e. NN | 2 || z } ) /\ ( ( A i^i B ) = (/) /\ ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = (/) ) ) -> ( A u. B ) ~~ ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) )
22	5, 10, 11, 20, 21	syl22anc 1251	. 2 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) ~~ ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) )
23		unrab 3444	. . 3 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) = { z e. NN | ( -. 2 || z \/ 2 || z ) }
24		rabid2 2683	. . . 4 |- ( NN = { z e. NN | ( -. 2 || z \/ 2 || z ) } <-> A. z e. NN ( -. 2 || z \/ 2 || z ) )
25		nnz 9391	. . . . . 6 |- ( z e. NN -> z e. ZZ )
26		2z 9400	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
27		zdvdsdc 12123	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> DECID 2 || z )
28	26, 27	mpan 424	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ -> DECID 2 || z )
29		exmiddc 838	. . . . . 6 |- (DECID 2 || z -> ( 2 || z \/ -. 2 || z ) )
30	25, 28, 29	3syl 17	. . . . 5 |- ( z e. NN -> ( 2 || z \/ -. 2 || z ) )
31	30	orcomd 731	. . . 4 |- ( z e. NN -> ( -. 2 || z \/ 2 || z ) )
32	24, 31	mprgbir 2564	. . 3 |- NN = { z e. NN | ( -. 2 || z \/ 2 || z ) }
33	23, 32	eqtr4i 2229	. 2 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) = NN
34	22, 33	breqtrdi 4085	1 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) ~~ NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710  DECID wdc 836   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   {crab 2488   u. cun 3164   i^i cin 3165   (/)c0 3460   class class class wbr 4044   ~~ cen 6825   NNcn 9036   2c2 9087   ZZcz 9372   || cdvds 12098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-er 6620  df-en 6828  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296  df-z 9373  df-q 9741  df-rp 9776  df-fl 10413  df-mod 10468  df-dvds 12099

This theorem is referenced by:  znnen  12769