ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unennn Unicode version

Theorem unennn 11303
Description: The union of two disjoint countably infinite sets is countably infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
unennn  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  ~~  NN )

Proof of Theorem unennn
StepHypRef Expression
1 oddennn 11298 . . . . . 6  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ~~  NN
21ensymi 6479 . . . . 5  |-  NN  ~~  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
3 entr 6481 . . . . 5  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  NN  ~~  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )  ->  A  ~~  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )
42, 3mpan2 416 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  A  ~~  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )
543ad2ant1 964 . . 3  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A  ~~  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } )
6 evenennn 11299 . . . . . 6  |-  { z  e.  NN  |  2 
||  z }  ~~  NN
76ensymi 6479 . . . . 5  |-  NN  ~~  { z  e.  NN  | 
2  ||  z }
8 entr 6481 . . . . 5  |-  ( ( B  ~~  NN  /\  NN  ~~  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )  ->  B  ~~  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )
97, 8mpan2 416 . . . 4  |-  ( B 
~~  NN  ->  B  ~~  { z  e.  NN  | 
2  ||  z }
)
1093ad2ant2 965 . . 3  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  ~~  { z  e.  NN  | 
2  ||  z }
)
11 simp3 945 . . 3  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
12 inrab 3269 . . . . 5  |-  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  i^i  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )  =  {
z  e.  NN  | 
( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z
) }
13 pm3.24 662 . . . . . . . 8  |-  -.  (
2  ||  z  /\  -.  2  ||  z )
14 ancom 262 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  ||  z  /\  -.  2  ||  z )  <-> 
( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z
) )
1513, 14mtbi 630 . . . . . . 7  |-  -.  ( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z )
1615rgenw 2430 . . . . . 6  |-  A. z  e.  NN  -.  ( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z )
17 rabeq0 3310 . . . . . 6  |-  ( { z  e.  NN  | 
( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z
) }  =  (/)  <->  A. z  e.  NN  -.  ( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z
) )
1816, 17mpbir 144 . . . . 5  |-  { z  e.  NN  |  ( -.  2  ||  z  /\  2  ||  z ) }  =  (/)
1912, 18eqtri 2108 . . . 4  |-  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  i^i  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )  =  (/)
2019a1i 9 . . 3  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  i^i  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )  =  (/) )
21 unen 6513 . . 3  |-  ( ( ( A  ~~  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  /\  B  ~~  {
z  e.  NN  | 
2  ||  z }
)  /\  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  i^i  { z  e.  NN  | 
2  ||  z }
)  =  (/) ) )  ->  ( A  u.  B )  ~~  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  u.  { z  e.  NN  |  2  ||  z } ) )
225, 10, 11, 20, 21syl22anc 1175 . 2  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  ~~  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  u.  { z  e.  NN  |  2  ||  z } ) )
23 unrab 3268 . . 3  |-  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  u.  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )  =  {
z  e.  NN  | 
( -.  2  ||  z  \/  2  ||  z ) }
24 rabid2 2543 . . . 4  |-  ( NN  =  { z  e.  NN  |  ( -.  2  ||  z  \/  2  ||  z ) }  <->  A. z  e.  NN  ( -.  2  ||  z  \/  2  ||  z ) )
25 nnz 8739 . . . . . 6  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  ZZ )
26 2z 8748 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
27 zdvdsdc 10910 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  -> DECID  2 
||  z )
2826, 27mpan 415 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ  -> DECID  2  ||  z )
29 exmiddc 782 . . . . . 6  |-  (DECID  2  ||  z  ->  ( 2  ||  z  \/  -.  2  ||  z ) )
3025, 28, 293syl 17 . . . . 5  |-  ( z  e.  NN  ->  (
2  ||  z  \/  -.  2  ||  z ) )
3130orcomd 683 . . . 4  |-  ( z  e.  NN  ->  ( -.  2  ||  z  \/  2  ||  z ) )
3224, 31mprgbir 2433 . . 3  |-  NN  =  { z  e.  NN  |  ( -.  2  ||  z  \/  2  ||  z ) }
3323, 32eqtr4i 2111 . 2  |-  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  u.  { z  e.  NN  |  2  ||  z } )  =  NN
3422, 33syl6breq 3876 1  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  B  ~~  NN  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  ~~  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664  DECID wdc 780    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   {crab 2363    u. cun 2995    i^i cin 2996   (/)c0 3284   class class class wbr 3837    ~~ cen 6435   NNcn 8394   2c2 8444   ZZcz 8720    || cdvds 10889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-xor 1312  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-er 6272  df-en 6438  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-q 9074  df-rp 9104  df-fl 9642  df-mod 9695  df-dvds 10890
This theorem is referenced by:  znnen  11304
  Copyright terms: Public domain W3C validator