Theorem unennn 13017

Description: The union of two disjoint countably infinite sets is countably infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unennn	|- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) ~~ NN )

Proof of Theorem unennn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddennn 13012	. . . . . 6 |- { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN
2	1	ensymi 6955	. . . . 5 |- NN ~~ { z e. NN | -. 2 || z }
3		entr 6957	. . . . 5 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ { z e. NN | -. 2 || z } ) -> A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } )
4	2, 3	mpan2 425	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } )
5	4	3ad2ant1 1044	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } )
6		evenennn 13013	. . . . . 6 |- { z e. NN | 2 || z } ~~ NN
7	6	ensymi 6955	. . . . 5 |- NN ~~ { z e. NN | 2 || z }
8		entr 6957	. . . . 5 |- ( ( B ~~ NN /\ NN ~~ { z e. NN | 2 || z } ) -> B ~~ { z e. NN | 2 || z } )
9	7, 8	mpan2 425	. . . 4 |- ( B ~~ NN -> B ~~ { z e. NN | 2 || z } )
10	9	3ad2ant2 1045	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> B ~~ { z e. NN | 2 || z } )
11		simp3 1025	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
12		inrab 3479	. . . . 5 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = { z e. NN | ( -. 2 || z /\ 2 || z ) }
13		pm3.24 700	. . . . . . . 8 |- -. ( 2 || z /\ -. 2 || z )
14		ancom 266	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 || z /\ -. 2 || z ) <-> ( -. 2 || z /\ 2 || z ) )
15	13, 14	mtbi 676	. . . . . . 7 |- -. ( -. 2 || z /\ 2 || z )
16	15	rgenw 2587	. . . . . 6 |- A. z e. NN -. ( -. 2 || z /\ 2 || z )
17		rabeq0 3524	. . . . . 6 |- ( { z e. NN | ( -. 2 || z /\ 2 || z ) } = (/) <-> A. z e. NN -. ( -. 2 || z /\ 2 || z ) )
18	16, 17	mpbir 146	. . . . 5 |- { z e. NN | ( -. 2 || z /\ 2 || z ) } = (/)
19	12, 18	eqtri 2252	. . . 4 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = (/)
20	19	a1i 9	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = (/) )
21		unen 6990	. . 3 |- ( ( ( A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } /\ B ~~ { z e. NN | 2 || z } ) /\ ( ( A i^i B ) = (/) /\ ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = (/) ) ) -> ( A u. B ) ~~ ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) )
22	5, 10, 11, 20, 21	syl22anc 1274	. 2 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) ~~ ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) )
23		unrab 3478	. . 3 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) = { z e. NN | ( -. 2 || z \/ 2 || z ) }
24		rabid2 2710	. . . 4 |- ( NN = { z e. NN | ( -. 2 || z \/ 2 || z ) } <-> A. z e. NN ( -. 2 || z \/ 2 || z ) )
25		nnz 9497	. . . . . 6 |- ( z e. NN -> z e. ZZ )
26		2z 9506	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
27		zdvdsdc 12372	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> DECID 2 || z )
28	26, 27	mpan 424	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ -> DECID 2 || z )
29		exmiddc 843	. . . . . 6 |- (DECID 2 || z -> ( 2 || z \/ -. 2 || z ) )
30	25, 28, 29	3syl 17	. . . . 5 |- ( z e. NN -> ( 2 || z \/ -. 2 || z ) )
31	30	orcomd 736	. . . 4 |- ( z e. NN -> ( -. 2 || z \/ 2 || z ) )
32	24, 31	mprgbir 2590	. . 3 |- NN = { z e. NN | ( -. 2 || z \/ 2 || z ) }
33	23, 32	eqtr4i 2255	. 2 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) = NN
34	22, 33	breqtrdi 4129	1 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) ~~ NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   {crab 2514   u. cun 3198   i^i cin 3199   (/)c0 3494   class class class wbr 4088   ~~ cen 6906   NNcn 9142   2c2 9193   ZZcz 9478   || cdvds 12347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-xor 1420  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-er 6701  df-en 6909  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-q 9853  df-rp 9888  df-fl 10529  df-mod 10584  df-dvds 12348

This theorem is referenced by:  znnen  13018