Theorem unennn 12614

Description: The union of two disjoint countably infinite sets is countably infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 13-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unennn	|- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) ~~ NN )

Proof of Theorem unennn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddennn 12609	. . . . . 6 |- { z e. NN | -. 2 || z } ~~ NN
2	1	ensymi 6841	. . . . 5 |- NN ~~ { z e. NN | -. 2 || z }
3		entr 6843	. . . . 5 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ { z e. NN | -. 2 || z } ) -> A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } )
4	2, 3	mpan2 425	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } )
5	4	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } )
6		evenennn 12610	. . . . . 6 |- { z e. NN | 2 || z } ~~ NN
7	6	ensymi 6841	. . . . 5 |- NN ~~ { z e. NN | 2 || z }
8		entr 6843	. . . . 5 |- ( ( B ~~ NN /\ NN ~~ { z e. NN | 2 || z } ) -> B ~~ { z e. NN | 2 || z } )
9	7, 8	mpan2 425	. . . 4 |- ( B ~~ NN -> B ~~ { z e. NN | 2 || z } )
10	9	3ad2ant2 1021	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> B ~~ { z e. NN | 2 || z } )
11		simp3 1001	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
12		inrab 3435	. . . . 5 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = { z e. NN | ( -. 2 || z /\ 2 || z ) }
13		pm3.24 694	. . . . . . . 8 |- -. ( 2 || z /\ -. 2 || z )
14		ancom 266	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 || z /\ -. 2 || z ) <-> ( -. 2 || z /\ 2 || z ) )
15	13, 14	mtbi 671	. . . . . . 7 |- -. ( -. 2 || z /\ 2 || z )
16	15	rgenw 2552	. . . . . 6 |- A. z e. NN -. ( -. 2 || z /\ 2 || z )
17		rabeq0 3480	. . . . . 6 |- ( { z e. NN | ( -. 2 || z /\ 2 || z ) } = (/) <-> A. z e. NN -. ( -. 2 || z /\ 2 || z ) )
18	16, 17	mpbir 146	. . . . 5 |- { z e. NN | ( -. 2 || z /\ 2 || z ) } = (/)
19	12, 18	eqtri 2217	. . . 4 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = (/)
20	19	a1i 9	. . 3 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = (/) )
21		unen 6875	. . 3 |- ( ( ( A ~~ { z e. NN | -. 2 || z } /\ B ~~ { z e. NN | 2 || z } ) /\ ( ( A i^i B ) = (/) /\ ( { z e. NN | -. 2 || z } i^i { z e. NN | 2 || z } ) = (/) ) ) -> ( A u. B ) ~~ ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) )
22	5, 10, 11, 20, 21	syl22anc 1250	. 2 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) ~~ ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) )
23		unrab 3434	. . 3 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) = { z e. NN | ( -. 2 || z \/ 2 || z ) }
24		rabid2 2674	. . . 4 |- ( NN = { z e. NN | ( -. 2 || z \/ 2 || z ) } <-> A. z e. NN ( -. 2 || z \/ 2 || z ) )
25		nnz 9345	. . . . . 6 |- ( z e. NN -> z e. ZZ )
26		2z 9354	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
27		zdvdsdc 11977	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> DECID 2 || z )
28	26, 27	mpan 424	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ -> DECID 2 || z )
29		exmiddc 837	. . . . . 6 |- (DECID 2 || z -> ( 2 || z \/ -. 2 || z ) )
30	25, 28, 29	3syl 17	. . . . 5 |- ( z e. NN -> ( 2 || z \/ -. 2 || z ) )
31	30	orcomd 730	. . . 4 |- ( z e. NN -> ( -. 2 || z \/ 2 || z ) )
32	24, 31	mprgbir 2555	. . 3 |- NN = { z e. NN | ( -. 2 || z \/ 2 || z ) }
33	23, 32	eqtr4i 2220	. 2 |- ( { z e. NN | -. 2 || z } u. { z e. NN | 2 || z } ) = NN
34	22, 33	breqtrdi 4074	1 |- ( ( A ~~ NN /\ B ~~ NN /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) ~~ NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   u. cun 3155   i^i cin 3156   (/)c0 3450   class class class wbr 4033   ~~ cen 6797   NNcn 8990   2c2 9041   ZZcz 9326   || cdvds 11952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-er 6592  df-en 6800  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-q 9694  df-rp 9729  df-fl 10360  df-mod 10415  df-dvds 11953

This theorem is referenced by:  znnen  12615