Theorem lgslem3 15118

Description: The set Z of all integers with absolute value at most 1 is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	|- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }

Assertion

Ref	Expression
lgslem3	|- ( ( A e. Z /\ B e. Z ) -> ( A x. B ) e. Z )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   Z( x)

Proof of Theorem lgslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 9370	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
2	1	ad2ant2r 509	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
3		zcn 9322	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
4		zcn 9322	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
5		absmul 11213	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
7	6	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
8		abscl 11195	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
9		absge0 11204	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
10	8, 9	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
11	3, 10	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
12	11	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
13		1red 8034	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 1 e. RR )
14		abscl 11195	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) e. RR )
15		absge0 11204	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. CC -> 0 <_ ( abs ` B ) )
16	14, 15	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
17	4, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ZZ -> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
19		lemul12a 8881	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) /\ 1 e. RR ) /\ ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) /\ 1 e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` A ) <_ 1 /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) ) )
20	12, 13, 18, 13, 19	syl22anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( ( abs ` A ) <_ 1 /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) ) )
21	20	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( abs ` A ) <_ 1 /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) )
22	21	an4s 588	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) )
23		1t1e1 9134	. . . . 5 |- ( 1 x. 1 ) = 1
24	22, 23	breqtrdi 4070	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ 1 )
25	7, 24	eqbrtrd 4051	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 )
26	2, 25	jca 306	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( A x. B ) e. ZZ /\ ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
27		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( x = A -> ( abs ` x ) = ( abs ` A ) )
28	27	breq1d 4039	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> ( abs ` A ) <_ 1 ) )
29		lgslem2.z	. . . 4 |- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }
30	28, 29	elrab2 2919	. . 3 |- ( A e. Z <-> ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) )
31		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( x = B -> ( abs ` x ) = ( abs ` B ) )
32	31	breq1d 4039	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> ( abs ` B ) <_ 1 ) )
33	32, 29	elrab2 2919	. . 3 |- ( B e. Z <-> ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) )
34	30, 33	anbi12i 460	. 2 |- ( ( A e. Z /\ B e. Z ) <-> ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) )
35		fveq2 5554	. . . 4 |- ( x = ( A x. B ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( A x. B ) ) )
36	35	breq1d 4039	. . 3 |- ( x = ( A x. B ) -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
37	36, 29	elrab2 2919	. 2 |- ( ( A x. B ) e. Z <-> ( ( A x. B ) e. ZZ /\ ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
38	26, 34, 37	3imtr4i 201	1 |- ( ( A e. Z /\ B e. Z ) -> ( A x. B ) e. Z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   {crab 2476   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   x. cmul 7877   <_ cle 8055   ZZcz 9317   abscabs 11141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143

This theorem is referenced by:  lgsfcl2  15122  lgscllem  15123  lgsdirprm  15150