Theorem lgslem3 13974

Description: The set Z of all integers with absolute value at most 1 is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	|- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }

Assertion

Ref	Expression
lgslem3	|- ( ( A e. Z /\ B e. Z ) -> ( A x. B ) e. Z )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   Z( x)

Proof of Theorem lgslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 9279	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
2	1	ad2ant2r 509	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
3		zcn 9231	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
4		zcn 9231	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
5		absmul 11046	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
7	6	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
8		abscl 11028	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
9		absge0 11037	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
10	8, 9	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
11	3, 10	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
12	11	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
13		1red 7947	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 1 e. RR )
14		abscl 11028	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) e. RR )
15		absge0 11037	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. CC -> 0 <_ ( abs ` B ) )
16	14, 15	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
17	4, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ZZ -> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
19		lemul12a 8792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) /\ 1 e. RR ) /\ ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) /\ 1 e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` A ) <_ 1 /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) ) )
20	12, 13, 18, 13, 19	syl22anc 1239	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( ( abs ` A ) <_ 1 /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) ) )
21	20	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( abs ` A ) <_ 1 /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) )
22	21	an4s 588	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) )
23		1t1e1 9044	. . . . 5 |- ( 1 x. 1 ) = 1
24	22, 23	breqtrdi 4039	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ 1 )
25	7, 24	eqbrtrd 4020	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 )
26	2, 25	jca 306	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( A x. B ) e. ZZ /\ ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
27		fveq2 5507	. . . . 5 |- ( x = A -> ( abs ` x ) = ( abs ` A ) )
28	27	breq1d 4008	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> ( abs ` A ) <_ 1 ) )
29		lgslem2.z	. . . 4 |- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }
30	28, 29	elrab2 2894	. . 3 |- ( A e. Z <-> ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) )
31		fveq2 5507	. . . . 5 |- ( x = B -> ( abs ` x ) = ( abs ` B ) )
32	31	breq1d 4008	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> ( abs ` B ) <_ 1 ) )
33	32, 29	elrab2 2894	. . 3 |- ( B e. Z <-> ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) )
34	30, 33	anbi12i 460	. 2 |- ( ( A e. Z /\ B e. Z ) <-> ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) )
35		fveq2 5507	. . . 4 |- ( x = ( A x. B ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( A x. B ) ) )
36	35	breq1d 4008	. . 3 |- ( x = ( A x. B ) -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
37	36, 29	elrab2 2894	. 2 |- ( ( A x. B ) e. Z <-> ( ( A x. B ) e. ZZ /\ ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
38	26, 34, 37	3imtr4i 201	1 |- ( ( A e. Z /\ B e. Z ) -> ( A x. B ) e. Z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2146   {crab 2457   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   CCcc 7784   RRcr 7785   0cc0 7786   1c1 7787   x. cmul 7791   <_ cle 7967   ZZcz 9226   abscabs 10974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-rp 9625  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976

This theorem is referenced by:  lgsfcl2  13978  lgscllem  13979  lgsdirprm  14006