Theorem lgslem3 13503

Description: The set Z of all integers with absolute value at most 1 is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	|- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }

Assertion

Ref	Expression
lgslem3	|- ( ( A e. Z /\ B e. Z ) -> ( A x. B ) e. Z )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   Z( x)

Proof of Theorem lgslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 9240	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
2	1	ad2ant2r 501	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
3		zcn 9192	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
4		zcn 9192	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
5		absmul 11007	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
6	3, 4, 5	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
7	6	ad2ant2r 501	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
8		abscl 10989	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
9		absge0 10998	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
10	8, 9	jca 304	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
11	3, 10	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
12	11	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
13		1red 7910	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 1 e. RR )
14		abscl 10989	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) e. RR )
15		absge0 10998	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. CC -> 0 <_ ( abs ` B ) )
16	14, 15	jca 304	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
17	4, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ZZ -> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
18	17	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
19		lemul12a 8753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) /\ 1 e. RR ) /\ ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) /\ 1 e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` A ) <_ 1 /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) ) )
20	12, 13, 18, 13, 19	syl22anc 1229	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( ( abs ` A ) <_ 1 /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) ) )
21	20	imp 123	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( abs ` A ) <_ 1 /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) )
22	21	an4s 578	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) )
23		1t1e1 9005	. . . . 5 |- ( 1 x. 1 ) = 1
24	22, 23	breqtrdi 4022	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ 1 )
25	7, 24	eqbrtrd 4003	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 )
26	2, 25	jca 304	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( A x. B ) e. ZZ /\ ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
27		fveq2 5485	. . . . 5 |- ( x = A -> ( abs ` x ) = ( abs ` A ) )
28	27	breq1d 3991	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> ( abs ` A ) <_ 1 ) )
29		lgslem2.z	. . . 4 |- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }
30	28, 29	elrab2 2884	. . 3 |- ( A e. Z <-> ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) )
31		fveq2 5485	. . . . 5 |- ( x = B -> ( abs ` x ) = ( abs ` B ) )
32	31	breq1d 3991	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> ( abs ` B ) <_ 1 ) )
33	32, 29	elrab2 2884	. . 3 |- ( B e. Z <-> ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) )
34	30, 33	anbi12i 456	. 2 |- ( ( A e. Z /\ B e. Z ) <-> ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) )
35		fveq2 5485	. . . 4 |- ( x = ( A x. B ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( A x. B ) ) )
36	35	breq1d 3991	. . 3 |- ( x = ( A x. B ) -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
37	36, 29	elrab2 2884	. 2 |- ( ( A x. B ) e. Z <-> ( ( A x. B ) e. ZZ /\ ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
38	26, 34, 37	3imtr4i 200	1 |- ( ( A e. Z /\ B e. Z ) -> ( A x. B ) e. Z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   {crab 2447   class class class wbr 3981   ` cfv 5187  (class class class)co 5841   CCcc 7747   RRcr 7748   0cc0 7749   1c1 7750   x. cmul 7754   <_ cle 7930   ZZcz 9187   abscabs 10935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868  ax-caucvg 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-rp 9586  df-seqfrec 10377  df-exp 10451  df-cj 10780  df-re 10781  df-im 10782  df-rsqrt 10936  df-abs 10937

This theorem is referenced by:  lgsfcl2  13507  lgscllem  13508  lgsdirprm  13535