Theorem lgslem3 13697

Description: The set Z of all integers with absolute value at most 1 is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	|- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }

Assertion

Ref	Expression
lgslem3	|- ( ( A e. Z /\ B e. Z ) -> ( A x. B ) e. Z )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   Z( x)

Proof of Theorem lgslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 9265	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
2	1	ad2ant2r 506	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
3		zcn 9217	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
4		zcn 9217	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
5		absmul 11033	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
6	3, 4, 5	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
7	6	ad2ant2r 506	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
8		abscl 11015	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
9		absge0 11024	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
10	8, 9	jca 304	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
11	3, 10	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
12	11	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
13		1red 7935	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 1 e. RR )
14		abscl 11015	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) e. RR )
15		absge0 11024	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. CC -> 0 <_ ( abs ` B ) )
16	14, 15	jca 304	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
17	4, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ZZ -> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
18	17	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
19		lemul12a 8778	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) /\ 1 e. RR ) /\ ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) /\ 1 e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` A ) <_ 1 /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) ) )
20	12, 13, 18, 13, 19	syl22anc 1234	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( ( abs ` A ) <_ 1 /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) ) )
21	20	imp 123	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( abs ` A ) <_ 1 /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) )
22	21	an4s 583	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) )
23		1t1e1 9030	. . . . 5 |- ( 1 x. 1 ) = 1
24	22, 23	breqtrdi 4030	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ 1 )
25	7, 24	eqbrtrd 4011	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 )
26	2, 25	jca 304	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( A x. B ) e. ZZ /\ ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
27		fveq2 5496	. . . . 5 |- ( x = A -> ( abs ` x ) = ( abs ` A ) )
28	27	breq1d 3999	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> ( abs ` A ) <_ 1 ) )
29		lgslem2.z	. . . 4 |- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }
30	28, 29	elrab2 2889	. . 3 |- ( A e. Z <-> ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) )
31		fveq2 5496	. . . . 5 |- ( x = B -> ( abs ` x ) = ( abs ` B ) )
32	31	breq1d 3999	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> ( abs ` B ) <_ 1 ) )
33	32, 29	elrab2 2889	. . 3 |- ( B e. Z <-> ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) )
34	30, 33	anbi12i 457	. 2 |- ( ( A e. Z /\ B e. Z ) <-> ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) )
35		fveq2 5496	. . . 4 |- ( x = ( A x. B ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( A x. B ) ) )
36	35	breq1d 3999	. . 3 |- ( x = ( A x. B ) -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
37	36, 29	elrab2 2889	. 2 |- ( ( A x. B ) e. Z <-> ( ( A x. B ) e. ZZ /\ ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
38	26, 34, 37	3imtr4i 200	1 |- ( ( A e. Z /\ B e. Z ) -> ( A x. B ) e. Z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   {crab 2452   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   x. cmul 7779   <_ cle 7955   ZZcz 9212   abscabs 10961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963

This theorem is referenced by:  lgsfcl2  13701  lgscllem  13702  lgsdirprm  13729