Theorem lgslem3 15243

Description: The set Z of all integers with absolute value at most 1 is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lgslem2.z	|- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }

Assertion

Ref	Expression
lgslem3	|- ( ( A e. Z /\ B e. Z ) -> ( A x. B ) e. Z )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   Z( x)

Proof of Theorem lgslem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 9379	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
2	1	ad2ant2r 509	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
3		zcn 9331	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
4		zcn 9331	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
5		absmul 11234	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
7	6	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) )
8		abscl 11216	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( abs ` A ) e. RR )
9		absge0 11225	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( abs ` A ) )
10	8, 9	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
11	3, 10	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
12	11	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
13		1red 8041	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> 1 e. RR )
14		abscl 11216	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. CC -> ( abs ` B ) e. RR )
15		absge0 11225	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. CC -> 0 <_ ( abs ` B ) )
16	14, 15	jca 306	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
17	4, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ZZ -> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
19		lemul12a 8889	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) /\ 1 e. RR ) /\ ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) /\ 1 e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` A ) <_ 1 /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) ) )
20	12, 13, 18, 13, 19	syl22anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( ( abs ` A ) <_ 1 /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) ) )
21	20	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( abs ` A ) <_ 1 /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) )
22	21	an4s 588	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ ( 1 x. 1 ) )
23		1t1e1 9143	. . . . 5 |- ( 1 x. 1 ) = 1
24	22, 23	breqtrdi 4074	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` B ) ) <_ 1 )
25	7, 24	eqbrtrd 4055	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 )
26	2, 25	jca 306	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) -> ( ( A x. B ) e. ZZ /\ ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
27		fveq2 5558	. . . . 5 |- ( x = A -> ( abs ` x ) = ( abs ` A ) )
28	27	breq1d 4043	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> ( abs ` A ) <_ 1 ) )
29		lgslem2.z	. . . 4 |- Z = { x e. ZZ | ( abs ` x ) <_ 1 }
30	28, 29	elrab2 2923	. . 3 |- ( A e. Z <-> ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) )
31		fveq2 5558	. . . . 5 |- ( x = B -> ( abs ` x ) = ( abs ` B ) )
32	31	breq1d 4043	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> ( abs ` B ) <_ 1 ) )
33	32, 29	elrab2 2923	. . 3 |- ( B e. Z <-> ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) )
34	30, 33	anbi12i 460	. 2 |- ( ( A e. Z /\ B e. Z ) <-> ( ( A e. ZZ /\ ( abs ` A ) <_ 1 ) /\ ( B e. ZZ /\ ( abs ` B ) <_ 1 ) ) )
35		fveq2 5558	. . . 4 |- ( x = ( A x. B ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( A x. B ) ) )
36	35	breq1d 4043	. . 3 |- ( x = ( A x. B ) -> ( ( abs ` x ) <_ 1 <-> ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
37	36, 29	elrab2 2923	. 2 |- ( ( A x. B ) e. Z <-> ( ( A x. B ) e. ZZ /\ ( abs ` ( A x. B ) ) <_ 1 ) )
38	26, 34, 37	3imtr4i 201	1 |- ( ( A e. Z /\ B e. Z ) -> ( A x. B ) e. Z )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   x. cmul 7884   <_ cle 8062   ZZcz 9326   abscabs 11162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164

This theorem is referenced by:  lgsfcl2  15247  lgscllem  15248  lgsdirprm  15275