Theorem ltm1sr 8108

Description: Adding minus one to a signed real yields a smaller signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ltm1sr	|- ( A e. R. -> ( A +R -1R ) <R A )

Proof of Theorem ltm1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1r 8083	. . . . . 6 |- -1R e. R.
2		addclsr 8084	. . . . . 6 |- ( ( A e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( A +R -1R ) e. R. )
3	1, 2	mpan2 425	. . . . 5 |- ( A e. R. -> ( A +R -1R ) e. R. )
4		ltadd1sr 8107	. . . . 5 |- ( ( A +R -1R ) e. R. -> ( A +R -1R ) <R ( ( A +R -1R ) +R 1R ) )
5	3, 4	syl 14	. . . 4 |- ( A e. R. -> ( A +R -1R ) <R ( ( A +R -1R ) +R 1R ) )
6		1sr 8082	. . . . 5 |- 1R e. R.
7		addasssrg 8087	. . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ -1R e. R. /\ 1R e. R. ) -> ( ( A +R -1R ) +R 1R ) = ( A +R ( -1R +R 1R ) ) )
8	1, 6, 7	mp3an23 1366	. . . 4 |- ( A e. R. -> ( ( A +R -1R ) +R 1R ) = ( A +R ( -1R +R 1R ) ) )
9	5, 8	breqtrd 4140	. . 3 |- ( A e. R. -> ( A +R -1R ) <R ( A +R ( -1R +R 1R ) ) )
10		m1p1sr 8091	. . . 4 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
11	10	oveq2i 6069	. . 3 |- ( A +R ( -1R +R 1R ) ) = ( A +R 0R )
12	9, 11	breqtrdi 4155	. 2 |- ( A e. R. -> ( A +R -1R ) <R ( A +R 0R ) )
13		0idsr 8098	. 2 |- ( A e. R. -> ( A +R 0R ) = A )
14	12, 13	breqtrd 4140	1 |- ( A e. R. -> ( A +R -1R ) <R A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   R.cnr 7628   0Rc0r 7629   1Rc1r 7630   -1Rcm1r 7631   +R cplr 7632   <R cltr 7634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-pli 7636  df-mi 7637  df-lti 7638  df-plpq 7675  df-mpq 7676  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-plqqs 7680  df-mqqs 7681  df-1nqqs 7682  df-rq 7683  df-ltnqqs 7684  df-enq0 7755  df-nq0 7756  df-0nq0 7757  df-plq0 7758  df-mq0 7759  df-inp 7797  df-i1p 7798  df-iplp 7799  df-iltp 7801  df-enr 8057  df-nr 8058  df-plr 8059  df-ltr 8061  df-0r 8062  df-1r 8063  df-m1r 8064

This theorem is referenced by:  suplocsrlem  8139