ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltm1sr Unicode version

Theorem ltm1sr 7732
Description: Adding minus one to a signed real yields a smaller signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
ltm1sr  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  -1R )  <R  A )

Proof of Theorem ltm1sr
StepHypRef Expression
1 m1r 7707 . . . . . 6  |-  -1R  e.  R.
2 addclsr 7708 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  -> 
( A  +R  -1R )  e.  R. )
31, 2mpan2 423 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  -1R )  e. 
R. )
4 ltadd1sr 7731 . . . . 5  |-  ( ( A  +R  -1R )  e.  R.  ->  ( A  +R  -1R )  <R  (
( A  +R  -1R )  +R  1R ) )
53, 4syl 14 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  -1R )  <R 
( ( A  +R  -1R )  +R  1R )
)
6 1sr 7706 . . . . 5  |-  1R  e.  R.
7 addasssrg 7711 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R.  /\  -1R  e.  R.  /\  1R  e.  R. )  ->  (
( A  +R  -1R )  +R  1R )  =  ( A  +R  ( -1R  +R  1R ) ) )
81, 6, 7mp3an23 1324 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  (
( A  +R  -1R )  +R  1R )  =  ( A  +R  ( -1R  +R  1R ) ) )
95, 8breqtrd 4013 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  -1R )  <R 
( A  +R  ( -1R  +R  1R ) ) )
10 m1p1sr 7715 . . . 4  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
1110oveq2i 5862 . . 3  |-  ( A  +R  ( -1R  +R  1R ) )  =  ( A  +R  0R )
129, 11breqtrdi 4028 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  -1R )  <R 
( A  +R  0R ) )
13 0idsr 7722 . 2  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  0R )  =  A )
1412, 13breqtrd 4013 1  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  -1R )  <R  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1348    e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851   R.cnr 7252   0Rc0r 7253   1Rc1r 7254   -1Rcm1r 7255    +R cplr 7256    <R cltr 7258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-eprel 4272  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-1o 6393  df-2o 6394  df-oadd 6397  df-omul 6398  df-er 6511  df-ec 6513  df-qs 6517  df-ni 7259  df-pli 7260  df-mi 7261  df-lti 7262  df-plpq 7299  df-mpq 7300  df-enq 7302  df-nqqs 7303  df-plqqs 7304  df-mqqs 7305  df-1nqqs 7306  df-rq 7307  df-ltnqqs 7308  df-enq0 7379  df-nq0 7380  df-0nq0 7381  df-plq0 7382  df-mq0 7383  df-inp 7421  df-i1p 7422  df-iplp 7423  df-iltp 7425  df-enr 7681  df-nr 7682  df-plr 7683  df-ltr 7685  df-0r 7686  df-1r 7687  df-m1r 7688
This theorem is referenced by:  suplocsrlem  7763
  Copyright terms: Public domain W3C validator