Theorem sin0pilem2 13462

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sin0pilem2	|- E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )

Distinct variable group:   x, q

Proof of Theorem sin0pilem2

Dummy variables p y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin0pilem1 13461	. 2 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) )
2		2re 8941	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
3	2	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 2 e. RR )
4		elioore 9862	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p e. RR )
5	3, 4	remulcld 7943	. . . . . 6 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. p ) e. RR )
6	5	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. p ) e. RR )
7		2t1e2 9024	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 1 ) = 2
8		1red 7928	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 1 e. RR )
9		2rp 9608	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 2 e. RR+ )
11		eliooord 9878	. . . . . . . . 9 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 1 < p /\ p < 2 ) )
12	11	simpld 111	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 1 < p )
13	8, 4, 10, 12	ltmul2dd 9703	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. 1 ) < ( 2 x. p ) )
14	7, 13	eqbrtrrid 4023	. . . . . 6 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 2 < ( 2 x. p ) )
15	14	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> 2 < ( 2 x. p ) )
16	11	simprd 113	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p < 2 )
17	4, 3, 10, 16	ltmul2dd 9703	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. p ) < ( 2 x. 2 ) )
18		2t2e4 9025	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 2 ) = 4
19	17, 18	breqtrdi 4028	. . . . . 6 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. p ) < 4 )
20	19	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. p ) < 4 )
21	2	rexri 7970	. . . . . 6 |- 2 e. RR*
22		4re 8948	. . . . . . 7 |- 4 e. RR
23	22	rexri 7970	. . . . . 6 |- 4 e. RR*
24		elioo2 9871	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR* /\ 4 e. RR* ) -> ( ( 2 x. p ) e. ( 2 (,) 4 ) <-> ( ( 2 x. p ) e. RR /\ 2 < ( 2 x. p ) /\ ( 2 x. p ) < 4 ) ) )
25	21, 23, 24	mp2an 424	. . . . 5 |- ( ( 2 x. p ) e. ( 2 (,) 4 ) <-> ( ( 2 x. p ) e. RR /\ 2 < ( 2 x. p ) /\ ( 2 x. p ) < 4 ) )
26	6, 15, 20, 25	syl3anbrc 1176	. . . 4 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. p ) e. ( 2 (,) 4 ) )
27	4	recnd 7941	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p e. CC )
28	27	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> p e. CC )
29		sin2t 11705	. . . . . 6 |- ( p e. CC -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) )
31		simprl 526	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( cos ` p ) = 0 )
32	31	oveq2d 5867	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) = ( ( sin ` p ) x. 0 ) )
33	28	sincld 11666	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( sin ` p ) e. CC )
34	33	mul01d 8305	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. 0 ) = 0 )
35	32, 34	eqtrd 2203	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) = 0 )
36	35	oveq2d 5867	. . . . . 6 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) = ( 2 x. 0 ) )
37		2cnd 8944	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> 2 e. CC )
38	37	mul01d 8305	. . . . . 6 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. 0 ) = 0 )
39	36, 38	eqtrd 2203	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) = 0 )
40	30, 39	eqtrd 2203	. . . 4 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 )
41		fveq2 5494	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( sin ` y ) = ( sin ` x ) )
42	41	breq2d 3999	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( 0 < ( sin ` y ) <-> 0 < ( sin ` x ) ) )
43		simprr 527	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) )
44	43	ad2antrr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) )
45		elioore 9862	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) -> x e. RR )
46	45	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> x e. RR )
47	46	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> x e. RR )
48		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> p < x )
49		eliooord 9878	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) -> ( 0 < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
50	49	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 0 < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
51	50	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> ( 0 < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
52	51	simprd 113	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> x < ( 2 x. p ) )
53	4	rexrd 7962	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p e. RR* )
54	5	rexrd 7962	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. p ) e. RR* )
55		elioo2 9871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. RR* /\ ( 2 x. p ) e. RR* ) -> ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) <-> ( x e. RR /\ p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) ) )
56	53, 54, 55	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) <-> ( x e. RR /\ p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) ) )
57	56	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) <-> ( x e. RR /\ p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) ) )
58	57	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) <-> ( x e. RR /\ p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) ) )
59	47, 48, 52, 58	mpbir3and 1175	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) )
60	42, 44, 59	rspcdva 2839	. . . . . 6 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> 0 < ( sin ` x ) )
61	46	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> x e. RR )
62	50	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> ( 0 < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
63	62	simpld 111	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> 0 < x )
64	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> 2 e. RR )
65		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> x < 2 )
66	61, 64, 65	ltled 8031	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> x <_ 2 )
67		0xr 7959	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
68		elioc2 9886	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( x e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x <_ 2 ) ) )
69	67, 2, 68	mp2an 424	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x <_ 2 ) )
70	61, 63, 66, 69	syl3anbrc 1176	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> x e. ( 0 (,] 2 ) )
71		sin02gt0 11719	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` x ) )
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> 0 < ( sin ` x ) )
73	16	ad2antrr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p < 2 )
74	4	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p e. RR )
75	2	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 2 e. RR )
76		axltwlin 7980	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. RR /\ 2 e. RR /\ x e. RR ) -> ( p < 2 -> ( p < x \/ x < 2 ) ) )
77	74, 75, 46, 76	syl3anc 1233	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( p < 2 -> ( p < x \/ x < 2 ) ) )
78	73, 77	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( p < x \/ x < 2 ) )
79	60, 72, 78	mpjaodan 793	. . . . 5 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 0 < ( sin ` x ) )
80	79	ralrimiva 2543	. . . 4 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> A. x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) )
81		fveqeq2 5503	. . . . . 6 |- ( q = ( 2 x. p ) -> ( ( sin ` q ) = 0 <-> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 ) )
82		oveq2 5859	. . . . . . 7 |- ( q = ( 2 x. p ) -> ( 0 (,) q ) = ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) )
83	82	raleqdv 2671	. . . . . 6 |- ( q = ( 2 x. p ) -> ( A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) <-> A. x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) )
84	81, 83	anbi12d 470	. . . . 5 |- ( q = ( 2 x. p ) -> ( ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) <-> ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) ) )
85	84	rspcev 2834	. . . 4 |- ( ( ( 2 x. p ) e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) )
86	26, 40, 80, 85	syl12anc 1231	. . 3 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) )
87	86	rexlimiva 2582	. 2 |- ( E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) -> E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) )
88	1, 87	ax-mp 5	1 |- E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5851   CCcc 7765   RRcr 7766   0cc0 7767   1c1 7768   x. cmul 7772   RR*cxr 7946   < clt 7947   <_ cle 7948   2c2 8922   4c4 8924   RR+crp 9603   (,)cioo 9838   (,]cioc 9839   sincsin 11600   cosccos 11601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7858  ax-resscn 7859  ax-1cn 7860  ax-1re 7861  ax-icn 7862  ax-addcl 7863  ax-addrcl 7864  ax-mulcl 7865  ax-mulrcl 7866  ax-addcom 7867  ax-mulcom 7868  ax-addass 7869  ax-mulass 7870  ax-distr 7871  ax-i2m1 7872  ax-0lt1 7873  ax-1rid 7874  ax-0id 7875  ax-rnegex 7876  ax-precex 7877  ax-cnre 7878  ax-pre-ltirr 7879  ax-pre-ltwlin 7880  ax-pre-lttrn 7881  ax-pre-apti 7882  ax-pre-ltadd 7883  ax-pre-mulgt0 7884  ax-pre-mulext 7885  ax-arch 7886  ax-caucvg 7887  ax-pre-suploc 7888  ax-addf 7889  ax-mulf 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-disj 3965  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-of 6059  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-frec 6368  df-1o 6393  df-oadd 6397  df-er 6511  df-map 6626  df-pm 6627  df-en 6717  df-dom 6718  df-fin 6719  df-sup 6959  df-inf 6960  df-pnf 7949  df-mnf 7950  df-xr 7951  df-ltxr 7952  df-le 7953  df-sub 8085  df-neg 8086  df-reap 8487  df-ap 8494  df-div 8583  df-inn 8872  df-2 8930  df-3 8931  df-4 8932  df-5 8933  df-6 8934  df-7 8935  df-8 8936  df-9 8937  df-n0 9129  df-z 9206  df-uz 9481  df-q 9572  df-rp 9604  df-xneg 9722  df-xadd 9723  df-ioo 9842  df-ioc 9843  df-ico 9844  df-icc 9845  df-fz 9959  df-fzo 10092  df-seqfrec 10395  df-exp 10469  df-fac 10653  df-bc 10675  df-ihash 10703  df-shft 10772  df-cj 10799  df-re 10800  df-im 10801  df-rsqrt 10955  df-abs 10956  df-clim 11235  df-sumdc 11310  df-ef 11604  df-sin 11606  df-cos 11607  df-rest 12574  df-topgen 12593  df-psmet 12746  df-xmet 12747  df-met 12748  df-bl 12749  df-mopn 12750  df-top 12755  df-topon 12768  df-bases 12800  df-ntr 12855  df-cn 12947  df-cnp 12948  df-tx 13012  df-cncf 13317  df-limced 13384  df-dvap 13385

This theorem is referenced by:  pilem3  13463