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Theorem sin0pilem2 12885
Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
sin0pilem2  |-  E. q  e.  ( 2 (,) 4
) ( ( sin `  q )  =  0  /\  A. x  e.  ( 0 (,) q
) 0  <  ( sin `  x ) )
Distinct variable group:    x, q

Proof of Theorem sin0pilem2
Dummy variables  p  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sin0pilem1 12884 . 2  |-  E. p  e.  ( 1 (,) 2
) ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) )
2 2re 8802 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
32a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  2  e.  RR )
4 elioore 9707 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  p  e.  RR )
53, 4remulcld 7808 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  (
2  x.  p )  e.  RR )
65adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  ( 2  x.  p )  e.  RR )
7 2t1e2 8885 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
8 1red 7793 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  1  e.  RR )
9 2rp 9458 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
109a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  2  e.  RR+ )
11 eliooord 9723 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  (
1  <  p  /\  p  <  2 ) )
1211simpld 111 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  1  <  p )
138, 4, 10, 12ltmul2dd 9552 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  (
2  x.  1 )  <  ( 2  x.  p ) )
147, 13eqbrtrrid 3964 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  2  <  ( 2  x.  p
) )
1514adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  2  <  (
2  x.  p ) )
1611simprd 113 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  p  <  2 )
174, 3, 10, 16ltmul2dd 9552 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  (
2  x.  p )  <  ( 2  x.  2 ) )
18 2t2e4 8886 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
1917, 18breqtrdi 3969 . . . . . 6  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  (
2  x.  p )  <  4 )
2019adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  ( 2  x.  p )  <  4
)
212rexri 7835 . . . . . 6  |-  2  e.  RR*
22 4re 8809 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
2322rexri 7835 . . . . . 6  |-  4  e.  RR*
24 elioo2 9716 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR*  /\  4  e.  RR* )  ->  (
( 2  x.  p
)  e.  ( 2 (,) 4 )  <->  ( (
2  x.  p )  e.  RR  /\  2  <  ( 2  x.  p
)  /\  ( 2  x.  p )  <  4 ) ) )
2521, 23, 24mp2an 422 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  p )  e.  ( 2 (,) 4 )  <->  ( (
2  x.  p )  e.  RR  /\  2  <  ( 2  x.  p
)  /\  ( 2  x.  p )  <  4 ) )
266, 15, 20, 25syl3anbrc 1165 . . . 4  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  ( 2  x.  p )  e.  ( 2 (,) 4 ) )
274recnd 7806 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  p  e.  CC )
2827adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  p  e.  CC )
29 sin2t 11467 . . . . . 6  |-  ( p  e.  CC  ->  ( sin `  ( 2  x.  p ) )  =  ( 2  x.  (
( sin `  p
)  x.  ( cos `  p ) ) ) )
3028, 29syl 14 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  ( sin `  (
2  x.  p ) )  =  ( 2  x.  ( ( sin `  p )  x.  ( cos `  p ) ) ) )
31 simprl 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  ( cos `  p
)  =  0 )
3231oveq2d 5790 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  ( ( sin `  p )  x.  ( cos `  p ) )  =  ( ( sin `  p )  x.  0 ) )
3328sincld 11428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  ( sin `  p
)  e.  CC )
3433mul01d 8167 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  ( ( sin `  p )  x.  0 )  =  0 )
3532, 34eqtrd 2172 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  ( ( sin `  p )  x.  ( cos `  p ) )  =  0 )
3635oveq2d 5790 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( sin `  p
)  x.  ( cos `  p ) ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
37 2cnd 8805 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  2  e.  CC )
3837mul01d 8167 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  ( 2  x.  0 )  =  0 )
3936, 38eqtrd 2172 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( sin `  p
)  x.  ( cos `  p ) ) )  =  0 )
4030, 39eqtrd 2172 . . . 4  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  ( sin `  (
2  x.  p ) )  =  0 )
41 fveq2 5421 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( sin `  y )  =  ( sin `  x
) )
4241breq2d 3941 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <  ( sin `  y )  <->  0  <  ( sin `  x ) ) )
43 simprr 521 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) )
4443ad2antrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2
)  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  /\  p  <  x )  ->  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) )
45 elioore 9707 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  p
) )  ->  x  e.  RR )
4645adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  ->  x  e.  RR )
4746adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2
)  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  /\  p  <  x )  ->  x  e.  RR )
48 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2
)  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  /\  p  <  x )  ->  p  <  x )
49 eliooord 9723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  p
) )  ->  (
0  <  x  /\  x  <  ( 2  x.  p ) ) )
5049adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  ->  (
0  <  x  /\  x  <  ( 2  x.  p ) ) )
5150adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2
)  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  /\  p  <  x )  ->  (
0  <  x  /\  x  <  ( 2  x.  p ) ) )
5251simprd 113 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2
)  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  /\  p  <  x )  ->  x  <  ( 2  x.  p
) )
534rexrd 7827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  p  e.  RR* )
545rexrd 7827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  (
2  x.  p )  e.  RR* )
55 elioo2 9716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  RR*  /\  (
2  x.  p )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  p  < 
x  /\  x  <  ( 2  x.  p ) ) ) )
5653, 54, 55syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  ->  (
x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  p  < 
x  /\  x  <  ( 2  x.  p ) ) ) )
5756adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  ( x  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  p  < 
x  /\  x  <  ( 2  x.  p ) ) ) )
5857ad2antrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2
)  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  /\  p  <  x )  ->  (
x  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  p  < 
x  /\  x  <  ( 2  x.  p ) ) ) )
5947, 48, 52, 58mpbir3and 1164 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2
)  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  /\  p  <  x )  ->  x  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) )
6042, 44, 59rspcdva 2794 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2
)  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  /\  p  <  x )  ->  0  <  ( sin `  x
) )
6146adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2
)  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  /\  x  <  2 )  ->  x  e.  RR )
6250adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2
)  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  /\  x  <  2 )  ->  (
0  <  x  /\  x  <  ( 2  x.  p ) ) )
6362simpld 111 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2
)  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  /\  x  <  2 )  ->  0  <  x )
642a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2
)  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  /\  x  <  2 )  ->  2  e.  RR )
65 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2
)  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  /\  x  <  2 )  ->  x  <  2 )
6661, 64, 65ltled 7893 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2
)  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  /\  x  <  2 )  ->  x  <_  2 )
67 0xr 7824 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
68 elioc2 9731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  2  e.  RR )  ->  (
x  e.  ( 0 (,] 2 )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x  /\  x  <_  2 ) ) )
6967, 2, 68mp2an 422 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 (,] 2 )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x  /\  x  <_  2 ) )
7061, 63, 66, 69syl3anbrc 1165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2
)  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  /\  x  <  2 )  ->  x  e.  ( 0 (,] 2
) )
71 sin02gt0 11481 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 (,] 2 )  ->  0  <  ( sin `  x
) )
7270, 71syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2
)  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  /\  x  <  2 )  ->  0  <  ( sin `  x
) )
7316ad2antrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  ->  p  <  2 )
744ad2antrr 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  ->  p  e.  RR )
752a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  ->  2  e.  RR )
76 axltwlin 7844 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
p  <  2  ->  ( p  <  x  \/  x  <  2 ) ) )
7774, 75, 46, 76syl3anc 1216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  ->  (
p  <  2  ->  ( p  <  x  \/  x  <  2 ) ) )
7873, 77mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  ->  (
p  <  x  \/  x  <  2 ) )
7960, 72, 78mpjaodan 787 . . . . 5  |-  ( ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p )  =  0  /\  A. y  e.  ( p (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  /\  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) )  ->  0  <  ( sin `  x
) )
8079ralrimiva 2505 . . . 4  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  A. x  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  x ) )
81 fveqeq2 5430 . . . . . 6  |-  ( q  =  ( 2  x.  p )  ->  (
( sin `  q
)  =  0  <->  ( sin `  ( 2  x.  p ) )  =  0 ) )
82 oveq2 5782 . . . . . . 7  |-  ( q  =  ( 2  x.  p )  ->  (
0 (,) q )  =  ( 0 (,) ( 2  x.  p
) ) )
8382raleqdv 2632 . . . . . 6  |-  ( q  =  ( 2  x.  p )  ->  ( A. x  e.  (
0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x )  <->  A. x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  x ) ) )
8481, 83anbi12d 464 . . . . 5  |-  ( q  =  ( 2  x.  p )  ->  (
( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) )  <->  ( ( sin `  ( 2  x.  p ) )  =  0  /\  A. x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  x ) ) ) )
8584rspcev 2789 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  p
)  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( ( sin `  (
2  x.  p ) )  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  x ) ) )  ->  E. q  e.  ( 2 (,) 4 ) ( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) ) )
8626, 40, 80, 85syl12anc 1214 . . 3  |-  ( ( p  e.  ( 1 (,) 2 )  /\  ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) ) )  ->  E. q  e.  ( 2 (,) 4 ) ( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) ) )
8786rexlimiva 2544 . 2  |-  ( E. p  e.  ( 1 (,) 2 ) ( ( cos `  p
)  =  0  /\ 
A. y  e.  ( p (,) ( 2  x.  p ) ) 0  <  ( sin `  y ) )  ->  E. q  e.  (
2 (,) 4 ) ( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) ) )
881, 87ax-mp 5 1  |-  E. q  e.  ( 2 (,) 4
) ( ( sin `  q )  =  0  /\  A. x  e.  ( 0 (,) q
) 0  <  ( sin `  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7630   RRcr 7631   0cc0 7632   1c1 7633    x. cmul 7637   RR*cxr 7811    < clt 7812    <_ cle 7813   2c2 8783   4c4 8785   RR+crp 9453   (,)cioo 9683   (,]cioc 9684   sincsin 11362   cosccos 11363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752  ax-pre-suploc 7753  ax-addf 7754  ax-mulf 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-5 8794  df-6 8795  df-7 8796  df-8 8797  df-9 8798  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-xneg 9571  df-xadd 9572  df-ioo 9687  df-ioc 9688  df-ico 9689  df-icc 9690  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-fac 10484  df-bc 10506  df-ihash 10534  df-shft 10599  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-clim 11060  df-sumdc 11135  df-ef 11366  df-sin 11368  df-cos 11369  df-rest 12136  df-topgen 12155  df-psmet 12170  df-xmet 12171  df-met 12172  df-bl 12173  df-mopn 12174  df-top 12179  df-topon 12192  df-bases 12224  df-ntr 12279  df-cn 12371  df-cnp 12372  df-tx 12436  df-cncf 12741  df-limced 12808  df-dvap 12809
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