Theorem sin0pilem2 15456

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sin0pilem2	|- E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )

Distinct variable group:   x, q

Proof of Theorem sin0pilem2

Dummy variables p y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin0pilem1 15455	. 2 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) )
2		2re 9180	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
3	2	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 2 e. RR )
4		elioore 10108	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p e. RR )
5	3, 4	remulcld 8177	. . . . . 6 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. p ) e. RR )
6	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. p ) e. RR )
7		2t1e2 9264	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 1 ) = 2
8		1red 8161	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 1 e. RR )
9		2rp 9854	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 2 e. RR+ )
11		eliooord 10124	. . . . . . . . 9 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 1 < p /\ p < 2 ) )
12	11	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 1 < p )
13	8, 4, 10, 12	ltmul2dd 9949	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. 1 ) < ( 2 x. p ) )
14	7, 13	eqbrtrrid 4119	. . . . . 6 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 2 < ( 2 x. p ) )
15	14	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> 2 < ( 2 x. p ) )
16	11	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p < 2 )
17	4, 3, 10, 16	ltmul2dd 9949	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. p ) < ( 2 x. 2 ) )
18		2t2e4 9265	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 2 ) = 4
19	17, 18	breqtrdi 4124	. . . . . 6 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. p ) < 4 )
20	19	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. p ) < 4 )
21	2	rexri 8204	. . . . . 6 |- 2 e. RR*
22		4re 9187	. . . . . . 7 |- 4 e. RR
23	22	rexri 8204	. . . . . 6 |- 4 e. RR*
24		elioo2 10117	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR* /\ 4 e. RR* ) -> ( ( 2 x. p ) e. ( 2 (,) 4 ) <-> ( ( 2 x. p ) e. RR /\ 2 < ( 2 x. p ) /\ ( 2 x. p ) < 4 ) ) )
25	21, 23, 24	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( 2 x. p ) e. ( 2 (,) 4 ) <-> ( ( 2 x. p ) e. RR /\ 2 < ( 2 x. p ) /\ ( 2 x. p ) < 4 ) )
26	6, 15, 20, 25	syl3anbrc 1205	. . . 4 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. p ) e. ( 2 (,) 4 ) )
27	4	recnd 8175	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p e. CC )
28	27	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> p e. CC )
29		sin2t 12260	. . . . . 6 |- ( p e. CC -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) )
31		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( cos ` p ) = 0 )
32	31	oveq2d 6017	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) = ( ( sin ` p ) x. 0 ) )
33	28	sincld 12221	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( sin ` p ) e. CC )
34	33	mul01d 8539	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. 0 ) = 0 )
35	32, 34	eqtrd 2262	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) = 0 )
36	35	oveq2d 6017	. . . . . 6 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) = ( 2 x. 0 ) )
37		2cnd 9183	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> 2 e. CC )
38	37	mul01d 8539	. . . . . 6 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. 0 ) = 0 )
39	36, 38	eqtrd 2262	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) = 0 )
40	30, 39	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 )
41		fveq2 5627	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( sin ` y ) = ( sin ` x ) )
42	41	breq2d 4095	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( 0 < ( sin ` y ) <-> 0 < ( sin ` x ) ) )
43		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) )
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) )
45		elioore 10108	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) -> x e. RR )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> x e. RR )
47	46	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> x e. RR )
48		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> p < x )
49		eliooord 10124	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) -> ( 0 < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 0 < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> ( 0 < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
52	51	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> x < ( 2 x. p ) )
53	4	rexrd 8196	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p e. RR* )
54	5	rexrd 8196	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. p ) e. RR* )
55		elioo2 10117	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. RR* /\ ( 2 x. p ) e. RR* ) -> ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) <-> ( x e. RR /\ p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) ) )
56	53, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) <-> ( x e. RR /\ p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) ) )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) <-> ( x e. RR /\ p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) ) )
58	57	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) <-> ( x e. RR /\ p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) ) )
59	47, 48, 52, 58	mpbir3and 1204	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) )
60	42, 44, 59	rspcdva 2912	. . . . . 6 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> 0 < ( sin ` x ) )
61	46	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> x e. RR )
62	50	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> ( 0 < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
63	62	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> 0 < x )
64	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> 2 e. RR )
65		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> x < 2 )
66	61, 64, 65	ltled 8265	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> x <_ 2 )
67		0xr 8193	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
68		elioc2 10132	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( x e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x <_ 2 ) ) )
69	67, 2, 68	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x <_ 2 ) )
70	61, 63, 66, 69	syl3anbrc 1205	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> x e. ( 0 (,] 2 ) )
71		sin02gt0 12275	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` x ) )
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> 0 < ( sin ` x ) )
73	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p < 2 )
74	4	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p e. RR )
75	2	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 2 e. RR )
76		axltwlin 8214	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. RR /\ 2 e. RR /\ x e. RR ) -> ( p < 2 -> ( p < x \/ x < 2 ) ) )
77	74, 75, 46, 76	syl3anc 1271	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( p < 2 -> ( p < x \/ x < 2 ) ) )
78	73, 77	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( p < x \/ x < 2 ) )
79	60, 72, 78	mpjaodan 803	. . . . 5 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 0 < ( sin ` x ) )
80	79	ralrimiva 2603	. . . 4 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> A. x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) )
81		fveqeq2 5636	. . . . . 6 |- ( q = ( 2 x. p ) -> ( ( sin ` q ) = 0 <-> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 ) )
82		oveq2 6009	. . . . . . 7 |- ( q = ( 2 x. p ) -> ( 0 (,) q ) = ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) )
83	82	raleqdv 2734	. . . . . 6 |- ( q = ( 2 x. p ) -> ( A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) <-> A. x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) )
84	81, 83	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( q = ( 2 x. p ) -> ( ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) <-> ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) ) )
85	84	rspcev 2907	. . . 4 |- ( ( ( 2 x. p ) e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) )
86	26, 40, 80, 85	syl12anc 1269	. . 3 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) )
87	86	rexlimiva 2643	. 2 |- ( E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) -> E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) )
88	1, 87	ax-mp 5	1 |- E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   class class class wbr 4083   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   CCcc 7997   RRcr 7998   0cc0 7999   1c1 8000   x. cmul 8004   RR*cxr 8180   < clt 8181   <_ cle 8182   2c2 9161   4c4 9163   RR+crp 9849   (,)cioo 10084   (,]cioc 10085   sincsin 12155   cosccos 12156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119  ax-pre-suploc 8120  ax-addf 8121  ax-mulf 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-of 6218  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-er 6680  df-map 6797  df-pm 6798  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-sup 7151  df-inf 7152  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-xneg 9968  df-xadd 9969  df-ioo 10088  df-ioc 10089  df-ico 10090  df-icc 10091  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-fac 10948  df-bc 10970  df-ihash 10998  df-shft 11326  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790  df-sumdc 11865  df-ef 12159  df-sin 12161  df-cos 12162  df-rest 13274  df-topgen 13293  df-psmet 14507  df-xmet 14508  df-met 14509  df-bl 14510  df-mopn 14511  df-top 14672  df-topon 14685  df-bases 14717  df-ntr 14770  df-cn 14862  df-cnp 14863  df-tx 14927  df-cncf 15245  df-limced 15330  df-dvap 15331

This theorem is referenced by:  pilem3  15457