Theorem sin0pilem2 15505

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sin0pilem2	|- E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )

Distinct variable group:   x, q

Proof of Theorem sin0pilem2

Dummy variables p y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin0pilem1 15504	. 2 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) )
2		2re 9212	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
3	2	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 2 e. RR )
4		elioore 10146	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p e. RR )
5	3, 4	remulcld 8209	. . . . . 6 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. p ) e. RR )
6	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. p ) e. RR )
7		2t1e2 9296	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 1 ) = 2
8		1red 8193	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 1 e. RR )
9		2rp 9892	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 2 e. RR+ )
11		eliooord 10162	. . . . . . . . 9 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 1 < p /\ p < 2 ) )
12	11	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 1 < p )
13	8, 4, 10, 12	ltmul2dd 9987	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. 1 ) < ( 2 x. p ) )
14	7, 13	eqbrtrrid 4124	. . . . . 6 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 2 < ( 2 x. p ) )
15	14	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> 2 < ( 2 x. p ) )
16	11	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p < 2 )
17	4, 3, 10, 16	ltmul2dd 9987	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. p ) < ( 2 x. 2 ) )
18		2t2e4 9297	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 2 ) = 4
19	17, 18	breqtrdi 4129	. . . . . 6 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. p ) < 4 )
20	19	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. p ) < 4 )
21	2	rexri 8236	. . . . . 6 |- 2 e. RR*
22		4re 9219	. . . . . . 7 |- 4 e. RR
23	22	rexri 8236	. . . . . 6 |- 4 e. RR*
24		elioo2 10155	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR* /\ 4 e. RR* ) -> ( ( 2 x. p ) e. ( 2 (,) 4 ) <-> ( ( 2 x. p ) e. RR /\ 2 < ( 2 x. p ) /\ ( 2 x. p ) < 4 ) ) )
25	21, 23, 24	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( 2 x. p ) e. ( 2 (,) 4 ) <-> ( ( 2 x. p ) e. RR /\ 2 < ( 2 x. p ) /\ ( 2 x. p ) < 4 ) )
26	6, 15, 20, 25	syl3anbrc 1207	. . . 4 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. p ) e. ( 2 (,) 4 ) )
27	4	recnd 8207	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p e. CC )
28	27	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> p e. CC )
29		sin2t 12309	. . . . . 6 |- ( p e. CC -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) )
31		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( cos ` p ) = 0 )
32	31	oveq2d 6033	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) = ( ( sin ` p ) x. 0 ) )
33	28	sincld 12270	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( sin ` p ) e. CC )
34	33	mul01d 8571	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. 0 ) = 0 )
35	32, 34	eqtrd 2264	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) = 0 )
36	35	oveq2d 6033	. . . . . 6 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) = ( 2 x. 0 ) )
37		2cnd 9215	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> 2 e. CC )
38	37	mul01d 8571	. . . . . 6 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. 0 ) = 0 )
39	36, 38	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) = 0 )
40	30, 39	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 )
41		fveq2 5639	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( sin ` y ) = ( sin ` x ) )
42	41	breq2d 4100	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( 0 < ( sin ` y ) <-> 0 < ( sin ` x ) ) )
43		simprr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) )
44	43	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) )
45		elioore 10146	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) -> x e. RR )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> x e. RR )
47	46	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> x e. RR )
48		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> p < x )
49		eliooord 10162	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) -> ( 0 < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 0 < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> ( 0 < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
52	51	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> x < ( 2 x. p ) )
53	4	rexrd 8228	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p e. RR* )
54	5	rexrd 8228	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. p ) e. RR* )
55		elioo2 10155	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. RR* /\ ( 2 x. p ) e. RR* ) -> ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) <-> ( x e. RR /\ p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) ) )
56	53, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) <-> ( x e. RR /\ p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) ) )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) <-> ( x e. RR /\ p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) ) )
58	57	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) <-> ( x e. RR /\ p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) ) )
59	47, 48, 52, 58	mpbir3and 1206	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) )
60	42, 44, 59	rspcdva 2915	. . . . . 6 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> 0 < ( sin ` x ) )
61	46	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> x e. RR )
62	50	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> ( 0 < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
63	62	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> 0 < x )
64	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> 2 e. RR )
65		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> x < 2 )
66	61, 64, 65	ltled 8297	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> x <_ 2 )
67		0xr 8225	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
68		elioc2 10170	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( x e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x <_ 2 ) ) )
69	67, 2, 68	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x <_ 2 ) )
70	61, 63, 66, 69	syl3anbrc 1207	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> x e. ( 0 (,] 2 ) )
71		sin02gt0 12324	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` x ) )
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> 0 < ( sin ` x ) )
73	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p < 2 )
74	4	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p e. RR )
75	2	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 2 e. RR )
76		axltwlin 8246	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. RR /\ 2 e. RR /\ x e. RR ) -> ( p < 2 -> ( p < x \/ x < 2 ) ) )
77	74, 75, 46, 76	syl3anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( p < 2 -> ( p < x \/ x < 2 ) ) )
78	73, 77	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( p < x \/ x < 2 ) )
79	60, 72, 78	mpjaodan 805	. . . . 5 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 0 < ( sin ` x ) )
80	79	ralrimiva 2605	. . . 4 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> A. x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) )
81		fveqeq2 5648	. . . . . 6 |- ( q = ( 2 x. p ) -> ( ( sin ` q ) = 0 <-> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 ) )
82		oveq2 6025	. . . . . . 7 |- ( q = ( 2 x. p ) -> ( 0 (,) q ) = ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) )
83	82	raleqdv 2736	. . . . . 6 |- ( q = ( 2 x. p ) -> ( A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) <-> A. x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) )
84	81, 83	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( q = ( 2 x. p ) -> ( ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) <-> ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) ) )
85	84	rspcev 2910	. . . 4 |- ( ( ( 2 x. p ) e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) )
86	26, 40, 80, 85	syl12anc 1271	. . 3 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) )
87	86	rexlimiva 2645	. 2 |- ( E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) -> E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) )
88	1, 87	ax-mp 5	1 |- E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   x. cmul 8036   RR*cxr 8212   < clt 8213   <_ cle 8214   2c2 9193   4c4 9195   RR+crp 9887   (,)cioo 10122   (,]cioc 10123   sincsin 12204   cosccos 12205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151  ax-pre-suploc 8152  ax-addf 8153  ax-mulf 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-of 6234  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-map 6818  df-pm 6819  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-sup 7182  df-inf 7183  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-xneg 10006  df-xadd 10007  df-ioo 10126  df-ioc 10127  df-ico 10128  df-icc 10129  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-fac 10987  df-bc 11009  df-ihash 11037  df-shft 11375  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839  df-sumdc 11914  df-ef 12208  df-sin 12210  df-cos 12211  df-rest 13323  df-topgen 13342  df-psmet 14556  df-xmet 14557  df-met 14558  df-bl 14559  df-mopn 14560  df-top 14721  df-topon 14734  df-bases 14766  df-ntr 14819  df-cn 14911  df-cnp 14912  df-tx 14976  df-cncf 15294  df-limced 15379  df-dvap 15380

This theorem is referenced by:  pilem3  15506