Theorem sin0pilem2 15883

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sin0pilem2	|- E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )

Distinct variable group:   x, q

Proof of Theorem sin0pilem2

Dummy variables p y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin0pilem1 15882	. 2 |- E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) )
2		2re 9374	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
3	2	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 2 e. RR )
4		elioore 10314	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p e. RR )
5	3, 4	remulcld 8356	. . . . . 6 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. p ) e. RR )
6	5	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. p ) e. RR )
7		2t1e2 9458	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 1 ) = 2
8		1red 8341	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 1 e. RR )
9		2rp 10059	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 2 e. RR+ )
11		eliooord 10330	. . . . . . . . 9 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 1 < p /\ p < 2 ) )
12	11	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 1 < p )
13	8, 4, 10, 12	ltmul2dd 10154	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. 1 ) < ( 2 x. p ) )
14	7, 13	eqbrtrrid 4166	. . . . . 6 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> 2 < ( 2 x. p ) )
15	14	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> 2 < ( 2 x. p ) )
16	11	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p < 2 )
17	4, 3, 10, 16	ltmul2dd 10154	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. p ) < ( 2 x. 2 ) )
18		2t2e4 9459	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 2 ) = 4
19	17, 18	breqtrdi 4171	. . . . . 6 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. p ) < 4 )
20	19	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. p ) < 4 )
21	2	rexri 8383	. . . . . 6 |- 2 e. RR*
22		4re 9381	. . . . . . 7 |- 4 e. RR
23	22	rexri 8383	. . . . . 6 |- 4 e. RR*
24		elioo2 10323	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR* /\ 4 e. RR* ) -> ( ( 2 x. p ) e. ( 2 (,) 4 ) <-> ( ( 2 x. p ) e. RR /\ 2 < ( 2 x. p ) /\ ( 2 x. p ) < 4 ) ) )
25	21, 23, 24	mp2an 430	. . . . 5 |- ( ( 2 x. p ) e. ( 2 (,) 4 ) <-> ( ( 2 x. p ) e. RR /\ 2 < ( 2 x. p ) /\ ( 2 x. p ) < 4 ) )
26	6, 15, 20, 25	syl3anbrc 1212	. . . 4 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. p ) e. ( 2 (,) 4 ) )
27	4	recnd 8354	. . . . . . 7 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p e. CC )
28	27	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> p e. CC )
29		sin2t 12516	. . . . . 6 |- ( p e. CC -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) )
30	28, 29	syl 14	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) )
31		simprl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( cos ` p ) = 0 )
32	31	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) = ( ( sin ` p ) x. 0 ) )
33	28	sincld 12477	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( sin ` p ) e. CC )
34	33	mul01d 8720	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. 0 ) = 0 )
35	32, 34	eqtrd 2271	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) = 0 )
36	35	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) = ( 2 x. 0 ) )
37		2cnd 9377	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> 2 e. CC )
38	37	mul01d 8720	. . . . . 6 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. 0 ) = 0 )
39	36, 38	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( 2 x. ( ( sin ` p ) x. ( cos ` p ) ) ) = 0 )
40	30, 39	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 )
41		fveq2 5695	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( sin ` y ) = ( sin ` x ) )
42	41	breq2d 4142	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( 0 < ( sin ` y ) <-> 0 < ( sin ` x ) ) )
43		simprr 537	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) )
44	43	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) )
45		elioore 10314	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) -> x e. RR )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> x e. RR )
47	46	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> x e. RR )
48		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> p < x )
49		eliooord 10330	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) -> ( 0 < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( 0 < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> ( 0 < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
52	51	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> x < ( 2 x. p ) )
53	4	rexrd 8375	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> p e. RR* )
54	5	rexrd 8375	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( 2 x. p ) e. RR* )
55		elioo2 10323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. RR* /\ ( 2 x. p ) e. RR* ) -> ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) <-> ( x e. RR /\ p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) ) )
56	53, 54, 55	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( 1 (,) 2 ) -> ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) <-> ( x e. RR /\ p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) ) )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) <-> ( x e. RR /\ p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) ) )
58	57	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> ( x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) <-> ( x e. RR /\ p < x /\ x < ( 2 x. p ) ) ) )
59	47, 48, 52, 58	mpbir3and 1211	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> x e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) )
60	42, 44, 59	rspcdva 2934	. . . . . 6 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ p < x ) -> 0 < ( sin ` x ) )
61	46	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> x e. RR )
62	50	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> ( 0 < x /\ x < ( 2 x. p ) ) )
63	62	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> 0 < x )
64	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> 2 e. RR )
65		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> x < 2 )
66	61, 64, 65	ltled 8445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> x <_ 2 )
67		0xr 8372	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
68		elioc2 10338	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ 2 e. RR ) -> ( x e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x <_ 2 ) ) )
69	67, 2, 68	mp2an 430	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 (,] 2 ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x <_ 2 ) )
70	61, 63, 66, 69	syl3anbrc 1212	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> x e. ( 0 (,] 2 ) )
71		sin02gt0 12531	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 (,] 2 ) -> 0 < ( sin ` x ) )
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) /\ x < 2 ) -> 0 < ( sin ` x ) )
73	16	ad2antrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p < 2 )
74	4	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> p e. RR )
75	2	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 2 e. RR )
76		axltwlin 8393	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. RR /\ 2 e. RR /\ x e. RR ) -> ( p < 2 -> ( p < x \/ x < 2 ) ) )
77	74, 75, 46, 76	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( p < 2 -> ( p < x \/ x < 2 ) ) )
78	73, 77	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> ( p < x \/ x < 2 ) )
79	60, 72, 78	mpjaodan 810	. . . . 5 |- ( ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) /\ x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) ) -> 0 < ( sin ` x ) )
80	79	ralrimiva 2623	. . . 4 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> A. x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) )
81		fveqeq2 5704	. . . . . 6 |- ( q = ( 2 x. p ) -> ( ( sin ` q ) = 0 <-> ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 ) )
82		oveq2 6093	. . . . . . 7 |- ( q = ( 2 x. p ) -> ( 0 (,) q ) = ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) )
83	82	raleqdv 2755	. . . . . 6 |- ( q = ( 2 x. p ) -> ( A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) <-> A. x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) )
84	81, 83	anbi12d 477	. . . . 5 |- ( q = ( 2 x. p ) -> ( ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) <-> ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) ) )
85	84	rspcev 2929	. . . 4 |- ( ( ( 2 x. p ) e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` ( 2 x. p ) ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) )
86	26, 40, 80, 85	syl12anc 1276	. . 3 |- ( ( p e. ( 1 (,) 2 ) /\ ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) ) -> E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) )
87	86	rexlimiva 2663	. 2 |- ( E. p e. ( 1 (,) 2 ) ( ( cos ` p ) = 0 /\ A. y e. ( p (,) ( 2 x. p ) ) 0 < ( sin ` y ) ) -> E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) )
88	1, 87	ax-mp 5	1 |- E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   x. cmul 8184   RR*cxr 8359   < clt 8360   <_ cle 8361   2c2 9355   4c4 9357   RR+crp 10054   (,)cioo 10290   (,]cioc 10291   sincsin 12411   cosccos 12412

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-pre-suploc 8300  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-xadd 10175  df-ioo 10294  df-ioc 10295  df-ico 10296  df-icc 10297  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-fac 11164  df-bc 11186  df-ihash 11215  df-shft 11580  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120  df-ef 12415  df-sin 12417  df-cos 12418  df-rest 13595  df-topgen 13614  df-psmet 14880  df-xmet 14881  df-met 14882  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-top 15099  df-topon 15112  df-bases 15144  df-ntr 15197  df-cn 15289  df-cnp 15290  df-tx 15354  df-cncf 15672  df-limced 15757  df-dvap 15758

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