Theorem trilpolemeq1 16408

Description: Lemma for trilpo 16411. The A = 1 case. This is proved by noting that if any ( F ` x ) is zero, then the infinite sum A is less than one based on the term which is zero. We are using the fact that the F sequence is decidable (in the sense that each element is either zero or one). (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	|- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
trilpolemgt1.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
trilpolemeq1.a	|- ( ph -> A = 1 )

Assertion

Ref	Expression
trilpolemeq1	|- ( ph -> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )

Distinct variable groups:   i, F   ph, i, x

Allowed substitution hints:   A( x, i)   F( x)

Proof of Theorem trilpolemeq1

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemeq1.a	. . . . 5 |- ( ph -> A = 1 )
2	1	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A = 1 )
3		trilpolemgt1.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
4		trilpolemgt1.a	. . . . . . . 8 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
5	3, 4	trilpolemcl 16405	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
6	5	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A e. RR )
7		nnuz 9758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
8		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( x + 1 ) )
9		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> x e. NN )
10	9	peano2nnd 9125	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( x + 1 ) e. NN )
11		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) )
12		oveq2 6009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = i -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ i ) )
13	12	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = i -> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
14		fveq2 5627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = i -> ( F ` n ) = ( F ` i ) )
15	13, 14	oveq12d 6019	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = i -> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> i e. NN )
17		2rp 9854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR+
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> 2 e. RR+ )
19	16	nnzd 9568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> i e. ZZ )
20	18, 19	rpexpcld 10919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. RR+ )
21	20	rpreccld 9903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
22	21	rpred 9892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
23		0re 8146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
24		1re 8145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
25		prssi 3826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> { 0 , 1 } C_ RR )
26	23, 24, 25	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { 0 , 1 } C_ RR
27	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
28	27, 16	ffvelcdmd 5771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. { 0 , 1 } )
29	26, 28	sselid 3222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. RR )
30	22, 29	remulcld 8177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
31	11, 15, 16, 30	fvmptd3 5728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ` i ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
32	30	recnd 8175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. CC )
33	3, 11	trilpolemclim 16404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
34	33	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
35	7, 8, 10, 31, 32, 34	isumsplit 12002	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) ) )
36	9	nncnd 9124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> x e. CC )
37		1cnd 8162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> 1 e. CC )
38	36, 37	pncand 8458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( x + 1 ) - 1 ) = x )
39	38	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... x ) )
40	9, 7	eleqtrdi 2322	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
41		fzisfzounsn 10442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... x ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1 ... x ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
43	39, 42	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
44	43	sumeq1d 11877	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
45		nfv 1574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ i ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 )
46		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ i ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) )
47		1zzd 9473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> 1 e. ZZ )
48	9	nnzd 9568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> x e. ZZ )
49		fzofig 10654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( 1..^ x ) e. Fin )
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1..^ x ) e. Fin )
51		fzonel 10357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -. x e. ( 1..^ x )
52	51	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> -. x e. ( 1..^ x ) )
53	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> 2 e. RR+ )
54		elfzoelz 10343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. ( 1..^ x ) -> i e. ZZ )
55	54	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> i e. ZZ )
56	53, 55	rpexpcld 10919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( 2 ^ i ) e. RR+ )
57	56	rpreccld 9903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
58	57	rpred 9892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
59		elfzouz 10347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 1..^ x ) -> i e. ( ZZ>= ` 1 ) )
60	59, 7	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( 1..^ x ) -> i e. NN )
61	60, 29	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( F ` i ) e. RR )
62	58, 61	remulcld 8177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
63	62	recnd 8175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. CC )
64		oveq2 6009	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = x -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ x ) )
65	64	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = x -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
66		fveq2 5627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = x -> ( F ` i ) = ( F ` x ) )
67	65, 66	oveq12d 6019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = x -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) )
68	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> 2 e. RR+ )
69	68, 48	rpexpcld 10919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 2 ^ x ) e. RR+ )
70	69	rpreccld 9903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. RR+ )
71	70	rpred 9892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. RR )
72	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
73	72, 9	ffvelcdmd 5771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( F ` x ) e. { 0 , 1 } )
74	26, 73	sselid 3222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( F ` x ) e. RR )
75	71, 74	remulcld 8177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) e. RR )
76	75	recnd 8175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) e. CC )
77	45, 46, 50, 9, 52, 63, 67, 76	fsumsplitsn 11921	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) ) )
78		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( F ` x ) = 0 )
79	78	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. 0 ) )
80	70	rpcnd 9894	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. CC )
81	80	mul01d 8539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. 0 ) = 0 )
82	79, 81	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) = 0 )
83	82	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) ) = ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) )
84	44, 77, 83	3eqtrd 2266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) )
85	84	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) ) = ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) ) )
86	35, 85	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) ) )
87	50, 62	fsumrecl 11912	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
88		0red 8147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> 0 e. RR )
89	87, 88	readdcld 8176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) e. RR )
90	10	nnzd 9568	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( x + 1 ) e. ZZ )
91		eluznn 9795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x + 1 ) e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> i e. NN )
92	10, 91	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> i e. NN )
93	92, 30	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
94	11, 15, 92, 93	fvmptd3 5728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ` i ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
95	31, 32	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ` i ) e. CC )
96	7, 10, 95	iserex 11850	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> ) )
97	34, 96	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
98	8, 90, 94, 93, 97	isumrecl 11940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
99	50, 58	fsumrecl 11912	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
100	99, 71	readdcld 8176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) e. RR )
101		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) )
102	92, 21	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
103	101, 13, 92, 102	fvmptd3 5728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ` i ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
104	92, 22	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
105		seqex 10671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. _V
106		ax-1cn 8092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
107	101	geo2lim 12027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 e. CC -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ~~> 1 )
108	106, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ~~> 1
109		breldmg 4929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. _V /\ 1 e. CC /\ seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ~~> 1 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> )
110	105, 106, 108, 109	mp3an 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. dom ~~>
111	110	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> )
112	101, 13, 16, 21	fvmptd3 5728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ` i ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
113	21	rpcnd 9894	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
114	112, 113	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ` i ) e. CC )
115	7, 10, 114	iserex 11850	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> ) )
116	111, 115	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> )
117	8, 90, 103, 104, 116	isumrecl 11940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
118		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( F ` i ) = 0 )
119	118	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 0 ) )
120	57	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
121	120	rpcnd 9894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
122	121	mul01d 8539	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 0 ) = 0 )
123	119, 122	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = 0 )
124	120	rpge0d 9896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> 0 <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
125	123, 124	eqbrtrd 4105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
126		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( F ` i ) = 1 )
127	126	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 1 ) )
128	58	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
129	128	recnd 8175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
130	129	mulridd 8163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 1 ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
131	127, 130	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
132	128	leidd 8661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
133	131, 132	eqbrtrd 4105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
134	72	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
135	60	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> i e. NN )
136	134, 135	ffvelcdmd 5771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( F ` i ) e. { 0 , 1 } )
137		elpri 3689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` i ) e. { 0 , 1 } -> ( ( F ` i ) = 0 \/ ( F ` i ) = 1 ) )
138	136, 137	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( F ` i ) = 0 \/ ( F ` i ) = 1 ) )
139	125, 133, 138	mpjaodan 803	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
140	50, 62, 58, 139	fsumle 11974	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) <_ sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
141	70	rpgt0d 9895	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> 0 < ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
142	87, 88, 99, 71, 140, 141	leltaddd 8713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) < ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) )
143	72, 4, 8, 10	trilpolemisumle 16406	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) <_ sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
144	89, 98, 100, 117, 142, 143	ltleaddd 8712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) ) < ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
145	86, 144	eqbrtrd 4105	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) < ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
146	4, 145	eqbrtrid 4118	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A < ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
147		nfcv 2372	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( 1 / ( 2 ^ x ) )
148	57	rpcnd 9894	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
149	45, 147, 50, 9, 52, 148, 65, 80	fsumsplitsn 11921	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) )
150	149	oveq1d 6016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) = ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
151	146, 150	breqtrrd 4111	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A < ( sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
152	42	sumeq1d 11877	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
153	152	oveq1d 6016	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1 ... x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) = ( sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
154	151, 153	breqtrrd 4111	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A < ( sum_ i e. ( 1 ... x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
155	7, 8, 10, 112, 113, 111	isumsplit 12002	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
156	39	sumeq1d 11877	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = sum_ i e. ( 1 ... x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
157	156	oveq1d 6016	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
158	155, 157	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
159	154, 158	breqtrrd 4111	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A < sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
160		geoihalfsum 12033	. . . . . . 7 |- sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = 1
161	159, 160	breqtrdi 4124	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A < 1 )
162	6, 161	ltned 8260	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A =/= 1 )
163	162	neneqd 2421	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> -. A = 1 )
164	2, 163	pm2.65da 665	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> -. ( F ` x ) = 0 )
165	3	ffvelcdmda 5770	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. { 0 , 1 } )
166		elpri 3689	. . . . 5 |- ( ( F ` x ) e. { 0 , 1 } -> ( ( F ` x ) = 0 \/ ( F ` x ) = 1 ) )
167	165, 166	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( F ` x ) = 0 \/ ( F ` x ) = 1 ) )
168	167	orcomd 734	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( F ` x ) = 1 \/ ( F ` x ) = 0 ) )
169	164, 168	ecased 1383	. 2 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) = 1 )
170	169	ralrimiva 2603	1 |- ( ph -> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   u. cun 3195   C_ wss 3197   {csn 3666   {cpr 3667   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   dom cdm 4719   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Fincfn 6887   CCcc 7997   RRcr 7998   0cc0 7999   1c1 8000   + caddc 8002   x. cmul 8004   < clt 8181   <_ cle 8182   - cmin 8317   / cdiv 8819   NNcn 9110   2c2 9161   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722   RR+crp 9849   ...cfz 10204  ..^cfzo 10338   seqcseq 10669   ^cexp 10760   ~~> cli 11789   sum_csu 11864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-ico 10090  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-ihash 10998  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790  df-sumdc 11865

This theorem is referenced by:  trilpolemres  16410  redcwlpolemeq1  16422