Theorem trilpolemeq1 16181

Description: Lemma for trilpo 16184. The A = 1 case. This is proved by noting that if any ( F ` x ) is zero, then the infinite sum A is less than one based on the term which is zero. We are using the fact that the F sequence is decidable (in the sense that each element is either zero or one). (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	|- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
trilpolemgt1.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
trilpolemeq1.a	|- ( ph -> A = 1 )

Assertion

Ref	Expression
trilpolemeq1	|- ( ph -> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )

Distinct variable groups:   i, F   ph, i, x

Allowed substitution hints:   A( x, i)   F( x)

Proof of Theorem trilpolemeq1

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemeq1.a	. . . . 5 |- ( ph -> A = 1 )
2	1	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A = 1 )
3		trilpolemgt1.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
4		trilpolemgt1.a	. . . . . . . 8 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
5	3, 4	trilpolemcl 16178	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
6	5	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A e. RR )
7		nnuz 9719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
8		eqid 2207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( x + 1 ) )
9		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> x e. NN )
10	9	peano2nnd 9086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( x + 1 ) e. NN )
11		eqid 2207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) )
12		oveq2 5975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = i -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ i ) )
13	12	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = i -> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
14		fveq2 5599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = i -> ( F ` n ) = ( F ` i ) )
15	13, 14	oveq12d 5985	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = i -> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> i e. NN )
17		2rp 9815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR+
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> 2 e. RR+ )
19	16	nnzd 9529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> i e. ZZ )
20	18, 19	rpexpcld 10879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. RR+ )
21	20	rpreccld 9864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
22	21	rpred 9853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
23		0re 8107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
24		1re 8106	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
25		prssi 3802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> { 0 , 1 } C_ RR )
26	23, 24, 25	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { 0 , 1 } C_ RR
27	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
28	27, 16	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. { 0 , 1 } )
29	26, 28	sselid 3199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. RR )
30	22, 29	remulcld 8138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
31	11, 15, 16, 30	fvmptd3 5696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ` i ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
32	30	recnd 8136	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. CC )
33	3, 11	trilpolemclim 16177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
34	33	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
35	7, 8, 10, 31, 32, 34	isumsplit 11917	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) ) )
36	9	nncnd 9085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> x e. CC )
37		1cnd 8123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> 1 e. CC )
38	36, 37	pncand 8419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( x + 1 ) - 1 ) = x )
39	38	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... x ) )
40	9, 7	eleqtrdi 2300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
41		fzisfzounsn 10402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... x ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1 ... x ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
43	39, 42	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
44	43	sumeq1d 11792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
45		nfv 1552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ i ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 )
46		nfcv 2350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ i ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) )
47		1zzd 9434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> 1 e. ZZ )
48	9	nnzd 9529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> x e. ZZ )
49		fzofig 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( 1..^ x ) e. Fin )
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1..^ x ) e. Fin )
51		fzonel 10318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -. x e. ( 1..^ x )
52	51	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> -. x e. ( 1..^ x ) )
53	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> 2 e. RR+ )
54		elfzoelz 10304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. ( 1..^ x ) -> i e. ZZ )
55	54	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> i e. ZZ )
56	53, 55	rpexpcld 10879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( 2 ^ i ) e. RR+ )
57	56	rpreccld 9864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
58	57	rpred 9853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
59		elfzouz 10308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 1..^ x ) -> i e. ( ZZ>= ` 1 ) )
60	59, 7	eleqtrrdi 2301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( 1..^ x ) -> i e. NN )
61	60, 29	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( F ` i ) e. RR )
62	58, 61	remulcld 8138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
63	62	recnd 8136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. CC )
64		oveq2 5975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = x -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ x ) )
65	64	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = x -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
66		fveq2 5599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = x -> ( F ` i ) = ( F ` x ) )
67	65, 66	oveq12d 5985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = x -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) )
68	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> 2 e. RR+ )
69	68, 48	rpexpcld 10879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 2 ^ x ) e. RR+ )
70	69	rpreccld 9864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. RR+ )
71	70	rpred 9853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. RR )
72	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
73	72, 9	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( F ` x ) e. { 0 , 1 } )
74	26, 73	sselid 3199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( F ` x ) e. RR )
75	71, 74	remulcld 8138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) e. RR )
76	75	recnd 8136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) e. CC )
77	45, 46, 50, 9, 52, 63, 67, 76	fsumsplitsn 11836	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) ) )
78		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( F ` x ) = 0 )
79	78	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. 0 ) )
80	70	rpcnd 9855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. CC )
81	80	mul01d 8500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. 0 ) = 0 )
82	79, 81	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) = 0 )
83	82	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) ) = ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) )
84	44, 77, 83	3eqtrd 2244	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) )
85	84	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) ) = ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) ) )
86	35, 85	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) ) )
87	50, 62	fsumrecl 11827	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
88		0red 8108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> 0 e. RR )
89	87, 88	readdcld 8137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) e. RR )
90	10	nnzd 9529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( x + 1 ) e. ZZ )
91		eluznn 9756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x + 1 ) e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> i e. NN )
92	10, 91	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> i e. NN )
93	92, 30	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
94	11, 15, 92, 93	fvmptd3 5696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ` i ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
95	31, 32	eqeltrd 2284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ` i ) e. CC )
96	7, 10, 95	iserex 11765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> ) )
97	34, 96	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
98	8, 90, 94, 93, 97	isumrecl 11855	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
99	50, 58	fsumrecl 11827	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
100	99, 71	readdcld 8137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) e. RR )
101		eqid 2207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) )
102	92, 21	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
103	101, 13, 92, 102	fvmptd3 5696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ` i ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
104	92, 22	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
105		seqex 10631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. _V
106		ax-1cn 8053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
107	101	geo2lim 11942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 e. CC -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ~~> 1 )
108	106, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ~~> 1
109		breldmg 4903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. _V /\ 1 e. CC /\ seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ~~> 1 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> )
110	105, 106, 108, 109	mp3an 1350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. dom ~~>
111	110	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> )
112	101, 13, 16, 21	fvmptd3 5696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ` i ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
113	21	rpcnd 9855	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
114	112, 113	eqeltrd 2284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ` i ) e. CC )
115	7, 10, 114	iserex 11765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> ) )
116	111, 115	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> )
117	8, 90, 103, 104, 116	isumrecl 11855	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
118		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( F ` i ) = 0 )
119	118	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 0 ) )
120	57	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
121	120	rpcnd 9855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
122	121	mul01d 8500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 0 ) = 0 )
123	119, 122	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = 0 )
124	120	rpge0d 9857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> 0 <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
125	123, 124	eqbrtrd 4081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
126		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( F ` i ) = 1 )
127	126	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 1 ) )
128	58	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
129	128	recnd 8136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
130	129	mulridd 8124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 1 ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
131	127, 130	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
132	128	leidd 8622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
133	131, 132	eqbrtrd 4081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
134	72	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
135	60	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> i e. NN )
136	134, 135	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( F ` i ) e. { 0 , 1 } )
137		elpri 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` i ) e. { 0 , 1 } -> ( ( F ` i ) = 0 \/ ( F ` i ) = 1 ) )
138	136, 137	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( F ` i ) = 0 \/ ( F ` i ) = 1 ) )
139	125, 133, 138	mpjaodan 800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
140	50, 62, 58, 139	fsumle 11889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) <_ sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
141	70	rpgt0d 9856	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> 0 < ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
142	87, 88, 99, 71, 140, 141	leltaddd 8674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) < ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) )
143	72, 4, 8, 10	trilpolemisumle 16179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) <_ sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
144	89, 98, 100, 117, 142, 143	ltleaddd 8673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) ) < ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
145	86, 144	eqbrtrd 4081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) < ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
146	4, 145	eqbrtrid 4094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A < ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
147		nfcv 2350	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( 1 / ( 2 ^ x ) )
148	57	rpcnd 9855	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
149	45, 147, 50, 9, 52, 148, 65, 80	fsumsplitsn 11836	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) )
150	149	oveq1d 5982	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) = ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
151	146, 150	breqtrrd 4087	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A < ( sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
152	42	sumeq1d 11792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
153	152	oveq1d 5982	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1 ... x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) = ( sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
154	151, 153	breqtrrd 4087	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A < ( sum_ i e. ( 1 ... x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
155	7, 8, 10, 112, 113, 111	isumsplit 11917	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
156	39	sumeq1d 11792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = sum_ i e. ( 1 ... x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
157	156	oveq1d 5982	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
158	155, 157	eqtrd 2240	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
159	154, 158	breqtrrd 4087	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A < sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
160		geoihalfsum 11948	. . . . . . 7 |- sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = 1
161	159, 160	breqtrdi 4100	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A < 1 )
162	6, 161	ltned 8221	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A =/= 1 )
163	162	neneqd 2399	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> -. A = 1 )
164	2, 163	pm2.65da 663	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> -. ( F ` x ) = 0 )
165	3	ffvelcdmda 5738	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. { 0 , 1 } )
166		elpri 3666	. . . . 5 |- ( ( F ` x ) e. { 0 , 1 } -> ( ( F ` x ) = 0 \/ ( F ` x ) = 1 ) )
167	165, 166	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( F ` x ) = 0 \/ ( F ` x ) = 1 ) )
168	167	orcomd 731	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( F ` x ) = 1 \/ ( F ` x ) = 0 ) )
169	164, 168	ecased 1362	. 2 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) = 1 )
170	169	ralrimiva 2581	1 |- ( ph -> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   _Vcvv 2776   u. cun 3172   C_ wss 3174   {csn 3643   {cpr 3644   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   dom cdm 4693   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Fincfn 6850   CCcc 7958   RRcr 7959   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   x. cmul 7965   < clt 8142   <_ cle 8143   - cmin 8278   / cdiv 8780   NNcn 9071   2c2 9122   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   RR+crp 9810   ...cfz 10165  ..^cfzo 10299   seqcseq 10629   ^cexp 10720   ~~> cli 11704   sum_csu 11779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-ico 10051  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780

This theorem is referenced by:  trilpolemres  16183  redcwlpolemeq1  16195