Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trilpolemeq1 Unicode version

Theorem trilpolemeq1 12925
 Description: Lemma for trilpo 12928. The case. This is proved by noting that if any is zero, then the infinite sum is less than one based on the term which is zero. We are using the fact that the sequence is decidable (in the sense that each element is either zero or one). (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trilpolemgt1.f
trilpolemgt1.a
trilpolemeq1.a
Assertion
Ref Expression
trilpolemeq1
Distinct variable groups:   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem trilpolemeq1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trilpolemeq1.a . . . . 5
21ad2antrr 477 . . . 4
3 trilpolemgt1.f . . . . . . . 8
4 trilpolemgt1.a . . . . . . . 8
53, 4trilpolemcl 12922 . . . . . . 7
65ad2antrr 477 . . . . . 6
7 nnuz 9263 . . . . . . . . . . . . . 14
8 eqid 2115 . . . . . . . . . . . . . 14
9 simplr 502 . . . . . . . . . . . . . . 15
109peano2nnd 8645 . . . . . . . . . . . . . 14
11 eqid 2115 . . . . . . . . . . . . . . 15
12 oveq2 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1312oveq2d 5744 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14 fveq2 5375 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1513, 14oveq12d 5746 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 2rp 9348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1817a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1916nnzd 9076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2018, 19rpexpcld 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2120rpreccld 9393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2221rpred 9382 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23 0re 7690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24 1re 7689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
25 prssi 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2623, 24, 25mp2an 420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
273ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2827, 16ffvelrnd 5510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2926, 28sseldi 3061 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3022, 29remulcld 7720 . . . . . . . . . . . . . . 15
3111, 15, 16, 30fvmptd3 5468 . . . . . . . . . . . . . 14
3230recnd 7718 . . . . . . . . . . . . . 14
333, 11trilpolemclim 12921 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . 14
357, 8, 10, 31, 32, 34isumsplit 11152 . . . . . . . . . . . . 13
369nncnd 8644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37 1cnd 7706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3836, 37pncand 7997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3938oveq2d 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
409, 7syl6eleq 2207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
41 fzisfzounsn 9906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
4240, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
4339, 42eqtrd 2147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
4443sumeq1d 11027 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
45 nfv 1491 . . . . . . . . . . . . . . . 16
46 nfcv 2255 . . . . . . . . . . . . . . . 16
47 1zzd 8985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
489nnzd 9076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
49 fzofig 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
5047, 48, 49syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
51 fzonel 9830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
5251a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
5317a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
54 elfzoelz 9817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
5554adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
5653, 55rpexpcld 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
5756rpreccld 9393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
5857rpred 9382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
59 elfzouz 9821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
6059, 7syl6eleqr 2208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
6160, 29sylan2 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
6258, 61remulcld 7720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
6362recnd 7718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
64 oveq2 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6564oveq2d 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
66 fveq2 5375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6765, 66oveq12d 5746 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6817a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6968, 48rpexpcld 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7069rpreccld 9393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7170rpred 9382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
723ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7372, 9ffvelrnd 5510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7426, 73sseldi 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7571, 74remulcld 7720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7675recnd 7718 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7745, 46, 50, 9, 52, 63, 67, 76fsumsplitsn 11071 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
78 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7978oveq2d 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8070rpcnd 9384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8180mul01d 8074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8279, 81eqtrd 2147 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8382oveq2d 5744 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
8444, 77, 833eqtrd 2151 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
8584oveq1d 5743 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
8635, 85eqtrd 2147 . . . . . . . . . . . 12 ..^
8750, 62fsumrecl 11062 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
88 0red 7691 . . . . . . . . . . . . . 14
8987, 88readdcld 7719 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
9010nnzd 9076 . . . . . . . . . . . . . 14
91 eluznn 9296 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9210, 91sylan 279 . . . . . . . . . . . . . . 15
9392, 30syldan 278 . . . . . . . . . . . . . . 15
9411, 15, 92, 93fvmptd3 5468 . . . . . . . . . . . . . 14
9531, 32eqeltrd 2191 . . . . . . . . . . . . . . . 16
967, 10, 95iserex 11000 . . . . . . . . . . . . . . 15
9734, 96mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . 14
988, 90, 94, 93, 97isumrecl 11090 . . . . . . . . . . . . 13
9950, 58fsumrecl 11062 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
10099, 71readdcld 7719 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
101 eqid 2115 . . . . . . . . . . . . . . 15
10292, 21syldan 278 . . . . . . . . . . . . . . 15
103101, 13, 92, 102fvmptd3 5468 . . . . . . . . . . . . . 14
10492, 22syldan 278 . . . . . . . . . . . . . 14
105 seqex 10113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
106 ax-1cn 7638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107101geo2lim 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108106, 107ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109 breldmg 4705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110105, 106, 108, 109mp3an 1298 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111110a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15
112101, 13, 16, 21fvmptd3 5468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11321rpcnd 9384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114112, 113eqeltrd 2191 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1157, 10, 114iserex 11000 . . . . . . . . . . . . . . 15
116111, 115mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . 14
1178, 90, 103, 104, 116isumrecl 11090 . . . . . . . . . . . . 13
118 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
119118oveq2d 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
12057adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
121120rpcnd 9384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
122121mul01d 8074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
123119, 122eqtrd 2147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
124120rpge0d 9386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
125123, 124eqbrtrd 3915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
126 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
127126oveq2d 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
12858adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
129128recnd 7718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
130129mulid1d 7707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
131127, 130eqtrd 2147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
132128leidd 8195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
133131, 132eqbrtrd 3915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
13472adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
13560adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
136134, 135ffvelrnd 5510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
137 elpri 3516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
138136, 137syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
139125, 133, 138mpjaodan 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
14050, 62, 58, 139fsumle 11124 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
14170rpgt0d 9385 . . . . . . . . . . . . . 14
14287, 88, 99, 71, 140, 141leltaddd 8246 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
14372, 4, 8, 10trilpolemisumle 12923 . . . . . . . . . . . . 13
14489, 98, 100, 117, 142, 143ltleaddd 8245 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
14586, 144eqbrtrd 3915 . . . . . . . . . . 11 ..^
1464, 145eqbrtrid 3928 . . . . . . . . . 10 ..^
147 nfcv 2255 . . . . . . . . . . . 12
14857rpcnd 9384 . . . . . . . . . . . 12 ..^
14945, 147, 50, 9, 52, 148, 65, 80fsumsplitsn 11071 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
150149oveq1d 5743 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
151146, 150breqtrrd 3921 . . . . . . . . 9 ..^
15242sumeq1d 11027 . . . . . . . . . 10 ..^
153152oveq1d 5743 . . . . . . . . 9 ..^
154151, 153breqtrrd 3921 . . . . . . . 8
1557, 8, 10, 112, 113, 111isumsplit 11152 . . . . . . . . 9
15639sumeq1d 11027 . . . . . . . . . 10
157156oveq1d 5743 . . . . . . . . 9
158155, 157eqtrd 2147 . . . . . . . 8
159154, 158breqtrrd 3921 . . . . . . 7
160 geoihalfsum 11183 . . . . . . 7
161159, 160syl6breq 3934 . . . . . 6
1626, 161ltned 7800 . . . . 5
163162neneqd 2303 . . . 4
1642, 163pm2.65da 633 . . 3
1653ffvelrnda 5509 . . . . 5
166 elpri 3516 . . . . 5
167165, 166syl 14 . . . 4
168167orcomd 701 . . 3
169164, 168ecased 1310 . 2
170169ralrimiva 2479 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wo 680   wceq 1314   wcel 1463  wral 2390  cvv 2657   cun 3035   wss 3037  csn 3493  cpr 3494   class class class wbr 3895   cmpt 3949   cdm 4499  wf 5077  cfv 5081  (class class class)co 5728  cfn 6588  cc 7545  cr 7546  cc0 7547  c1 7548   caddc 7550   cmul 7552   clt 7724   cle 7725   cmin 7856   cdiv 8345  cn 8630  c2 8681  cz 8958  cuz 9228  crp 9343  cfz 9683  ..^cfzo 9812   cseq 10111  cexp 10185   cli 10939  csu 11014 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-isom 5090  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-irdg 6221  df-frec 6242  df-1o 6267  df-oadd 6271  df-er 6383  df-en 6589  df-dom 6590  df-fin 6591  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-ico 9570  df-fz 9684  df-fzo 9813  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-ihash 10415  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-clim 10940  df-sumdc 11015 This theorem is referenced by:  trilpolemres  12927
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