Theorem trilpolemeq1 13233

Description: Lemma for trilpo 13236. The A = 1 case. This is proved by noting that if any ( F ` x ) is zero, then the infinite sum A is less than one based on the term which is zero. We are using the fact that the F sequence is decidable (in the sense that each element is either zero or one). (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	|- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
trilpolemgt1.a	|- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
trilpolemeq1.a	|- ( ph -> A = 1 )

Assertion

Ref	Expression
trilpolemeq1	|- ( ph -> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )

Distinct variable groups:   i, F   ph, i, x

Allowed substitution hints:   A( x, i)   F( x)

Proof of Theorem trilpolemeq1

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemeq1.a	. . . . 5 |- ( ph -> A = 1 )
2	1	ad2antrr 479	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A = 1 )
3		trilpolemgt1.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN --> { 0 , 1 } )
4		trilpolemgt1.a	. . . . . . . 8 |- A = sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) )
5	3, 4	trilpolemcl 13230	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
6	5	ad2antrr 479	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A e. RR )
7		nnuz 9361	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
8		eqid 2139	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( x + 1 ) )
9		simplr 519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> x e. NN )
10	9	peano2nnd 8735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( x + 1 ) e. NN )
11		eqid 2139	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) )
12		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = i -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ i ) )
13	12	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = i -> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
14		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = i -> ( F ` n ) = ( F ` i ) )
15	13, 14	oveq12d 5792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = i -> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
16		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> i e. NN )
17		2rp 9446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR+
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> 2 e. RR+ )
19	16	nnzd 9172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> i e. ZZ )
20	18, 19	rpexpcld 10448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( 2 ^ i ) e. RR+ )
21	20	rpreccld 9494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
22	21	rpred 9483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
23		0re 7766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
24		1re 7765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
25		prssi 3678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> { 0 , 1 } C_ RR )
26	23, 24, 25	mp2an 422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { 0 , 1 } C_ RR
27	3	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
28	27, 16	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. { 0 , 1 } )
29	26, 28	sseldi 3095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( F ` i ) e. RR )
30	22, 29	remulcld 7796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
31	11, 15, 16, 30	fvmptd3 5514	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ` i ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
32	30	recnd 7794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. CC )
33	3, 11	trilpolemclim 13229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
34	33	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
35	7, 8, 10, 31, 32, 34	isumsplit 11260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) ) )
36	9	nncnd 8734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> x e. CC )
37		1cnd 7782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> 1 e. CC )
38	36, 37	pncand 8074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( x + 1 ) - 1 ) = x )
39	38	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) = ( 1 ... x ) )
40	9, 7	eleqtrdi 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> x e. ( ZZ>= ` 1 ) )
41		fzisfzounsn 10013	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... x ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1 ... x ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
43	39, 42	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) = ( ( 1..^ x ) u. { x } ) )
44	43	sumeq1d 11135	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
45		nfv 1508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ i ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 )
46		nfcv 2281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ i ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) )
47		1zzd 9081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> 1 e. ZZ )
48	9	nnzd 9172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> x e. ZZ )
49		fzofig 10205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( 1..^ x ) e. Fin )
50	47, 48, 49	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1..^ x ) e. Fin )
51		fzonel 9937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -. x e. ( 1..^ x )
52	51	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> -. x e. ( 1..^ x ) )
53	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> 2 e. RR+ )
54		elfzoelz 9924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. ( 1..^ x ) -> i e. ZZ )
55	54	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> i e. ZZ )
56	53, 55	rpexpcld 10448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( 2 ^ i ) e. RR+ )
57	56	rpreccld 9494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
58	57	rpred 9483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
59		elfzouz 9928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 1..^ x ) -> i e. ( ZZ>= ` 1 ) )
60	59, 7	eleqtrrdi 2233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( 1..^ x ) -> i e. NN )
61	60, 29	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( F ` i ) e. RR )
62	58, 61	remulcld 7796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
63	62	recnd 7794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. CC )
64		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = x -> ( 2 ^ i ) = ( 2 ^ x ) )
65	64	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = x -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
66		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = x -> ( F ` i ) = ( F ` x ) )
67	65, 66	oveq12d 5792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = x -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) )
68	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> 2 e. RR+ )
69	68, 48	rpexpcld 10448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 2 ^ x ) e. RR+ )
70	69	rpreccld 9494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. RR+ )
71	70	rpred 9483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. RR )
72	3	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
73	72, 9	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( F ` x ) e. { 0 , 1 } )
74	26, 73	sseldi 3095	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( F ` x ) e. RR )
75	71, 74	remulcld 7796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) e. RR )
76	75	recnd 7794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) e. CC )
77	45, 46, 50, 9, 52, 63, 67, 76	fsumsplitsn 11179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) ) )
78		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( F ` x ) = 0 )
79	78	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. 0 ) )
80	70	rpcnd 9485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( 1 / ( 2 ^ x ) ) e. CC )
81	80	mul01d 8155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. 0 ) = 0 )
82	79, 81	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) = 0 )
83	82	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + ( ( 1 / ( 2 ^ x ) ) x. ( F ` x ) ) ) = ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) )
84	44, 77, 83	3eqtrd 2176	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) )
85	84	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) ) = ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) ) )
86	35, 85	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) ) )
87	50, 62	fsumrecl 11170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
88		0red 7767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> 0 e. RR )
89	87, 88	readdcld 7795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) e. RR )
90	10	nnzd 9172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( x + 1 ) e. ZZ )
91		eluznn 9394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x + 1 ) e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> i e. NN )
92	10, 91	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> i e. NN )
93	92, 30	syldan 280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
94	11, 15, 92, 93	fvmptd3 5514	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ` i ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) )
95	31, 32	eqeltrd 2216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ` i ) e. CC )
96	7, 10, 95	iserex 11108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> ) )
97	34, 96	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( ( 1 / ( 2 ^ n ) ) x. ( F ` n ) ) ) ) e. dom ~~> )
98	8, 90, 94, 93, 97	isumrecl 11198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) e. RR )
99	50, 58	fsumrecl 11170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
100	99, 71	readdcld 7795	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) e. RR )
101		eqid 2139	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) )
102	92, 21	syldan 280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
103	101, 13, 92, 102	fvmptd3 5514	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ` i ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
104	92, 22	syldan 280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
105		seqex 10220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. _V
106		ax-1cn 7713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
107	101	geo2lim 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 e. CC -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ~~> 1 )
108	106, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ~~> 1
109		breldmg 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. _V /\ 1 e. CC /\ seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) ~~> 1 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> )
110	105, 106, 108, 109	mp3an 1315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. dom ~~>
111	110	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> )
112	101, 13, 16, 21	fvmptd3 5514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ` i ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
113	21	rpcnd 9485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
114	112, 113	eqeltrd 2216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ` i ) e. CC )
115	7, 10, 114	iserex 11108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> <-> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> ) )
116	111, 115	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> seq ( x + 1 ) ( + , ( n e. NN |-> ( 1 / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. dom ~~> )
117	8, 90, 103, 104, 116	isumrecl 11198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
118		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( F ` i ) = 0 )
119	118	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 0 ) )
120	57	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR+ )
121	120	rpcnd 9485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
122	121	mul01d 8155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 0 ) = 0 )
123	119, 122	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = 0 )
124	120	rpge0d 9487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> 0 <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
125	123, 124	eqbrtrd 3950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 0 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
126		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( F ` i ) = 1 )
127	126	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 1 ) )
128	58	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. RR )
129	128	recnd 7794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
130	129	mulid1d 7783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. 1 ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
131	127, 130	eqtrd 2172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) = ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
132	128	leidd 8276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
133	131, 132	eqbrtrd 3950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) /\ ( F ` i ) = 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
134	72	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> F : NN --> { 0 , 1 } )
135	60	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> i e. NN )
136	134, 135	ffvelrnd 5556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( F ` i ) e. { 0 , 1 } )
137		elpri 3550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` i ) e. { 0 , 1 } -> ( ( F ` i ) = 0 \/ ( F ` i ) = 1 ) )
138	136, 137	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( F ` i ) = 0 \/ ( F ` i ) = 1 ) )
139	125, 133, 138	mpjaodan 787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) <_ ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
140	50, 62, 58, 139	fsumle 11232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) <_ sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
141	70	rpgt0d 9486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> 0 < ( 1 / ( 2 ^ x ) ) )
142	87, 88, 99, 71, 140, 141	leltaddd 8328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) < ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) )
143	72, 4, 8, 10	trilpolemisumle 13231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) <_ sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
144	89, 98, 100, 117, 142, 143	ltleaddd 8327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) + 0 ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) ) < ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
145	86, 144	eqbrtrd 3950	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. NN ( ( 1 / ( 2 ^ i ) ) x. ( F ` i ) ) < ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
146	4, 145	eqbrtrid 3963	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A < ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
147		nfcv 2281	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( 1 / ( 2 ^ x ) )
148	57	rpcnd 9485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) /\ i e. ( 1..^ x ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ i ) ) e. CC )
149	45, 147, 50, 9, 52, 148, 65, 80	fsumsplitsn 11179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) )
150	149	oveq1d 5789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) = ( ( sum_ i e. ( 1..^ x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + ( 1 / ( 2 ^ x ) ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
151	146, 150	breqtrrd 3956	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A < ( sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
152	42	sumeq1d 11135	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1 ... x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
153	152	oveq1d 5789	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1 ... x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) = ( sum_ i e. ( ( 1..^ x ) u. { x } ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
154	151, 153	breqtrrd 3956	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A < ( sum_ i e. ( 1 ... x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
155	7, 8, 10, 112, 113, 111	isumsplit 11260	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
156	39	sumeq1d 11135	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = sum_ i e. ( 1 ... x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
157	156	oveq1d 5789	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> ( sum_ i e. ( 1 ... ( ( x + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
158	155, 157	eqtrd 2172	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = ( sum_ i e. ( 1 ... x ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) + sum_ i e. ( ZZ>= ` ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 ^ i ) ) ) )
159	154, 158	breqtrrd 3956	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A < sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) )
160		geoihalfsum 11291	. . . . . . 7 |- sum_ i e. NN ( 1 / ( 2 ^ i ) ) = 1
161	159, 160	breqtrdi 3969	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A < 1 )
162	6, 161	ltned 7877	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> A =/= 1 )
163	162	neneqd 2329	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ ( F ` x ) = 0 ) -> -. A = 1 )
164	2, 163	pm2.65da 650	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> -. ( F ` x ) = 0 )
165	3	ffvelrnda 5555	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) e. { 0 , 1 } )
166		elpri 3550	. . . . 5 |- ( ( F ` x ) e. { 0 , 1 } -> ( ( F ` x ) = 0 \/ ( F ` x ) = 1 ) )
167	165, 166	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( F ` x ) = 0 \/ ( F ` x ) = 1 ) )
168	167	orcomd 718	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( ( F ` x ) = 1 \/ ( F ` x ) = 0 ) )
169	164, 168	ecased 1327	. 2 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> ( F ` x ) = 1 )
170	169	ralrimiva 2505	1 |- ( ph -> A. x e. NN ( F ` x ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   _Vcvv 2686   u. cun 3069   C_ wss 3071   {csn 3527   {cpr 3528   class class class wbr 3929   |-> cmpt 3989   dom cdm 4539   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   Fincfn 6634   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   < clt 7800   <_ cle 7801   - cmin 7933   / cdiv 8432   NNcn 8720   2c2 8771   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   RR+crp 9441   ...cfz 9790  ..^cfzo 9919   seqcseq 10218   ^cexp 10292   ~~> cli 11047   sum_csu 11122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-ico 9677  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123

This theorem is referenced by:  trilpolemres  13235