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Theorem trilpolemeq1 14072
Description: Lemma for trilpo 14075. The  A  =  1 case. This is proved by noting that if any  ( F `  x
) is zero, then the infinite sum  A is less than one based on the term which is zero. We are using the fact that the  F sequence is decidable (in the sense that each element is either zero or one). (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
trilpolemgt1.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> { 0 ,  1 } )
trilpolemgt1.a  |-  A  = 
sum_ i  e.  NN  ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  ( F `  i )
)
trilpolemeq1.a  |-  ( ph  ->  A  =  1 )
Assertion
Ref Expression
trilpolemeq1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  NN  ( F `  x )  =  1 )
Distinct variable groups:    i, F    ph, i, x
Allowed substitution hints:    A( x, i)    F( x)

Proof of Theorem trilpolemeq1
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trilpolemeq1.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =  1 )
21ad2antrr 485 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  A  =  1 )
3 trilpolemgt1.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : NN --> { 0 ,  1 } )
4 trilpolemgt1.a . . . . . . . 8  |-  A  = 
sum_ i  e.  NN  ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  ( F `  i )
)
53, 4trilpolemcl 14069 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
65ad2antrr 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  A  e.  RR )
7 nnuz 9522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8 eqid 2170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  ( x  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( x  + 
1 ) )
9 simplr 525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  x  e.  NN )
109peano2nnd 8893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( x  +  1 )  e.  NN )
11 eqid 2170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( 2 ^ n ) )  x.  ( F `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( 2 ^ n ) )  x.  ( F `  n
) ) )
12 oveq2 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  i  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ i ) )
1312oveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  i  ->  (
1  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ i
) ) )
14 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  i  ->  ( F `  n )  =  ( F `  i ) )
1513, 14oveq12d 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  i  ->  (
( 1  /  (
2 ^ n ) )  x.  ( F `
 n ) )  =  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( F `  i
) ) )
16 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  NN )
17 2rp 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR+
1817a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  NN )  ->  2  e.  RR+ )
1916nnzd 9333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  NN )  ->  i  e.  ZZ )
2018, 19rpexpcld 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  NN )  ->  ( 2 ^ i )  e.  RR+ )
2120rpreccld 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  NN )  ->  ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  e.  RR+ )
2221rpred 9653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  NN )  ->  ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  e.  RR )
23 0re 7920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
24 1re 7919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
25 prssi 3738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  { 0 ,  1 }  C_  RR )
2623, 24, 25mp2an 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { 0 ,  1 }  C_  RR
273ad3antrrr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  NN )  ->  F : NN --> { 0 ,  1 } )
2827, 16ffvelrnd 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  e.  {
0 ,  1 } )
2926, 28sselid 3145 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  NN )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
3022, 29remulcld 7950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( F `  i
) )  e.  RR )
3111, 15, 16, 30fvmptd3 5589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( 2 ^ n ) )  x.  ( F `  n ) ) ) `
 i )  =  ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  ( F `  i )
) )
3230recnd 7948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( F `  i
) )  e.  CC )
333, 11trilpolemclim 14068 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( 2 ^ n ) )  x.  ( F `  n
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
3433ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  x.  ( F `  n )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
357, 8, 10, 31, 32, 34isumsplit 11454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  sum_ i  e.  NN  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( F `
 i ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( x  +  1 )  -  1 ) ) ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( F `  i
) )  +  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1
) ) ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( F `  i ) ) ) )
369nncnd 8892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  x  e.  CC )
37 1cnd 7936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
1  e.  CC )
3836, 37pncand 8231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( ( x  + 
1 )  -  1 )  =  x )
3938oveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( 1 ... (
( x  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... x ) )
409, 7eleqtrdi 2263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  x  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
41 fzisfzounsn 10192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 1 ... x )  =  ( ( 1..^ x )  u.  { x } ) )
4240, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( 1 ... x
)  =  ( ( 1..^ x )  u. 
{ x } ) )
4339, 42eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( 1 ... (
( x  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( 1..^ x )  u. 
{ x } ) )
4443sumeq1d 11329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( x  +  1 )  - 
1 ) ) ( ( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( F `
 i ) )  =  sum_ i  e.  ( ( 1..^ x )  u.  { x }
) ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( F `  i
) ) )
45 nfv 1521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ i ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )
46 nfcv 2312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ i
( ( 1  / 
( 2 ^ x
) )  x.  ( F `  x )
)
47 1zzd 9239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
1  e.  ZZ )
489nnzd 9333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  x  e.  ZZ )
49 fzofig 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( 1..^ x )  e.  Fin )
5047, 48, 49syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( 1..^ x )  e.  Fin )
51 fzonel 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  x  e.  ( 1..^ x )
5251a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  -.  x  e.  (
1..^ x ) )
5317a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  ->  2  e.  RR+ )
54 elfzoelz 10103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( 1..^ x )  ->  i  e.  ZZ )
5554adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  ->  i  e.  ZZ )
5653, 55rpexpcld 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  ->  ( 2 ^ i )  e.  RR+ )
5756rpreccld 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  ->  ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  e.  RR+ )
5857rpred 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  ->  ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  e.  RR )
59 elfzouz 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  ( 1..^ x )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
6059, 7eleqtrrdi 2264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( 1..^ x )  ->  i  e.  NN )
6160, 29sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
6258, 61remulcld 7950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( F `  i
) )  e.  RR )
6362recnd 7948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( F `  i
) )  e.  CC )
64 oveq2 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  x  ->  (
2 ^ i )  =  ( 2 ^ x ) )
6564oveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  x  ->  (
1  /  ( 2 ^ i ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ x
) ) )
66 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  x  ->  ( F `  i )  =  ( F `  x ) )
6765, 66oveq12d 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  x  ->  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( F `
 i ) )  =  ( ( 1  /  ( 2 ^ x ) )  x.  ( F `  x
) ) )
6817a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
2  e.  RR+ )
6968, 48rpexpcld 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( 2 ^ x
)  e.  RR+ )
7069rpreccld 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( 1  /  (
2 ^ x ) )  e.  RR+ )
7170rpred 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( 1  /  (
2 ^ x ) )  e.  RR )
723ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  F : NN --> { 0 ,  1 } )
7372, 9ffvelrnd 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( F `  x
)  e.  { 0 ,  1 } )
7426, 73sselid 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( F `  x
)  e.  RR )
7571, 74remulcld 7950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( ( 1  / 
( 2 ^ x
) )  x.  ( F `  x )
)  e.  RR )
7675recnd 7948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( ( 1  / 
( 2 ^ x
) )  x.  ( F `  x )
)  e.  CC )
7745, 46, 50, 9, 52, 63, 67, 76fsumsplitsn 11373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  sum_ i  e.  ( ( 1..^ x )  u. 
{ x } ) ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  ( F `  i )
)  =  ( sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( F `  i ) )  +  ( ( 1  / 
( 2 ^ x
) )  x.  ( F `  x )
) ) )
78 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( F `  x
)  =  0 )
7978oveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( ( 1  / 
( 2 ^ x
) )  x.  ( F `  x )
)  =  ( ( 1  /  ( 2 ^ x ) )  x.  0 ) )
8070rpcnd 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( 1  /  (
2 ^ x ) )  e.  CC )
8180mul01d 8312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( ( 1  / 
( 2 ^ x
) )  x.  0 )  =  0 )
8279, 81eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( ( 1  / 
( 2 ^ x
) )  x.  ( F `  x )
)  =  0 )
8382oveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( ( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( F `
 i ) )  +  ( ( 1  /  ( 2 ^ x ) )  x.  ( F `  x
) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( ( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( F `
 i ) )  +  0 ) )
8444, 77, 833eqtrd 2207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( x  +  1 )  - 
1 ) ) ( ( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( F `
 i ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  ( F `  i )
)  +  0 ) )
8584oveq1d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( x  +  1 )  -  1 ) ) ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  ( F `  i )
)  +  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1 ) ) ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  ( F `  i )
) )  =  ( ( sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( ( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( F `
 i ) )  +  0 )  + 
sum_ i  e.  (
ZZ>= `  ( x  + 
1 ) ) ( ( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( F `
 i ) ) ) )
8635, 85eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  sum_ i  e.  NN  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( F `
 i ) )  =  ( ( sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( F `  i ) )  +  0 )  +  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1
) ) ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( F `  i ) ) ) )
8750, 62fsumrecl 11364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( F `  i ) )  e.  RR )
88 0red 7921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
0  e.  RR )
8987, 88readdcld 7949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( ( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( F `
 i ) )  +  0 )  e.  RR )
9010nnzd 9333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( x  +  1 )  e.  ZZ )
91 eluznn 9559 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1
) ) )  -> 
i  e.  NN )
9210, 91sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  ( x  + 
1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
9392, 30syldan 280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( F `  i
) )  e.  RR )
9411, 15, 92, 93fvmptd3 5589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( 2 ^ n ) )  x.  ( F `  n ) ) ) `
 i )  =  ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  ( F `  i )
) )
9531, 32eqeltrd 2247 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( 2 ^ n ) )  x.  ( F `  n ) ) ) `
 i )  e.  CC )
967, 10, 95iserex 11302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( 2 ^ n ) )  x.  ( F `  n
) ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq (
x  +  1 ) (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  (
2 ^ n ) )  x.  ( F `
 n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
9734, 96mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  seq ( x  +  1 ) (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( 2 ^ n
) )  x.  ( F `  n )
) ) )  e. 
dom 
~~>  )
988, 90, 94, 93, 97isumrecl 11392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1
) ) ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( F `  i ) )  e.  RR )
9950, 58fsumrecl 11364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  e.  RR )
10099, 71readdcld 7949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  +  ( 1  / 
( 2 ^ x
) ) )  e.  RR )
101 eqid 2170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) )
10292, 21syldan 280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  e.  RR+ )
103101, 13, 92, 102fvmptd3 5589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) `
 i )  =  ( 1  /  (
2 ^ i ) ) )
10492, 22syldan 280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  e.  RR )
105 seqex 10403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  e.  _V
106 ax-1cn 7867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
107101geo2lim 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  CC  ->  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ~~>  1 )
108106, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  ~~>  1
109 breldmg 4817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )  e.  _V  /\  1  e.  CC  /\  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  ~~>  1 )  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
110105, 106, 108, 109mp3an 1332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  e.  dom  ~~>
111110a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
112101, 13, 16, 21fvmptd3 5589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) `
 i )  =  ( 1  /  (
2 ^ i ) ) )
11321rpcnd 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  NN )  ->  ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  e.  CC )
114112, 113eqeltrd 2247 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) `
 i )  e.  CC )
1157, 10, 114iserex 11302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( 2 ^ n
) ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq (
x  +  1 ) (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  ) )
116111, 115mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  seq ( x  +  1 ) (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
2 ^ n ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
1178, 90, 103, 104, 116isumrecl 11392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1
) ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  e.  RR )
118 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  /\  ( F `
 i )  =  0 )  ->  ( F `  i )  =  0 )
119118oveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  /\  ( F `
 i )  =  0 )  ->  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( F `
 i ) )  =  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  0 ) )
12057adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  /\  ( F `
 i )  =  0 )  ->  (
1  /  ( 2 ^ i ) )  e.  RR+ )
121120rpcnd 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  /\  ( F `
 i )  =  0 )  ->  (
1  /  ( 2 ^ i ) )  e.  CC )
122121mul01d 8312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  /\  ( F `
 i )  =  0 )  ->  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  0 )  =  0 )
123119, 122eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  /\  ( F `
 i )  =  0 )  ->  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( F `
 i ) )  =  0 )
124120rpge0d 9657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  /\  ( F `
 i )  =  0 )  ->  0  <_  ( 1  /  (
2 ^ i ) ) )
125123, 124eqbrtrd 4011 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  /\  ( F `
 i )  =  0 )  ->  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( F `
 i ) )  <_  ( 1  / 
( 2 ^ i
) ) )
126 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  /\  ( F `
 i )  =  1 )  ->  ( F `  i )  =  1 )
127126oveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  /\  ( F `
 i )  =  1 )  ->  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( F `
 i ) )  =  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  1 ) )
12858adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  /\  ( F `
 i )  =  1 )  ->  (
1  /  ( 2 ^ i ) )  e.  RR )
129128recnd 7948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  /\  ( F `
 i )  =  1 )  ->  (
1  /  ( 2 ^ i ) )  e.  CC )
130129mulid1d 7937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  /\  ( F `
 i )  =  1 )  ->  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  1 )  =  ( 1  / 
( 2 ^ i
) ) )
131127, 130eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  /\  ( F `
 i )  =  1 )  ->  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( F `
 i ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ i
) ) )
132128leidd 8433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  /\  ( F `
 i )  =  1 )  ->  (
1  /  ( 2 ^ i ) )  <_  ( 1  / 
( 2 ^ i
) ) )
133131, 132eqbrtrd 4011 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  /\  ( F `
 i )  =  1 )  ->  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( F `
 i ) )  <_  ( 1  / 
( 2 ^ i
) ) )
13472adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  ->  F : NN --> { 0 ,  1 } )
13560adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  ->  i  e.  NN )
136134, 135ffvelrnd 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  ->  ( F `  i )  e.  {
0 ,  1 } )
137 elpri 3606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  i )  e.  { 0 ,  1 }  ->  (
( F `  i
)  =  0  \/  ( F `  i
)  =  1 ) )
138136, 137syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  ->  ( ( F `
 i )  =  0  \/  ( F `
 i )  =  1 ) )
139125, 133, 138mpjaodan 793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( F `  i
) )  <_  (
1  /  ( 2 ^ i ) ) )
14050, 62, 58, 139fsumle 11426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( F `  i ) )  <_  sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) ) )
14170rpgt0d 9656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
0  <  ( 1  /  ( 2 ^ x ) ) )
14287, 88, 99, 71, 140, 141leltaddd 8485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( ( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( F `
 i ) )  +  0 )  < 
( sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  +  ( 1  / 
( 2 ^ x
) ) ) )
14372, 4, 8, 10trilpolemisumle 14070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1
) ) ( ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  x.  ( F `  i ) )  <_  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1
) ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) ) )
14489, 98, 100, 117, 142, 143ltleaddd 8484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( ( sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  x.  ( F `  i )
)  +  0 )  +  sum_ i  e.  (
ZZ>= `  ( x  + 
1 ) ) ( ( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( F `
 i ) ) )  <  ( (
sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  +  ( 1  / 
( 2 ^ x
) ) )  + 
sum_ i  e.  (
ZZ>= `  ( x  + 
1 ) ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) ) ) )
14586, 144eqbrtrd 4011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  sum_ i  e.  NN  (
( 1  /  (
2 ^ i ) )  x.  ( F `
 i ) )  <  ( ( sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  +  ( 1  /  (
2 ^ x ) ) )  +  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1
) ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) ) ) )
1464, 145eqbrtrid 4024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  A  <  ( ( sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  +  ( 1  /  (
2 ^ x ) ) )  +  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1
) ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) ) ) )
147 nfcv 2312 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
( 1  /  (
2 ^ x ) )
14857rpcnd 9655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x
)  =  0 )  /\  i  e.  ( 1..^ x ) )  ->  ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  e.  CC )
14945, 147, 50, 9, 52, 148, 65, 80fsumsplitsn 11373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  sum_ i  e.  ( ( 1..^ x )  u. 
{ x } ) ( 1  /  (
2 ^ i ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  +  ( 1  /  (
2 ^ x ) ) ) )
150149oveq1d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( sum_ i  e.  ( ( 1..^ x )  u.  { x }
) ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  +  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1
) ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) ) )  =  ( ( sum_ i  e.  ( 1..^ x ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  +  ( 1  /  (
2 ^ x ) ) )  +  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1
) ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) ) ) )
151146, 150breqtrrd 4017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  A  <  ( sum_ i  e.  ( ( 1..^ x )  u.  { x } ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  + 
sum_ i  e.  (
ZZ>= `  ( x  + 
1 ) ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) ) ) )
15242sumeq1d 11329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  =  sum_ i  e.  ( ( 1..^ x )  u.  { x }
) ( 1  / 
( 2 ^ i
) ) )
153152oveq1d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( 1  /  (
2 ^ i ) )  +  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1 ) ) ( 1  /  (
2 ^ i ) ) )  =  (
sum_ i  e.  ( ( 1..^ x )  u.  { x }
) ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  +  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1
) ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) ) ) )
154151, 153breqtrrd 4017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  A  <  ( sum_ i  e.  ( 1 ... x
) ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  +  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1
) ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) ) ) )
1557, 8, 10, 112, 113, 111isumsplit 11454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  sum_ i  e.  NN  (
1  /  ( 2 ^ i ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... (
( x  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  +  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1
) ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) ) ) )
15639sumeq1d 11329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( x  +  1 )  - 
1 ) ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( 1  /  (
2 ^ i ) ) )
157156oveq1d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  -> 
( sum_ i  e.  ( 1 ... ( ( x  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  (
2 ^ i ) )  +  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1 ) ) ( 1  /  (
2 ^ i ) ) )  =  (
sum_ i  e.  ( 1 ... x ) ( 1  /  (
2 ^ i ) )  +  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1 ) ) ( 1  /  (
2 ^ i ) ) ) )
158155, 157eqtrd 2203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  sum_ i  e.  NN  (
1  /  ( 2 ^ i ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... x
) ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  +  sum_ i  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1
) ) ( 1  /  ( 2 ^ i ) ) ) )
159154, 158breqtrrd 4017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  A  <  sum_ i  e.  NN  ( 1  /  (
2 ^ i ) ) )
160 geoihalfsum 11485 . . . . . . 7  |-  sum_ i  e.  NN  ( 1  / 
( 2 ^ i
) )  =  1
161159, 160breqtrdi 4030 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  A  <  1 )
1626, 161ltned 8033 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  A  =/=  1 )
163162neneqd 2361 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  ( F `  x )  =  0 )  ->  -.  A  =  1
)
1642, 163pm2.65da 656 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  -.  ( F `  x )  =  0 )
1653ffvelrnda 5631 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( F `
 x )  e. 
{ 0 ,  1 } )
166 elpri 3606 . . . . 5  |-  ( ( F `  x )  e.  { 0 ,  1 }  ->  (
( F `  x
)  =  0  \/  ( F `  x
)  =  1 ) )
167165, 166syl 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( F `  x )  =  0  \/  ( F `  x )  =  1 ) )
168167orcomd 724 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( F `  x )  =  1  \/  ( F `  x )  =  0 ) )
169164, 168ecased 1344 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( F `
 x )  =  1 )
170169ralrimiva 2543 1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  NN  ( F `  x )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 703    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730    u. cun 3119    C_ wss 3121   {csn 3583   {cpr 3584   class class class wbr 3989    |-> cmpt 4050   dom cdm 4611   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Fincfn 6718   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775    + caddc 7777    x. cmul 7779    < clt 7954    <_ cle 7955    - cmin 8090    / cdiv 8589   NNcn 8878   2c2 8929   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   RR+crp 9610   ...cfz 9965  ..^cfzo 10098    seqcseq 10401   ^cexp 10475    ~~> cli 11241   sum_csu 11316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317
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