ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cos02pilt1 Unicode version

Theorem cos02pilt1 13566
Description: Cosine is less than one between zero and  2  x.  pi. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
cos02pilt1  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( cos `  A )  <  1 )

Proof of Theorem cos02pilt1
StepHypRef Expression
1 elioore 9869 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  ->  A  e.  RR )
21adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  ( pi  /  2
)  <  A )  ->  A  e.  RR )
32adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  ( pi  / 
2 )  <  A
)  /\  pi  <  A )  ->  A  e.  RR )
4 pire 13501 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR
54a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  ( pi  / 
2 )  <  A
)  /\  pi  <  A )  ->  pi  e.  RR )
6 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  ( pi  / 
2 )  <  A
)  /\  pi  <  A )  ->  pi  <  A )
75, 3, 6ltled 8038 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  ( pi  / 
2 )  <  A
)  /\  pi  <  A )  ->  pi  <_  A )
8 0xr 7966 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
9 2re 8948 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
109, 4remulcli 7934 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
1110rexri 7977 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  pi )  e. 
RR*
12 elioo2 9878 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <  ( 2  x.  pi ) ) ) )
138, 11, 12mp2an 424 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A  /\  A  <  ( 2  x.  pi ) ) )
1413simp3bi 1009 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  ->  A  <  ( 2  x.  pi ) )
1514ad2antrr 485 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  ( pi  / 
2 )  <  A
)  /\  pi  <  A )  ->  A  <  ( 2  x.  pi ) )
16 elico2 9894 . . . . . 6  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR* )  -> 
( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  <-> 
( A  e.  RR  /\  pi  <_  A  /\  A  <  ( 2  x.  pi ) ) ) )
174, 11, 16mp2an 424 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  pi  <_  A  /\  A  <  (
2  x.  pi ) ) )
183, 7, 15, 17syl3anbrc 1176 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  ( pi  / 
2 )  <  A
)  /\  pi  <  A )  ->  A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) ) )
19 cosq34lt1 13565 . . . 4  |-  ( A  e.  ( pi [,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( cos `  A )  <  1 )
2018, 19syl 14 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  ( pi  / 
2 )  <  A
)  /\  pi  <  A )  ->  ( cos `  A )  <  1
)
212adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  ( pi  / 
2 )  <  A
)  /\  A  <  ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  ->  A  e.  RR )
22 simplr 525 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  ( pi  / 
2 )  <  A
)  /\  A  <  ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  ->  ( pi  /  2 )  <  A
)
23 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  ( pi  / 
2 )  <  A
)  /\  A  <  ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  ->  A  <  ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) ) )
24 halfpire 13507 . . . . . . 7  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
2524rexri 7977 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
26 3re 8952 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
2726, 24remulcli 7934 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) )  e.  RR
2827rexri 7977 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) )  e. 
RR*
29 elioo2 9878 . . . . . 6  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR*  /\  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( (
pi  /  2 ) (,) ( 3  x.  ( pi  /  2
) ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  ( pi 
/  2 )  < 
A  /\  A  <  ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
3025, 28, 29mp2an 424 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  <->  ( A  e.  RR  /\  ( pi 
/  2 )  < 
A  /\  A  <  ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )
3121, 22, 23, 30syl3anbrc 1176 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  ( pi  / 
2 )  <  A
)  /\  A  <  ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  ->  A  e.  ( ( pi  / 
2 ) (,) (
3  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )
32 elioore 9869 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  ->  A  e.  RR )
3332recoscld 11687 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  ->  ( cos `  A )  e.  RR )
34 0red 7921 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  ->  0  e.  RR )
35 1red 7935 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  ->  1  e.  RR )
36 cosq23lt0 13548 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  ->  ( cos `  A )  <  0 )
37 0lt1 8046 . . . . . 6  |-  0  <  1
3837a1i 9 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  ->  0  <  1 )
3933, 34, 35, 36, 38lttrd 8045 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ( pi 
/  2 ) (,) ( 3  x.  (
pi  /  2 ) ) )  ->  ( cos `  A )  <  1 )
4031, 39syl 14 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  ( pi  / 
2 )  <  A
)  /\  A  <  ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) ) )  ->  ( cos `  A )  <  1
)
41 2lt3 9048 . . . . . 6  |-  2  <  3
42 2pos 8969 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
439, 42pm3.2i 270 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
44 3pos 8972 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
4526, 44pm3.2i 270 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
46 pipos 13503 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
474, 46pm3.2i 270 . . . . . . 7  |-  ( pi  e.  RR  /\  0  <  pi )
48 ltdiv2 8803 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  /\  (
pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( 2  <  3  <->  ( pi  / 
3 )  <  (
pi  /  2 ) ) )
4943, 45, 47, 48mp3an 1332 . . . . . 6  |-  ( 2  <  3  <->  ( pi  /  3 )  <  (
pi  /  2 ) )
5041, 49mpbi 144 . . . . 5  |-  ( pi 
/  3 )  < 
( pi  /  2
)
51 ltdivmul 8792 . . . . . 6  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( (
pi  /  3 )  <  ( pi  / 
2 )  <->  pi  <  ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) )
524, 24, 45, 51mp3an 1332 . . . . 5  |-  ( ( pi  /  3 )  <  ( pi  / 
2 )  <->  pi  <  ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) ) )
5350, 52mpbi 144 . . . 4  |-  pi  <  ( 3  x.  ( pi 
/  2 ) )
54 axltwlin 7987 . . . . 5  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( 3  x.  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( pi  <  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) )  ->  ( pi  <  A  \/  A  <  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
554, 27, 2, 54mp3an12i 1336 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  ( pi  /  2
)  <  A )  ->  ( pi  <  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) )  ->  ( pi  <  A  \/  A  <  (
3  x.  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
5653, 55mpi 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  ( pi  /  2
)  <  A )  ->  ( pi  <  A  \/  A  <  ( 3  x.  ( pi  / 
2 ) ) ) )
5720, 40, 56mpjaodan 793 . 2  |-  ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  ( pi  /  2
)  <  A )  ->  ( cos `  A
)  <  1 )
584rexri 7977 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR*
59 0re 7920 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
6059, 4, 46ltleii 8022 . . . . . 6  |-  0  <_  pi
61 lbicc2 9941 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  pi  e.  RR*  /\  0  <_  pi )  ->  0  e.  ( 0 [,] pi ) )
628, 58, 60, 61mp3an 1332 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] pi )
6362a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  A  <  pi )  -> 
0  e.  ( 0 [,] pi ) )
641adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  A  <  pi )  ->  A  e.  RR )
65 0red 7921 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  A  <  pi )  -> 
0  e.  RR )
6613simp2bi 1008 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  ->  0  <  A )
6766adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  A  <  pi )  -> 
0  <  A )
6865, 64, 67ltled 8038 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  A  <  pi )  -> 
0  <_  A )
694a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  A  <  pi )  ->  pi  e.  RR )
70 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  A  <  pi )  ->  A  <  pi )
7164, 69, 70ltled 8038 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  A  <  pi )  ->  A  <_  pi )
7259, 4elicc2i 9896 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  A  <_  pi ) )
7364, 68, 71, 72syl3anbrc 1176 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  A  <  pi )  ->  A  e.  ( 0 [,] pi ) )
7463, 73, 67cosordlem 13564 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  A  <  pi )  -> 
( cos `  A
)  <  ( cos `  0 ) )
75 cos0 11693 . . 3  |-  ( cos `  0 )  =  1
7674, 75breqtrdi 4030 . 2  |-  ( ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  /\  A  <  pi )  -> 
( cos `  A
)  <  1 )
77 pirp 13504 . . . 4  |-  pi  e.  RR+
78 rphalflt 9640 . . . 4  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  < 
pi )
7977, 78ax-mp 5 . . 3  |-  ( pi 
/  2 )  < 
pi
80 axltwlin 7987 . . . 4  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( pi  /  2
)  <  pi  ->  ( ( pi  /  2
)  <  A  \/  A  <  pi ) ) )
8124, 4, 1, 80mp3an12i 1336 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  ->  (
( pi  /  2
)  <  pi  ->  ( ( pi  /  2
)  <  A  \/  A  <  pi ) ) )
8279, 81mpi 15 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  ->  (
( pi  /  2
)  <  A  \/  A  <  pi ) )
8357, 76, 82mpjaodan 793 1  |-  ( A  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( cos `  A )  <  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703    /\ w3a 973    e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775    x. cmul 7779   RR*cxr 7953    < clt 7954    <_ cle 7955    / cdiv 8589   2c2 8929   3c3 8930   RR+crp 9610   (,)cioo 9845   [,)cico 9847   [,]cicc 9848   cosccos 11608   picpi 11610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894  ax-pre-suploc 7895  ax-addf 7896  ax-mulf 7897
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-of 6061  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-map 6628  df-pm 6629  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-ioo 9849  df-ioc 9850  df-ico 9851  df-icc 9852  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-shft 10779  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611  df-sin 11613  df-cos 11614  df-pi 11616  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-ntr 12890  df-cn 12982  df-cnp 12983  df-tx 13047  df-cncf 13352  df-limced 13419  df-dvap 13420
This theorem is referenced by:  cos0pilt1  13567  taupi  14102
  Copyright terms: Public domain W3C validator