Theorem cos02pilt1 12932

Description: Cosine is less than one between zero and 2 x. pi. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos02pilt1	|- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )

Proof of Theorem cos02pilt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 9695	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> A e. RR )
2	1	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) -> A e. RR )
3	2	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> A e. RR )
4		pire 12867	. . . . . . 7 |- pi e. RR
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> pi e. RR )
6		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> pi < A )
7	5, 3, 6	ltled 7881	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> pi <_ A )
8		0xr 7812	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
9		2re 8790	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
10	9, 4	remulcli 7780	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. pi ) e. RR
11	10	rexri 7823	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. pi ) e. RR*
12		elioo2 9704	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( 2 x. pi ) ) ) )
13	8, 11, 12	mp2an 422	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( 2 x. pi ) ) )
14	13	simp3bi 998	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> A < ( 2 x. pi ) )
15	14	ad2antrr 479	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> A < ( 2 x. pi ) )
16		elico2 9720	. . . . . 6 |- ( ( pi e. RR /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ pi <_ A /\ A < ( 2 x. pi ) ) ) )
17	4, 11, 16	mp2an 422	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ pi <_ A /\ A < ( 2 x. pi ) ) )
18	3, 7, 15, 17	syl3anbrc 1165	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) )
19		cosq34lt1 12931	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )
20	18, 19	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> ( cos ` A ) < 1 )
21	2	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. RR )
22		simplr 519	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( pi / 2 ) < A )
23		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
24		halfpire 12873	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. RR
25	24	rexri 7823	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. RR*
26		3re 8794	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
27	26, 24	remulcli 7780	. . . . . . 7 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR
28	27	rexri 7823	. . . . . 6 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR*
29		elioo2 9704	. . . . . 6 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR* ) -> ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
30	25, 28, 29	mp2an 422	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
31	21, 22, 23, 30	syl3anbrc 1165	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
32		elioore 9695	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. RR )
33	32	recoscld 11431	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) e. RR )
34		0red 7767	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> 0 e. RR )
35		1red 7781	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> 1 e. RR )
36		cosq23lt0 12914	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 0 )
37		0lt1 7889	. . . . . 6 |- 0 < 1
38	37	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> 0 < 1 )
39	33, 34, 35, 36, 38	lttrd 7888	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )
40	31, 39	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )
41		2lt3 8890	. . . . . 6 |- 2 < 3
42		2pos 8811	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
43	9, 42	pm3.2i 270	. . . . . . 7 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
44		3pos 8814	. . . . . . . 8 |- 0 < 3
45	26, 44	pm3.2i 270	. . . . . . 7 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
46		pipos 12869	. . . . . . . 8 |- 0 < pi
47	4, 46	pm3.2i 270	. . . . . . 7 |- ( pi e. RR /\ 0 < pi )
48		ltdiv2 8645	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( 2 < 3 <-> ( pi / 3 ) < ( pi / 2 ) ) )
49	43, 45, 47, 48	mp3an 1315	. . . . . 6 |- ( 2 < 3 <-> ( pi / 3 ) < ( pi / 2 ) )
50	41, 49	mpbi 144	. . . . 5 |- ( pi / 3 ) < ( pi / 2 )
51		ltdivmul 8634	. . . . . 6 |- ( ( pi e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( pi / 3 ) < ( pi / 2 ) <-> pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
52	4, 24, 45, 51	mp3an 1315	. . . . 5 |- ( ( pi / 3 ) < ( pi / 2 ) <-> pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
53	50, 52	mpbi 144	. . . 4 |- pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) )
54		axltwlin 7832	. . . . 5 |- ( ( pi e. RR /\ ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) -> ( pi < A \/ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
55	4, 27, 2, 54	mp3an12i 1319	. . . 4 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) -> ( pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) -> ( pi < A \/ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
56	53, 55	mpi 15	. . 3 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) -> ( pi < A \/ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
57	20, 40, 56	mpjaodan 787	. 2 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) -> ( cos ` A ) < 1 )
58	4	rexri 7823	. . . . . 6 |- pi e. RR*
59		0re 7766	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
60	59, 4, 46	ltleii 7866	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
61		lbicc2 9767	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ 0 <_ pi ) -> 0 e. ( 0 [,] pi ) )
62	8, 58, 60, 61	mp3an 1315	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] pi )
63	62	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> 0 e. ( 0 [,] pi ) )
64	1	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> A e. RR )
65		0red 7767	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> 0 e. RR )
66	13	simp2bi 997	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 < A )
67	66	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> 0 < A )
68	65, 64, 67	ltled 7881	. . . . 5 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> 0 <_ A )
69	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> pi e. RR )
70		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> A < pi )
71	64, 69, 70	ltled 7881	. . . . 5 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> A <_ pi )
72	59, 4	elicc2i 9722	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ pi ) )
73	64, 68, 71, 72	syl3anbrc 1165	. . . 4 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> A e. ( 0 [,] pi ) )
74	63, 73, 67	cosordlem 12930	. . 3 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> ( cos ` A ) < ( cos ` 0 ) )
75		cos0 11437	. . 3 |- ( cos ` 0 ) = 1
76	74, 75	breqtrdi 3969	. 2 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> ( cos ` A ) < 1 )
77		pirp 12870	. . . 4 |- pi e. RR+
78		rphalflt 9471	. . . 4 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) < pi )
79	77, 78	ax-mp 5	. . 3 |- ( pi / 2 ) < pi
80		axltwlin 7832	. . . 4 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ pi e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) < pi -> ( ( pi / 2 ) < A \/ A < pi ) ) )
81	24, 4, 1, 80	mp3an12i 1319	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( ( pi / 2 ) < pi -> ( ( pi / 2 ) < A \/ A < pi ) ) )
82	79, 81	mpi 15	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( ( pi / 2 ) < A \/ A < pi ) )
83	57, 76, 82	mpjaodan 787	1 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   /\ w3a 962   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   x. cmul 7625   RR*cxr 7799   < clt 7800   <_ cle 7801   / cdiv 8432   2c2 8771   3c3 8772   RR+crp 9441   (,)cioo 9671   [,)cico 9673   [,]cicc 9674   cosccos 11351   picpi 11353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740  ax-pre-suploc 7741  ax-addf 7742  ax-mulf 7743

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-ioo 9675  df-ioc 9676  df-ico 9677  df-icc 9678  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-bc 10494  df-ihash 10522  df-shft 10587  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123  df-ef 11354  df-sin 11356  df-cos 11357  df-pi 11359  df-rest 12122  df-topgen 12141  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-met 12158  df-bl 12159  df-mopn 12160  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-ntr 12265  df-cn 12357  df-cnp 12358  df-tx 12422  df-cncf 12727  df-limced 12794  df-dvap 12795

This theorem is referenced by:  taupi  13239