Theorem cos02pilt1 15097

Description: Cosine is less than one between zero and 2 x. pi. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos02pilt1	|- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )

Proof of Theorem cos02pilt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 9989	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> A e. RR )
2	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) -> A e. RR )
3	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> A e. RR )
4		pire 15032	. . . . . . 7 |- pi e. RR
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> pi e. RR )
6		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> pi < A )
7	5, 3, 6	ltled 8147	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> pi <_ A )
8		0xr 8075	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
9		2re 9062	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
10	9, 4	remulcli 8042	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. pi ) e. RR
11	10	rexri 8086	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. pi ) e. RR*
12		elioo2 9998	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( 2 x. pi ) ) ) )
13	8, 11, 12	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( 2 x. pi ) ) )
14	13	simp3bi 1016	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> A < ( 2 x. pi ) )
15	14	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> A < ( 2 x. pi ) )
16		elico2 10014	. . . . . 6 |- ( ( pi e. RR /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ pi <_ A /\ A < ( 2 x. pi ) ) ) )
17	4, 11, 16	mp2an 426	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ pi <_ A /\ A < ( 2 x. pi ) ) )
18	3, 7, 15, 17	syl3anbrc 1183	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) )
19		cosq34lt1 15096	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )
20	18, 19	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> ( cos ` A ) < 1 )
21	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. RR )
22		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( pi / 2 ) < A )
23		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
24		halfpire 15038	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. RR
25	24	rexri 8086	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. RR*
26		3re 9066	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
27	26, 24	remulcli 8042	. . . . . . 7 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR
28	27	rexri 8086	. . . . . 6 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR*
29		elioo2 9998	. . . . . 6 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR* ) -> ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
30	25, 28, 29	mp2an 426	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
31	21, 22, 23, 30	syl3anbrc 1183	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
32		elioore 9989	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. RR )
33	32	recoscld 11891	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) e. RR )
34		0red 8029	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> 0 e. RR )
35		1red 8043	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> 1 e. RR )
36		cosq23lt0 15079	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 0 )
37		0lt1 8155	. . . . . 6 |- 0 < 1
38	37	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> 0 < 1 )
39	33, 34, 35, 36, 38	lttrd 8154	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )
40	31, 39	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )
41		2lt3 9163	. . . . . 6 |- 2 < 3
42		2pos 9083	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
43	9, 42	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
44		3pos 9086	. . . . . . . 8 |- 0 < 3
45	26, 44	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
46		pipos 15034	. . . . . . . 8 |- 0 < pi
47	4, 46	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( pi e. RR /\ 0 < pi )
48		ltdiv2 8916	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( 2 < 3 <-> ( pi / 3 ) < ( pi / 2 ) ) )
49	43, 45, 47, 48	mp3an 1348	. . . . . 6 |- ( 2 < 3 <-> ( pi / 3 ) < ( pi / 2 ) )
50	41, 49	mpbi 145	. . . . 5 |- ( pi / 3 ) < ( pi / 2 )
51		ltdivmul 8905	. . . . . 6 |- ( ( pi e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( pi / 3 ) < ( pi / 2 ) <-> pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
52	4, 24, 45, 51	mp3an 1348	. . . . 5 |- ( ( pi / 3 ) < ( pi / 2 ) <-> pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
53	50, 52	mpbi 145	. . . 4 |- pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) )
54		axltwlin 8096	. . . . 5 |- ( ( pi e. RR /\ ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) -> ( pi < A \/ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
55	4, 27, 2, 54	mp3an12i 1352	. . . 4 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) -> ( pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) -> ( pi < A \/ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
56	53, 55	mpi 15	. . 3 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) -> ( pi < A \/ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
57	20, 40, 56	mpjaodan 799	. 2 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) -> ( cos ` A ) < 1 )
58	4	rexri 8086	. . . . . 6 |- pi e. RR*
59		0re 8028	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
60	59, 4, 46	ltleii 8131	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
61		lbicc2 10061	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ 0 <_ pi ) -> 0 e. ( 0 [,] pi ) )
62	8, 58, 60, 61	mp3an 1348	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] pi )
63	62	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> 0 e. ( 0 [,] pi ) )
64	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> A e. RR )
65		0red 8029	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> 0 e. RR )
66	13	simp2bi 1015	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 < A )
67	66	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> 0 < A )
68	65, 64, 67	ltled 8147	. . . . 5 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> 0 <_ A )
69	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> pi e. RR )
70		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> A < pi )
71	64, 69, 70	ltled 8147	. . . . 5 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> A <_ pi )
72	59, 4	elicc2i 10016	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ pi ) )
73	64, 68, 71, 72	syl3anbrc 1183	. . . 4 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> A e. ( 0 [,] pi ) )
74	63, 73, 67	cosordlem 15095	. . 3 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> ( cos ` A ) < ( cos ` 0 ) )
75		cos0 11897	. . 3 |- ( cos ` 0 ) = 1
76	74, 75	breqtrdi 4075	. 2 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> ( cos ` A ) < 1 )
77		pirp 15035	. . . 4 |- pi e. RR+
78		rphalflt 9760	. . . 4 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) < pi )
79	77, 78	ax-mp 5	. . 3 |- ( pi / 2 ) < pi
80		axltwlin 8096	. . . 4 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ pi e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) < pi -> ( ( pi / 2 ) < A \/ A < pi ) ) )
81	24, 4, 1, 80	mp3an12i 1352	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( ( pi / 2 ) < pi -> ( ( pi / 2 ) < A \/ A < pi ) ) )
82	79, 81	mpi 15	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( ( pi / 2 ) < A \/ A < pi ) )
83	57, 76, 82	mpjaodan 799	1 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   RRcr 7880   0cc0 7881   1c1 7882   x. cmul 7886   RR*cxr 8062   < clt 8063   <_ cle 8064   / cdiv 8701   2c2 9043   3c3 9044   RR+crp 9730   (,)cioo 9965   [,)cico 9967   [,]cicc 9968   cosccos 11812   picpi 11814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001  ax-pre-suploc 8002  ax-addf 8003  ax-mulf 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-of 6136  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-irdg 6429  df-frec 6450  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6593  df-map 6710  df-pm 6711  df-en 6801  df-dom 6802  df-fin 6803  df-sup 7051  df-inf 7052  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-5 9054  df-6 9055  df-7 9056  df-8 9057  df-9 9058  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-xneg 9849  df-xadd 9850  df-ioo 9969  df-ioc 9970  df-ico 9971  df-icc 9972  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-fac 10820  df-bc 10842  df-ihash 10870  df-shft 10982  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-clim 11446  df-sumdc 11521  df-ef 11815  df-sin 11817  df-cos 11818  df-pi 11820  df-rest 12922  df-topgen 12941  df-psmet 14109  df-xmet 14110  df-met 14111  df-bl 14112  df-mopn 14113  df-top 14244  df-topon 14257  df-bases 14289  df-ntr 14342  df-cn 14434  df-cnp 14435  df-tx 14499  df-cncf 14817  df-limced 14902  df-dvap 14903

This theorem is referenced by:  cos0pilt1  15098  taupi  15727