Theorem cos02pilt1 14543

Description: Cosine is less than one between zero and 2 x. pi. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos02pilt1	|- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )

Proof of Theorem cos02pilt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 9925	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> A e. RR )
2	1	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) -> A e. RR )
3	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> A e. RR )
4		pire 14478	. . . . . . 7 |- pi e. RR
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> pi e. RR )
6		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> pi < A )
7	5, 3, 6	ltled 8089	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> pi <_ A )
8		0xr 8017	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
9		2re 9002	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
10	9, 4	remulcli 7984	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. pi ) e. RR
11	10	rexri 8028	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. pi ) e. RR*
12		elioo2 9934	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( 2 x. pi ) ) ) )
13	8, 11, 12	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( 2 x. pi ) ) )
14	13	simp3bi 1015	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> A < ( 2 x. pi ) )
15	14	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> A < ( 2 x. pi ) )
16		elico2 9950	. . . . . 6 |- ( ( pi e. RR /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ pi <_ A /\ A < ( 2 x. pi ) ) ) )
17	4, 11, 16	mp2an 426	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ pi <_ A /\ A < ( 2 x. pi ) ) )
18	3, 7, 15, 17	syl3anbrc 1182	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) )
19		cosq34lt1 14542	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )
20	18, 19	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> ( cos ` A ) < 1 )
21	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. RR )
22		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( pi / 2 ) < A )
23		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
24		halfpire 14484	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. RR
25	24	rexri 8028	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. RR*
26		3re 9006	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
27	26, 24	remulcli 7984	. . . . . . 7 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR
28	27	rexri 8028	. . . . . 6 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR*
29		elioo2 9934	. . . . . 6 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR* ) -> ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
30	25, 28, 29	mp2an 426	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
31	21, 22, 23, 30	syl3anbrc 1182	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
32		elioore 9925	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. RR )
33	32	recoscld 11745	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) e. RR )
34		0red 7971	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> 0 e. RR )
35		1red 7985	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> 1 e. RR )
36		cosq23lt0 14525	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 0 )
37		0lt1 8097	. . . . . 6 |- 0 < 1
38	37	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> 0 < 1 )
39	33, 34, 35, 36, 38	lttrd 8096	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )
40	31, 39	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )
41		2lt3 9102	. . . . . 6 |- 2 < 3
42		2pos 9023	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
43	9, 42	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
44		3pos 9026	. . . . . . . 8 |- 0 < 3
45	26, 44	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
46		pipos 14480	. . . . . . . 8 |- 0 < pi
47	4, 46	pm3.2i 272	. . . . . . 7 |- ( pi e. RR /\ 0 < pi )
48		ltdiv2 8857	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( 2 < 3 <-> ( pi / 3 ) < ( pi / 2 ) ) )
49	43, 45, 47, 48	mp3an 1347	. . . . . 6 |- ( 2 < 3 <-> ( pi / 3 ) < ( pi / 2 ) )
50	41, 49	mpbi 145	. . . . 5 |- ( pi / 3 ) < ( pi / 2 )
51		ltdivmul 8846	. . . . . 6 |- ( ( pi e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( pi / 3 ) < ( pi / 2 ) <-> pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
52	4, 24, 45, 51	mp3an 1347	. . . . 5 |- ( ( pi / 3 ) < ( pi / 2 ) <-> pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
53	50, 52	mpbi 145	. . . 4 |- pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) )
54		axltwlin 8038	. . . . 5 |- ( ( pi e. RR /\ ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) -> ( pi < A \/ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
55	4, 27, 2, 54	mp3an12i 1351	. . . 4 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) -> ( pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) -> ( pi < A \/ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
56	53, 55	mpi 15	. . 3 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) -> ( pi < A \/ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
57	20, 40, 56	mpjaodan 799	. 2 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) -> ( cos ` A ) < 1 )
58	4	rexri 8028	. . . . . 6 |- pi e. RR*
59		0re 7970	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
60	59, 4, 46	ltleii 8073	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
61		lbicc2 9997	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ 0 <_ pi ) -> 0 e. ( 0 [,] pi ) )
62	8, 58, 60, 61	mp3an 1347	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] pi )
63	62	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> 0 e. ( 0 [,] pi ) )
64	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> A e. RR )
65		0red 7971	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> 0 e. RR )
66	13	simp2bi 1014	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 < A )
67	66	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> 0 < A )
68	65, 64, 67	ltled 8089	. . . . 5 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> 0 <_ A )
69	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> pi e. RR )
70		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> A < pi )
71	64, 69, 70	ltled 8089	. . . . 5 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> A <_ pi )
72	59, 4	elicc2i 9952	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ pi ) )
73	64, 68, 71, 72	syl3anbrc 1182	. . . 4 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> A e. ( 0 [,] pi ) )
74	63, 73, 67	cosordlem 14541	. . 3 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> ( cos ` A ) < ( cos ` 0 ) )
75		cos0 11751	. . 3 |- ( cos ` 0 ) = 1
76	74, 75	breqtrdi 4056	. 2 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> ( cos ` A ) < 1 )
77		pirp 14481	. . . 4 |- pi e. RR+
78		rphalflt 9696	. . . 4 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) < pi )
79	77, 78	ax-mp 5	. . 3 |- ( pi / 2 ) < pi
80		axltwlin 8038	. . . 4 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ pi e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) < pi -> ( ( pi / 2 ) < A \/ A < pi ) ) )
81	24, 4, 1, 80	mp3an12i 1351	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( ( pi / 2 ) < pi -> ( ( pi / 2 ) < A \/ A < pi ) ) )
82	79, 81	mpi 15	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( ( pi / 2 ) < A \/ A < pi ) )
83	57, 76, 82	mpjaodan 799	1 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 979   e. wcel 2158   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   RRcr 7823   0cc0 7824   1c1 7825   x. cmul 7829   RR*cxr 8004   < clt 8005   <_ cle 8006   / cdiv 8642   2c2 8983   3c3 8984   RR+crp 9666   (,)cioo 9901   [,)cico 9903   [,]cicc 9904   cosccos 11666   picpi 11668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944  ax-pre-suploc 7945  ax-addf 7946  ax-mulf 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-disj 3993  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-of 6096  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-map 6663  df-pm 6664  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-sup 6996  df-inf 6997  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-7 8996  df-8 8997  df-9 8998  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-xneg 9785  df-xadd 9786  df-ioo 9905  df-ioc 9906  df-ico 9907  df-icc 9908  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-fac 10719  df-bc 10741  df-ihash 10769  df-shft 10837  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-sumdc 11375  df-ef 11669  df-sin 11671  df-cos 11672  df-pi 11674  df-rest 12707  df-topgen 12726  df-psmet 13704  df-xmet 13705  df-met 13706  df-bl 13707  df-mopn 13708  df-top 13769  df-topon 13782  df-bases 13814  df-ntr 13867  df-cn 13959  df-cnp 13960  df-tx 14024  df-cncf 14329  df-limced 14396  df-dvap 14397

This theorem is referenced by:  cos0pilt1  14544  taupi  15093