Theorem cos02pilt1 12980

Description: Cosine is less than one between zero and 2 x. pi. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cos02pilt1	|- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )

Proof of Theorem cos02pilt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 9725	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> A e. RR )
2	1	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) -> A e. RR )
3	2	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> A e. RR )
4		pire 12915	. . . . . . 7 |- pi e. RR
5	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> pi e. RR )
6		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> pi < A )
7	5, 3, 6	ltled 7905	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> pi <_ A )
8		0xr 7836	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
9		2re 8814	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
10	9, 4	remulcli 7804	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. pi ) e. RR
11	10	rexri 7847	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. pi ) e. RR*
12		elioo2 9734	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( 2 x. pi ) ) ) )
13	8, 11, 12	mp2an 423	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A < ( 2 x. pi ) ) )
14	13	simp3bi 999	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> A < ( 2 x. pi ) )
15	14	ad2antrr 480	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> A < ( 2 x. pi ) )
16		elico2 9750	. . . . . 6 |- ( ( pi e. RR /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ pi <_ A /\ A < ( 2 x. pi ) ) ) )
17	4, 11, 16	mp2an 423	. . . . 5 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( A e. RR /\ pi <_ A /\ A < ( 2 x. pi ) ) )
18	3, 7, 15, 17	syl3anbrc 1166	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) )
19		cosq34lt1 12979	. . . 4 |- ( A e. ( pi [,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )
20	18, 19	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ pi < A ) -> ( cos ` A ) < 1 )
21	2	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. RR )
22		simplr 520	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( pi / 2 ) < A )
23		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
24		halfpire 12921	. . . . . . 7 |- ( pi / 2 ) e. RR
25	24	rexri 7847	. . . . . 6 |- ( pi / 2 ) e. RR*
26		3re 8818	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
27	26, 24	remulcli 7804	. . . . . . 7 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR
28	27	rexri 7847	. . . . . 6 |- ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR*
29		elioo2 9734	. . . . . 6 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR* /\ ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR* ) -> ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
30	25, 28, 29	mp2an 423	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) <-> ( A e. RR /\ ( pi / 2 ) < A /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
31	21, 22, 23, 30	syl3anbrc 1166	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
32		elioore 9725	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> A e. RR )
33	32	recoscld 11467	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) e. RR )
34		0red 7791	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> 0 e. RR )
35		1red 7805	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> 1 e. RR )
36		cosq23lt0 12962	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 0 )
37		0lt1 7913	. . . . . 6 |- 0 < 1
38	37	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> 0 < 1 )
39	33, 34, 35, 36, 38	lttrd 7912	. . . 4 |- ( A e. ( ( pi / 2 ) (,) ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )
40	31, 39	syl 14	. . 3 |- ( ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) /\ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )
41		2lt3 8914	. . . . . 6 |- 2 < 3
42		2pos 8835	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
43	9, 42	pm3.2i 270	. . . . . . 7 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
44		3pos 8838	. . . . . . . 8 |- 0 < 3
45	26, 44	pm3.2i 270	. . . . . . 7 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
46		pipos 12917	. . . . . . . 8 |- 0 < pi
47	4, 46	pm3.2i 270	. . . . . . 7 |- ( pi e. RR /\ 0 < pi )
48		ltdiv2 8669	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( 2 < 3 <-> ( pi / 3 ) < ( pi / 2 ) ) )
49	43, 45, 47, 48	mp3an 1316	. . . . . 6 |- ( 2 < 3 <-> ( pi / 3 ) < ( pi / 2 ) )
50	41, 49	mpbi 144	. . . . 5 |- ( pi / 3 ) < ( pi / 2 )
51		ltdivmul 8658	. . . . . 6 |- ( ( pi e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( pi / 3 ) < ( pi / 2 ) <-> pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
52	4, 24, 45, 51	mp3an 1316	. . . . 5 |- ( ( pi / 3 ) < ( pi / 2 ) <-> pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) )
53	50, 52	mpbi 144	. . . 4 |- pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) )
54		axltwlin 7856	. . . . 5 |- ( ( pi e. RR /\ ( 3 x. ( pi / 2 ) ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) -> ( pi < A \/ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
55	4, 27, 2, 54	mp3an12i 1320	. . . 4 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) -> ( pi < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) -> ( pi < A \/ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) ) )
56	53, 55	mpi 15	. . 3 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) -> ( pi < A \/ A < ( 3 x. ( pi / 2 ) ) ) )
57	20, 40, 56	mpjaodan 788	. 2 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ ( pi / 2 ) < A ) -> ( cos ` A ) < 1 )
58	4	rexri 7847	. . . . . 6 |- pi e. RR*
59		0re 7790	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
60	59, 4, 46	ltleii 7890	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
61		lbicc2 9797	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ 0 <_ pi ) -> 0 e. ( 0 [,] pi ) )
62	8, 58, 60, 61	mp3an 1316	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] pi )
63	62	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> 0 e. ( 0 [,] pi ) )
64	1	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> A e. RR )
65		0red 7791	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> 0 e. RR )
66	13	simp2bi 998	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> 0 < A )
67	66	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> 0 < A )
68	65, 64, 67	ltled 7905	. . . . 5 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> 0 <_ A )
69	4	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> pi e. RR )
70		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> A < pi )
71	64, 69, 70	ltled 7905	. . . . 5 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> A <_ pi )
72	59, 4	elicc2i 9752	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ pi ) )
73	64, 68, 71, 72	syl3anbrc 1166	. . . 4 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> A e. ( 0 [,] pi ) )
74	63, 73, 67	cosordlem 12978	. . 3 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> ( cos ` A ) < ( cos ` 0 ) )
75		cos0 11473	. . 3 |- ( cos ` 0 ) = 1
76	74, 75	breqtrdi 3977	. 2 |- ( ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) /\ A < pi ) -> ( cos ` A ) < 1 )
77		pirp 12918	. . . 4 |- pi e. RR+
78		rphalflt 9500	. . . 4 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) < pi )
79	77, 78	ax-mp 5	. . 3 |- ( pi / 2 ) < pi
80		axltwlin 7856	. . . 4 |- ( ( ( pi / 2 ) e. RR /\ pi e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( pi / 2 ) < pi -> ( ( pi / 2 ) < A \/ A < pi ) ) )
81	24, 4, 1, 80	mp3an12i 1320	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( ( pi / 2 ) < pi -> ( ( pi / 2 ) < A \/ A < pi ) ) )
82	79, 81	mpi 15	. 2 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( ( pi / 2 ) < A \/ A < pi ) )
83	57, 76, 82	mpjaodan 788	1 |- ( A e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` A ) < 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   /\ w3a 963   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   RRcr 7643   0cc0 7644   1c1 7645   x. cmul 7649   RR*cxr 7823   < clt 7824   <_ cle 7825   / cdiv 8456   2c2 8795   3c3 8796   RR+crp 9470   (,)cioo 9701   [,)cico 9703   [,]cicc 9704   cosccos 11388   picpi 11390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764  ax-pre-suploc 7765  ax-addf 7766  ax-mulf 7767

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-disj 3915  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-of 5990  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-map 6552  df-pm 6553  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-7 8808  df-8 8809  df-9 8810  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-xneg 9589  df-xadd 9590  df-ioo 9705  df-ioc 9706  df-ico 9707  df-icc 9708  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-fac 10504  df-bc 10526  df-ihash 10554  df-shft 10619  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155  df-ef 11391  df-sin 11393  df-cos 11394  df-pi 11396  df-rest 12161  df-topgen 12180  df-psmet 12195  df-xmet 12196  df-met 12197  df-bl 12198  df-mopn 12199  df-top 12204  df-topon 12217  df-bases 12249  df-ntr 12304  df-cn 12396  df-cnp 12397  df-tx 12461  df-cncf 12766  df-limced 12833  df-dvap 12834

This theorem is referenced by:  cos0pilt1  12981  taupi  13430