Theorem dju0en 7431

Description: Cardinal addition with cardinal zero (the empty set). Part (a1) of proof of Theorem 6J of [Enderton] p. 143. (Contributed by NM, 27-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dju0en	|- ( A e. V -> ( A ⊔ (/) ) ~~ A )

Proof of Theorem dju0en

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4215	. . 3 |- (/) e. _V
2		in0 3528	. . 3 |- ( A i^i (/) ) = (/)
3		endjudisj 7427	. . 3 |- ( ( A e. V /\ (/) e. _V /\ ( A i^i (/) ) = (/) ) -> ( A ⊔ (/) ) ~~ ( A u. (/) ) )
4	1, 2, 3	mp3an23 1365	. 2 |- ( A e. V -> ( A ⊔ (/) ) ~~ ( A u. (/) ) )
5		un0 3527	. 2 |- ( A u. (/) ) = A
6	4, 5	breqtrdi 4128	1 |- ( A e. V -> ( A ⊔ (/) ) ~~ A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2201   _Vcvv 2801   u. cun 3197   i^i cin 3198   (/)c0 3493   class class class wbr 4087   ~~ cen 6909   ⊔ cdju 7238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-iun 3971  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-tr 4187  df-id 4389  df-iord 4462  df-on 4464  df-suc 4467  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-1o 6584  df-er 6704  df-en 6912  df-dju 7239  df-inl 7248  df-inr 7249

This theorem is referenced by: (None)